↑

Уравнения, сводящиеся к квадратным. Видеоуроки.

Вступление

Здесь разбираются рациональные уравнения, которые с помощью замен переменной и других приёмов превращаются в квадратные.
Типов таких уравнений довольно много, и на одну страничку все примеры не уместились.
Поэтому, каждому виду уравнений, сводящихся к квадратным - иррациональным, однородным, возвратным и т. д. - посвящена отдельная статья с многими подробными примерами.
Во всех этих статьях предлагаются задания для самостоятельного решения с ответами.
Ссылки на эти статьи находятся в конце соответствующего раздела на этой странице.

Если вы хотите протестировать свои умения, обратите внимание на $14$ уравнений в конце этого раздела. Все они раных типов и все сводятся к квадратным.
Для них есть не только ответы, но и решение с пояснениями. Пожалуйста, пользуйтесь!
При появлении вопросов вам могут помочь полезные ссылки.

Во всех уроках я использую известную математическую символику.
Это символы конъюнкции $\land$ , дизъюнкции $\lor$ , значки системы ${$ и совокупности $[$ . Подробнее об этом смотрите здесь.

Замены в иррациональных уравнениях

Иррациональные уравнения – это отдельная большая тема.
Их обычно решают, возводя один или несколько раз уравнение в квадрат или другую степень, предварительно уединяя радикалы.
При этом для равносильности преобразований пишут некие дополнительные условия. Однако, некоторые несложные иррациональные уравнения иногда можно решить проще, если удаётся сделать подходящую замену, после которой получают квадратное уравнение.
Разберём несколько таких примеров.

Пример 1.

Решить уравнение
замены в иррациональных уравнениях: пример 1 $\sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}} - \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} = \frac{3}{2}$

Для начала, найдём ОДЗ - область допустимых значений уравнения. ОДЗ: $\frac{x + 1}{x - 1} > 0$
Но решать это неравенство пока не будем. Сразу займёмся данным уравнением.
В нём мы видим взаимно-обратные величины. Это подсказывает нам сделать такую замену переменной: замены в иррациональных уравнениях: пример 1 . $\sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}} = t$
Тогда уравнение превратится в $t - \frac{1}{t} = \frac{3}{2}$ .
Домножаем обе его части на $t$ при условии $t \neq 0$ .
Получаем квадратное уравнение: $2 t^{2} - 3 t - 2 = 0$ (1)
Для его решения используем модификацию теоремы Виета.
Вспомогательное уравнение $t^{2} - 3 t - 4 = 0$ имеет корни $4$ и $- 1$ , поэтому корнями уравнения (1) будут $\frac{4}{2} = 2$ и $- \frac{1}{2}$ .
Оба числа удовлетворяют написанному выше условию $t \neq 0$ .
Теперь $2 t^{2} - 3 t - 2 = 0$ замены в иррациональных уравнениях: пример 1 $[\begin{matrix} t = 2 \\ t = - \frac{1}{2} \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} \sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}} = 2 \\ \sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}} = - \frac{1}{2} \emptyset \end{matrix} \Leftrightarrow \frac{x + 1}{x - 1} = 4$
Это равенство замены в иррациональных уравнениях: пример 1 будет верным для будущих решений, которые мы ищем. Ведь решения - это числа, которые обязаны удовлетворять этому равенству.
И вот в этот момент мы должны понять, что неравенство в ОДЗ можно не решать. Можно написать, что оно выполнено по замены в иррациональных уравнениях: пример 1 (4 > 0, правда ведь?)
И последний штрих - решаем уравнение : $x + 1 = 4 x - 4 \Leftrightarrow x = \frac{5}{3}$

Для начала, найдём ОДЗ - область допустимых значений уравнения.
ОДЗ: $\frac{x + 1}{x - 1} > 0$
Но решать это неравенство пока не будем. Сразу займёмся данным уравнением.
В нём мы видим взаимно-обратные величины. Это подсказывает нам сделать такую замену переменной: замены в иррациональных уравнениях: пример 1 . $\sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}} = t$
Тогда уравнение превратится в $t - \frac{1}{t} = \frac{3}{2}$ .
Домножаем обе его части на $t$ при условии $t \neq 0$ .
Получаем квадратное уравнение: $2 t^{2} - 3 t - 2 = 0$ (1)
Для его решения используем модификацию теоремы Виета.
Вспомогательное уравнение $t^{2} - 3 t - 4 = 0$ имеет корни $4$ и $- 1$ , поэтому корнями уравнения (1) будут $\frac{4}{2} = 2$ и $- \frac{1}{2}$ .
Оба числа удовлетворяют написанному выше условию $t \neq 0$ .
Теперь $2 t^{2} - 3 t - 2 = 0$ замены в иррациональных уравнениях: пример 1 $[\begin{matrix} t = 2 \\ t = - \frac{1}{2} \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} \sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}} = 2 \\ \sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}} = - \frac{1}{2} \emptyset \end{matrix} \Leftrightarrow \frac{x + 1}{x - 1} = 4$
Это равенство замены в иррациональных уравнениях: пример 1 будет верным для будущих решений, которые мы ищем. Ведь решения - это числа, которые обязаны удовлетворять этому равенству.
И вот в этот момент мы должны понять, что неравенство в ОДЗ можно не решать. Можно написать, что оно выполнено по замены в иррациональных уравнениях: пример 1 (4 > 0, правда ведь?)
И последний штрих - решаем уравнение : $x + 1 = 4 x - 4 \Leftrightarrow x = \frac{5}{3}$

Для начала, найдём ОДЗ - область допустимых значений уравнения.

ОДЗ: $\frac{x + 1}{x - 1} > 0$

Но решать это неравенство пока не будем. Сразу займёмся данным уравнением.
В нём мы видим взаимно-обратные величины. Это подсказывает нам сделать такую замену переменной:
замены в иррациональных уравнениях: пример 1 $\sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}} = t$

Тогда уравнение превратится в $t - \frac{1}{t} = \frac{3}{2}$ .
Домножаем обе его части на $t$ при условии $t \neq 0$ .
Получаем квадратное уравнение (1):
$2 t^{2} - 3 t - 2 = 0$
Для его решения используем модификацию теоремы Виета.
Вспомогательное уравнение $t^{2} - 3 t - 4 = 0$ имеет корни $4$ и $- 1$ , поэтому корнями уравнения (1) будут $\frac{4}{2} = 2$ и $- \frac{1}{2}$ .
Оба числа удовлетворяют написанному выше условию $t \neq 0$ . Теперь
замены в иррациональных уравнениях: пример 1 $2 t^{2} - 3 t - 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} t = 2 \\ t = - \frac{1}{2} \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} \sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}} = 2 \\ \sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}} = - \frac{1}{2} \emptyset \end{matrix} \Leftrightarrow \frac{x + 1}{x - 1} = 4$
Это равенство замены в иррациональных уравнениях: пример 1 будет верным для будущих решений, которые мы ищем. Ведь решения - это числа, которые обязаны удовлетворять этому равенству.
И вот в этот момент мы должны понять, что неравенство в ОДЗ можно не решать. Можно написать, что оно выполнено по замены в иррациональных уравнениях: пример 1 (4 > 0, правда ведь?)
И последний штрих - решаем уравнение : $x + 1 = 4 x - 4 \Leftrightarrow x = \frac{5}{3}$

Ответ: ${\frac{5}{3}}$

Пример 2.

Решить уравнение $21 + \sqrt{2 x - 7} = x$
Обычно в таких уравнениях уединяют радикал и возводят в квадрат. При этом нужно не забыть записать ОДЗ и ещё некое дополнительное условие, которое гарантирует равносильность перехода.
Мы поступим по-другому. Сразу сделаем замену:
$\sqrt{2 x - 7} = t$ , значит $x = \frac{t^{2} + 7}{2}$
Тогда наше уравнение превращается в
$21 + t = \frac{t^{2} + 7}{2} \Leftrightarrow t^{2} - 2 t - 35 = 0$
Подбираем корни по теореме Виета.
замены в иррациональных уравнениях: пример 2 $[\begin{matrix} t = 7 \\ t = - 5 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} \sqrt{2 x - 7} = 7 \\ \sqrt{2 x - 7} = - 5 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 28 \\ \emptyset \end{matrix}$

Ответ: ${28}$

Обратите внимание, что никаких дополнительных условий не потребовалось.
Когда замена делается в самом начале, на первом шаге, то и требования, находящиеся в ОДЗ, переходят в новое уравнение и содержатся там.
В этом случае, ОДЗ можно не писать.
В последнем примере требование $2 x - 7 \geq 0$ , которое мы должны были записать в ОДЗ, содержится во всех строчках нового уравнения в самой букве t, поскольку замены в иррациональных уравнениях: замечание .
Это значит, что все сделанные в решении переходы равносильны.

Пример 3.

Решить уравнение $3 x^{2} + 15 x + 2 \sqrt{x^{2} + 5 x + 1} = 2$
Вынесем за скобку $3$ из первых двух слагаемых: $3 (x^{2} + 5 x) + 2 \sqrt{x^{2} + 5 x + 1} = 2$ .

Теперь можно выполнить замену: $\sqrt{x^{2} + 5 x + 1} = t$ , и значит $x^{2} + 5 x = t^{2} - 1$ , тогда уравнение превратится в
$3 (t^{2} - 1) + 2 t = 2 \Leftrightarrow$ $3 t^{2} + 2 t - 5 = 0$ (2)
Здесь будет опять удобна модификация теоремы Виета.
Вспомогательное уравнение: $t^{2} + 2 t - 15 = 0$ , его корни $- 5$ и $3$ , тогда корнями уравнения (2) будут $- \frac{5}{3}$ и $1$ .
Теперь замены в иррациональных уравнениях: пример 3 $3 t^{2} + 2 t - 5 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} t = - \frac{5}{3} \\ t = 1 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} \sqrt{x^{2} + 5 x + 1} = - \frac{5}{3} \\ \sqrt{x^{2} + 5 x + 1} = 1 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x \in \emptyset \\ x^{2} + 5 x + 1 = 1 \end{matrix} \Leftrightarrow x^{2} + 5 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = - 5 \end{matrix}$

Ответ: ${- 5; 0}$

Другие примеры иррациональных уравнений, сводящихся к квадратным, ждут вас на этой странице.
Там же есть задания для самостоятельного решения с ответами.

Рациональные уравнения, сводящиеся к квадратным

Все уравнения, которые мы здесь рассмотрим, будут сводиться к квадратным.
Поэтому, предполагается, что вы умеете их решать. Кому нужно вспомнить способы решения квадратных уравнений, смотрите здесь.

Без использования замен

Тут всё довольно стандартно – пишем ОДЗ уравнения. Далее, или переносим всё в одну часть и пытаемся разложить на множители, или избавляемся от дробей. Для того, чтобы избавиться от дробей, мы не занимаемся приведением их к общему знаменателю.
Мы сразу домножаем обе части уравнения на общий знаменатель и уже в следующей строке получаем запись без дробей. Так делать быстрее и удобнее.
Мы же имеем право умножить обе части равенства на число, не равное нулю. Согласно нашей ОДЗ, равно нулю оно не будет.

Пример 1.

Решить уравнение $\frac{3 x - 2}{x - 3} = \frac{x + 2}{x + 3}$ ОДЗ: $x \neq 3 \land x \neq - 3$ ОДЗ: $x \neq 3 \land x \neq - 3$
Домножим обе части уравнения на $(x - 3) (x + 3) \neq 0$ Домножим обе части уравнения на $(x - 3) (x + 3) \neq 0$ , получим
$(3 x - 2) (x + 3) = (x + 2) (x - 3)$
$3 x^{2} + 7 x - 6 = x^{2} - x - 6$
$2 x^{2} + 8 x = 0$
$2 x (x + 4) = 0$
$x = 0 \lor x = - 4$
Если корни – целые, советую всегда делать проверку, подставлять найденные числа в исходное уравнение.
Особенно, когда вы часто делаете арифметические ошибки.
Проверка: при $x = - 4$ $\frac{- 14}{- 7} = \frac{- 2}{- 1}$ верно, при $x = 0$ $\frac{- 2}{- 3} = \frac{2}{3}$ верно Проверка:
при $x = - 4$ $\frac{- 14}{- 7} = \frac{- 2}{- 1}$ верно
при $x = 0$ $\frac{- 2}{- 3} = \frac{2}{3}$ верно

Ответ: ${- 4; 0}$

Правда ведь, лучше быть уверенным самому, что решил верно, а не ждать, когда об этом тебе скажет учитель ?
Ну, а в случае неверного ответа - суметь найти ошибку. Это тоже требует некоторых умений и настойчивости.

Пример 2.

Решить уравнение $(3 x - 8) (7 x + 5) = {(3 x - 8)}^{2}$
Совершенно не нужно раскрывать скобки и приводить подобные.
Слева и справа есть одинаковая скобочка. Мы перенесём всё в одну часть и разложим на множители.
$(3 x - 8) (7 x + 5 - 3 x + 8) = 0$
$(3 x - 8) (4 x + 13) = 0$
$3 x - 8 = 0 \lor 4 x + 13 = 0$
$x = \frac{8}{3} \lor x = - \frac{13}{4}$

Ответ: ${- \frac{13}{4}; \frac{8}{3}}$

Есть немного другой подход к логике решения. Мы сразу видим, что при $3 x - 8 = 0$ равенство будет верным.
Уравнение $3 x - 8 = 0$ фактически даёт нам одну ветку решения. А дальше мы просто поделим обе части на скобку $(3 x - 8)$ .
Почему это можно делать?
Когда мы делим на выражение, которое может при каком-то $x$ обратиться в $0$ , то можем потерять решения уравнения.
Но если у нас отдельно записан случай $3 x - 8 = 0$ , то потери решений не произойдёт.
Выглядит всё это так:
$(3 x - 8) (7 x + 5) = {(3 x - 8)}^{2}$
$3 x - 8 = 0 \lor 7 x + 5 = 3 x - 8$
$x = \frac{8}{3} \lor x = - \frac{13}{4}$
Для использования этот подход можно записать следующим образом: $f \cdot g = f \cdot h \Leftrightarrow f = 0 \lor g = h$ (удобный способ) $f \cdot g = f \cdot h \Leftrightarrow f = 0 \lor g = h$
(удобный способ)
Справедливость его легко установить, если перенести всё налево и вынести f за скобки.

Пример 3.

Решить уравнение $3 (5 x + 3) (4 x^{2} - 1) = 8 {(4 x^{2} - 1)}^{2}$
Воспользуемся удобным способом примера 4:

4 x^{2} - 1 = 0 \lor 3 (5 x + 3) = 8 (4 x^{2} - 1)

$x^{2} = \frac{1}{4} \lor 32 x^{2} - 15 x - 17 = 0$
Для первого уравнения мы помним, что $u^{2} = a \Leftrightarrow u = - \sqrt{a} \lor u = \sqrt{a}$ при $a > 0$ . $u^{2} = a \Leftrightarrow u = - \sqrt{a} \lor u = \sqrt{a}$
при $a > 0$
А для второго уравнения один корень $x_{1} = 1$ легко угадывается, а дальше вступает в силу теорема Виета:
$x_{1} \cdot x_{2} = - \frac{17}{32}$ , значит $x_{2} = - \frac{17}{32}$
И тогда получаем совокупность решений:
$x = \pm \frac{1}{2} \lor x = 1 \lor x = - \frac{17}{32}$

Ответ: ${\pm \frac{1}{2}; 1; - \frac{17}{32}}$

В этой статье я разбираю ещё 7 уравнений, которые сводятся к квадратным без использования замен.
Там же есть задания для самопроверки и ответы к ним.

Простейшие замены

Простейшие потому, что обычно они сразу угадываются.
Скажу пару слов про грамотное оформление.
Старайтесь все вспомогательные вещи, такие как вычисление дискриминанта, ОДЗ, замену на новую букву, записывать в сторонке, например справа.
Чтобы эти записи не мешали основному течению примера, будь то уравнение или неравенство.
Удобная и грамотная запись решения - важная штука.

Примеры такого оформления можно увидеть при горизонтальном расположении телефона или в десктопном варианте.
Здесь места маловато.

Пример 1.

\frac{x - 2}{x + 2} + \frac{x + 2}{x - 2} = 3 \frac{1}{3}

t + \frac{1}{t} = 3 \frac{1}{3}

Видно, что после домножения на $t$ уравнение станет квадратным, а мы знаем, что оно имеет не более двух корней. В данном случае, мы можем эти корни подобрать: cумма взаимно-обратных чисел должна быть равна $3 \frac{1}{3}$ .
Понятно, что это могут быть только $3$ и $\frac{1}{3}$ .
$t = 3 \lor t = \frac{1}{3}$
Теперь мы делаем обратное действие – подставляем дробь $\frac{x - 2}{x + 2}$ вместо $t$ в эти два уравнения. Получим следующие выкладки:
$\frac{x - 2}{x + 2} = 3 \lor \frac{x - 2}{x + 2} = \frac{1}{3}$
$x - 2 = 3 (x + 2) \lor 3 (x - 2) = x + 2$
$2 x = - 8 \lor 2 x = 8$
$x = - 4 \lor x = 4$

Ответ: ${- 4; 4}$

ОДЗ: $x \neq - 2 \land x \neq 2$

замена $\frac{x - 2}{x + 2} = t$

Проверка:
если вы уверены в своей замене, то есть уверены, что исходное уравнение равносильно $t + \frac{1}{t} = 3 \frac{1}{3}$ , и уверены в корнях этого уравнения, то есть в числах $3$ и $\frac{1}{3}$ , то достаточно
подставить $- 4$ в $\frac{x - 2}{x + 2} = 3$ : $\frac{- 6}{- 2} = 3$ верно
и подставить $4$ в $\frac{x - 2}{x + 2} = \frac{1}{3}$ : $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ верно

Проверка: если уравнение $t + \frac{1}{t} = 3 \frac{1}{3}$ и его корни $3$ и $\frac{1}{3}$ не вызывают сомнения, то достаточно подставить
$- 4$ в $\frac{x - 2}{x + 2} = 3$ :
$\frac{- 6}{- 2} = 3$ верно
$4$ в $\frac{x - 2}{x + 2} = \frac{1}{3}$ :
$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ верно

$\frac{x - 2}{x + 2} + \frac{x + 2}{x - 2} = 3 \frac{1}{3}$ ОДЗ: $x \neq - 2 \land x \neq 2$
замена: $\frac{x - 2}{x + 2} = t$
После замены получаем уравнение:
$t + \frac{1}{t} = 3 \frac{1}{3}$
Видно, что после домножения на $t$ уравнение станет квадратным, а мы знаем, что оно имеет не более двух корней.
В данном случае, мы можем эти корни подобрать: cумма взаимно-обратных чисел должна быть равна $3 \frac{1}{3}$ .
Это могут быть только $3$ и $\frac{1}{3}$ . $t = 3 \lor t = \frac{1}{3}$
Теперь мы делаем обратное действие – в эти два уравнения вместо $t$ подставляем дробь $\frac{x - 2}{x + 2}$ .
Всё логично – сначала дробь заменяли на букву, а теперь обратно – букву на дробь.
$\frac{x - 2}{x + 2} = 3 \lor \frac{x - 2}{x + 2} = \frac{1}{3}$

x - 2 = 3 (x + 2) \lor 3 (x - 2) = x + 2

$2 x = - 8 \lor 2 x = 8$
$x = - 4 \lor x = 4$
Проверка:
если вы уверены в своей замене, то есть уверены, что исходное уравнение равносильно $t + \frac{1}{t} = 3 \frac{1}{3}$ , и уверены в корнях этого уравнения, то есть в числах $3$ и $\frac{1}{3}$ , то достаточно подставить
$- 4$ в $\frac{x - 2}{x + 2} = 3$ : $\frac{- 6}{- 2} = 3$ верно
$4$ в $\frac{x - 2}{x + 2} = \frac{1}{3}$ : $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ верно

Ответ: ${- 4; 4}$

Пример 2.

x^{2} - 7 | x | + 6 = 0

${| x |}^{2} - 7 | x | + 6 = 0$
$t^{2} - 7 t + 6 = 0$
$t = 1 \lor t = 6$
$| x | = 1 \lor | x | = 6$
$x = - 1 \lor x = 1 \lor x = - 6 \lor x = 6$

Ответ: ${- 6; - 1; 1; 6}$

мы помним свойство модуля: ${| x |}^{2} = x^{2}$
это позволяет нам сделать замену $| x | = t$ получаем квадратное уравнение возвращаемся к букве x, заменяя $t = | x |$

для модуля: ${| x |}^{2} = x^{2}$

замена $| x | = t$

квадратное уравнение для $t$

возвращаемся к x
заменяем $t = | x |$

x^{2} - 7 | x | + 6 = 0

есть свойство модуля: ${| x |}^{2} = x^{2}$
${| x |}^{2} - 7 | x | + 6 = 0$
это позволяет нам сделать замену:
$| x | = t$
$t^{2} - 7 t + 6 = 0$
$t = 1 \lor t = 6$
Возвращаемся к букве x, заменяя $t = | x |$ :
$| x | = 1 \lor | x | = 6$

x = - 1 \lor x = 1 \lor x = - 6 \lor x = 6

Ответ: ${- 6; - 1; 1; 6}$

Пример 3.

$9 x^{4} + 23 x^{2} - 12 = 0$
Это, так называемое, биквадратное уравнение.
$9 t^{2} + 23 t - 12 = 0$ (*)
$t = - 3 \lor t = \frac{4}{9}$
$x^{2} = - 3 \lor x^{2} = \frac{4}{9}$
$x \in \emptyset \lor x = \pm \frac{2}{3}$
$x = \pm \frac{2}{3}$

Ответ: ${- \frac{2}{3}; \frac{2}{3}}$

замена $x^{2} = t$

для уравнения (*) используем модификацию теоремы Виета
вспомогательное уравнение $t^{2} + 23 t - 12 \cdot 9 = 0$
подберём его корни: $12 \cdot 9 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 4 \cdot 27$
значит, это числа $- 27$ и $4$
тогда корни уравнения (*) $\frac{- 27}{9} = - 3$ и $\frac{4}{9}$

для (*) используем модификацию т. Виета
вспомогательное ур-е $t^{2} + 23 t - 12 \cdot 9 = 0$

12 \cdot 9 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 4 \cdot 27

его корни $- 27$ и $4$ ,
тогда корни ур-я (*)
$\frac{- 27}{9} = - 3$ и $\frac{4}{9}$

$9 x^{4} + 23 x^{2} - 12 = 0$
Это, так называемое, биквадратное уравнение.
замена: $x^{2} = t$
$9 t^{2} + 23 t - 12 = 0$ (*)
Для его решения используем
модификацию теоремы Виета:
вспомогательное уравнение имеет вид
$t^{2} + 23 t - 12 \cdot 9 = 0$ , подберём его корни
поскольку $12 \cdot 9 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 4 \cdot 27$ ,
то это числа $- 27$ и $4$
тогда корни уравнения (*) равны
$\frac{- 27}{9} = - 3$ и $\frac{4}{9}$
$t = - 3 \lor t = \frac{4}{9}$
$x^{2} = - 3 \lor x^{2} = \frac{4}{9}$
$x \in \emptyset \lor x = \pm \frac{2}{3}$
$x = \pm \frac{2}{3}$

Ответ: ${- \frac{2}{3}; \frac{2}{3}}$

Пример 4.

${(x - 1)}^{4} - x^{2} + 2 x - 73 = 0$
${(x - 1)}^{4} - (x^{2} - 2 x) - 73 = 0$
${(x - 1)}^{4} - (x^{2} - 2 x + 1) - 72 = 0$
${(x - 1)}^{4} - {(x - 1)}^{2} - 72 = 0$ (1)
$t^{2} - t - 72 = 0$
$t = 9 \lor t = - 8$
${(x - 1)}^{2} = 9 \lor {(x - 1)}^{2} = - 8$
$x - 1 = 3 \lor x - 1 = - 3$
$x = 4 \lor x = - 2$

Ответ: ${- 2; 4}$

Если присмотреться, то в последних слагаемых можно увидеть кусочек формулы квадрат разности. Пытаемся выделить этот квадрат.
замена в уравнении (1): ${(x - 1)}^{2} = t$

В последних слагаемых видим кусочек формулы квадрат разности. Выделяем этот квадрат.

замена в (1): ${(x - 1)}^{2} = t$

${(x - 1)}^{4} - x^{2} + 2 x - 73 = 0$
В последних слагаемых, если присмотреться, можно увидеть кусочек формулы квадрат разности. Пытаемся выделить этот квадрат.
${(x - 1)}^{4} - (x^{2} - 2 x) - 73 = 0$
${(x - 1)}^{4} - (x^{2} - 2 x + 1) - 72 = 0$
${(x - 1)}^{4} - {(x - 1)}^{2} - 72 = 0$
теперь замена: ${(x - 1)}^{2} = t$
И получаем квадратное уравнение:
$t^{2} - t - 72 = 0$
$t = 9 \lor t = - 8$
${(x - 1)}^{2} = 9 \lor {(x - 1)}^{2} = - 8$
$x - 1 = 3 \lor x - 1 = - 3$
$x = 4 \lor x = - 2$

Ответ: ${- 2; 4}$

Пример 5.

$\frac{x^{2} - 2 x}{4 x - 3} + 5 = \frac{16 x - 12}{2 x - x^{2}}$
Что-то общее мы видим в этих дробях. Сделаем их ещё более похожими.
$\frac{x^{2} - 2 x}{4 x - 3} + 5 = \frac{4 (4 x - 3)}{- (x^{2} - 2 x)}$
$\frac{x^{2} - 2 x}{4 x - 3} + 5 = - 4 : \frac{x^{2} - 2 x}{4 x - 3}$ (1)
$t + 5 = - \frac{4}{t}$
Домножим обе части на $t$ при условии $t \neq 0$ (*)
$t^{2} + 5 t + 4 = 0$
$t = - 4 \lor t = - 1$
$\frac{x^{2} - 2 x}{4 x - 3} = - 4 \lor \frac{x^{2} - 2 x}{4 x - 3} = - 1$

x^{2} - 2 x = - 4 (4 x - 3) \lor x^{2} - 2 x = - (4 x - 3)

$x^{2} + 14 x - 12 = 0 \lor x^{2} + 2 x - 3 = 0$
$x = - 7 \pm \sqrt{49 + 12} \lor x = - 3 \lor x = 1$
$x = - 7 \pm \sqrt{61} \lor x = - 3 \lor x = 1$

Ответ: ${- 7 \pm \sqrt{61}; - 3; 1}$

ОДЗ:

4 x - 3 \neq 0 \land 2 x - x^{2} \neq 0

x \neq \frac{3}{4} \land x (2 - x) \neq 0

x \neq \frac{3}{4} \land x \neq 0 \land x \neq 2

замена в уравнении (1): $\frac{x^{2} - 2 x}{4 x - 3} = t$

в уравнении (1)
замена $\frac{x^{2} - 2 x}{4 x - 3} = t$

для чисел $- 4$ и $- 1$ условие (*) выполняется

найденные числа попадают в ОДЗ

для чисел $- 4$ и $- 1$ условие (*) выполнено

найденные числа попадают в ОДЗ

$\frac{x^{2} - 2 x}{4 x - 3} + 5 = \frac{16 x - 12}{2 x - x^{2}}$ ОДЗ:
$4 x - 3 \neq 0 \land 2 x - x^{2} \neq 0$
$x \neq \frac{3}{4} \land x (2 - x) \neq 0$
$x \neq \frac{3}{4} \land x \neq 0 \land x \neq 2$
Что-то общее мы видим в этих дробях данного уравнения.
Сделаем их ещё более похожими.
$\frac{x^{2} - 2 x}{4 x - 3} + 5 = \frac{4 (4 x - 3)}{- (x^{2} - 2 x)}$
$\frac{x^{2} - 2 x}{4 x - 3} + 5 = - 4 : \frac{x^{2} - 2 x}{4 x - 3}$
теперь замена: $\frac{x^{2} - 2 x}{4 x - 3} = t$
$t + 5 = - \frac{4}{t}$
Домножим обе части на $t$ при условии $t \neq 0$ (*)
$t^{2} + 5 t + 4 = 0$
$t = - 4 \lor t = - 1$
И эти числа удовлетворяют (*)
$\frac{x^{2} - 2 x}{4 x - 3} = - 4 \lor \frac{x^{2} - 2 x}{4 x - 3} = - 1$

x^{2} - 2 x = - 4 (4 x - 3) \lor x^{2} - 2 x = - (4 x - 3)

x^{2} + 14 x - 12 = 0 \lor x^{2} + 2 x - 3 = 0

x = - 7 \pm \sqrt{49 + 12} \lor x = - 3 \lor x = 1

x = - 7 \pm \sqrt{61} \lor x = - 3 \lor x = 1

Ответ: ${- 7 \pm \sqrt{61}; - 3; 1}$

Пример 6.

${(\frac{5 x + 1}{2 x - 3})}^{2} + {(\frac{3 - 2 x}{5 x + 1})}^{2} = \frac{82}{9}$ (1)
Поменяем знаки в числителе второй скобки.
${(\frac{5 x + 1}{2 x - 3})}^{2} + {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{2} = \frac{82}{9}$ (2)
$t + \frac{1}{t} = \frac{82}{9}$
Домножим обе части на $t$ при условии $t \neq 0$ (*)
$9 t^{2} - 82 t + 9 = 0$ (3)
$t = \frac{1}{9} \lor t = 9$
${(\frac{5 x + 1}{2 x - 3})}^{2} = \frac{1}{9} \lor {(\frac{5 x + 1}{2 x - 3})}^{2} = 9$

\frac{5 x + 1}{2 x - 3} = \frac{1}{3} \lor \frac{5 x + 1}{2 x - 3} = - \frac{1}{3} \lor \frac{5 x + 1}{2 x - 3} = 3 \lor \frac{5 x + 1}{2 x - 3} = - 3

15 x + 3 = 2 x - 3 \lor 15 x + 3 = - 2 x + 3 \lor 5 x + 1 = 6 x - 9 \lor 5 x + 1 = - 6 x + 9

x = - \frac{6}{13} \lor x = 0 \lor x = 10 \lor x = \frac{8}{11}

Ответ: ${- \frac{6}{13}; 0; \frac{8}{11}; 10}$

ОДЗ:

2 x - 3 \neq 0 \land 5 x + 1 \neq 0

x \neq \frac{3}{2} \land x \neq - \frac{1}{5}

при переходе от уравнения (1) к уравнению (2) используем свойство квадрата: ${(a - b)}^{2} = {(b - a)}^{2}$
и чуть подробнее про этот переход:

{(\frac{3 - 2 x}{5 x + 1})}^{2} = \frac{{(3 - 2 x)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}} = \frac{{(2 x - 3)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}} = {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{2}

замена в уравнении (2): ${(\frac{5 x + 1}{2 x - 3})}^{2} = t$

при решении уравнения (3) используем
модификацию теоремы Виета:
вспомогательное уравнение $t^{2} - 82 t + 81 = 0$
имеет корни $1$ и $81$ ,
значит корнями уравнения (3) будут $\frac{1}{9}$ и $\frac{81}{9} = 9$

найденные числа $\frac{1}{9}$ и $9$ удовлетворяют условию (*)

ОДЗ:

2 x - 3 \neq 0 \land 5 x + 1 \neq 0

x \neq \frac{3}{2} \land x \neq - \frac{1}{5}

переход от (1) к (2): ${(a - b)}^{2} = {(b - a)}^{2}$
и чуть подробнее:

{(\frac{3 - 2 x}{5 x + 1})}^{2} = \frac{{(3 - 2 x)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}} = \frac{{(2 x - 3)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}} = {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{2}

замена в (2): ${(\frac{5 x + 1}{2 x - 3})}^{2} = t$

в (3) используем
модификацию т. Виета:
у доп. уравнения $t^{2} - 82 t + 81 = 0$
корни $1$ и $81$ , значит
$\frac{1}{9}$ и $\frac{81}{9} = 9$ - корни (3)

для $\frac{1}{9}$ и $9$ (*) верно

${(\frac{5 x + 1}{2 x - 3})}^{2} + {(\frac{3 - 2 x}{5 x + 1})}^{2} = \frac{82}{9}$
ОДЗ:
$2 x - 3 \neq 0 \land 5 x + 1 \neq 0$
$x \neq \frac{3}{2} \land x \neq - \frac{1}{5}$
Поменяем знаки в числителе второй скобки.
Для этого используем свойство:
${(a - b)}^{2} = {(b - a)}^{2}$

Фактически, мы делаем вот так:

{(\frac{3 - 2 x}{5 x + 1})}^{2} = \frac{{(3 - 2 x)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}} = \frac{{(2 x - 3)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}} = {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{2}

Возвращаемся к нашему уравнению.
${(\frac{5 x + 1}{2 x - 3})}^{2} + {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{2} = \frac{82}{9}$
замена: ${(\frac{5 x + 1}{2 x - 3})}^{2} = t$
$t + \frac{1}{t} = \frac{82}{9}$
Домножим обе части на $t$ при условии $t \neq 0$ (*)
$9 t^{2} - 82 t + 9 = 0$ (1)
Для решения уравнения (1) используем модификацию теоремы Виета.
Вспомогательное уравнение
$t^{2} - 82 t + 81 = 0$
имеет корни $1$ и $81$ , значит
$\frac{1}{9}$ и $\frac{81}{9} = 9$ - корни уравнения (1)
И, кстати, эти числа удовлетворяют условию (*)
$t = \frac{1}{9} \lor t = 9$
${(\frac{5 x + 1}{2 x - 3})}^{2} = \frac{1}{9} \lor {(\frac{5 x + 1}{2 x - 3})}^{2} = 9$

\frac{5 x + 1}{2 x - 3} = \frac{1}{3} \lor \frac{5 x + 1}{2 x - 3} = - \frac{1}{3} \lor \frac{5 x + 1}{2 x - 3} = 3 \lor \frac{5 x + 1}{2 x - 3} = - 3

15 x + 3 = 2 x - 3 \lor 15 x + 3 = - 2 x + 3 \lor 5 x + 1 = 6 x - 9 \lor 5 x + 1 = - 6 x + 9

x = - \frac{6}{13} \lor x = 0 \lor x = 10 \lor x = \frac{8}{11}

Ответ: ${- \frac{6}{13}; 0; \frac{8}{11}; 10}$

Ещё несколько примеров с разными несложными заменами разбираются на этой странице.
Там же вы найдёте уравнения, которые можете порешать самостоятельно в качестве тренировки. К заданиям есть ответы.

Возвратные уравнения

Это уравнения с симметричными коэффициентами, если смотреть от начала и конца уравнения.
То есть, уравнения вида $a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} \pm b x + a = 0$ .
Коэффициенты при $x^{3}$ и $x$ могут иметь противоположные знаки.

Возвратные уравнения могут быть и пятой и шестой степени, но я здесь ограничусь только указанным видом. Принцип решения одинаков.
У таких уравнений с помощью специальной замены можно понизить степень.

Пример 1.

$6 x^{4} + 5 x^{3} - 38 x^{2} + 5 x + 6 = 0$
Поскольку $0$ не является корнем уравнения, можно поделить обе части на $x^{2}$ , и потери решений не произойдёт.
$6 x^{2} + 5 x - 38 + \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}} = 0$
Сгруппируем вместе слагаемые с одинаковыми коэффициентами.
$6 (x^{2} + \frac{1}{x^{2}}) + 5 (x + \frac{1}{x}) - 38 = 0$ (1)
$6 (t^{2} - 2) + 5 t - 38 = 0$
$6 t^{2} + 5 t - 50 = 0$ (2)
$t = \frac{- 5 + 35}{12} \lor t = \frac{- 5 - 35}{12}$
$t = \frac{5}{2} \lor t = - \frac{10}{3}$
$x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2} \lor x + \frac{1}{x} = - \frac{10}{3}$
$2 x^{2} - 5 x + 2 = 0 \lor 3 x^{2} + 10 x + 3 = 0$
$x = 2 \lor x = \frac{1}{2} \lor x = - 3 \lor x = - \frac{1}{3}$

Ответ: ${- 3; - \frac{1}{3}; \frac{1}{2}; 2}$

в уравнении (1) замена: $x + \frac{1}{x} = t$ , тогда:
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = {(x + \frac{1}{x})}^{2} - 2 = t^{2} - 2$
идея в том, что удвоенное произведение - число

для уравнения (2) используем формулы с дискриминантом:

D = 25 + 4 \cdot 6 \cdot 50 = 25 (1 + 48) = 25 \cdot 49

$\sqrt{D} = 5 \cdot 7 = 35$

проверим числа, найденные в (2), по теореме Виета:
$\frac{5}{2} \cdot (- \frac{10}{3}) = - \frac{50}{6} = \frac{c}{a}$ верно
$\frac{5}{2} - \frac{10}{3} = - \frac{5}{6} = - \frac{b}{a}$ верно

в (1) заменим: $x + \frac{1}{x} = t$ , тогда:

x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = {(x + \frac{1}{x})}^{2} - 2 = t^{2} - 2

для уравнения (2) используем формулы с дискриминантом:

D = 25 + 4 \cdot 6 \cdot 50 = 25 (1 + 48) = 25 \cdot 49

$\sqrt{D} = 5 \cdot 7 = 35$

проверим $\frac{5}{2}$ и $- \frac{10}{3}$ для (2) по т. Виета:
$\frac{5}{2} \cdot (- \frac{10}{3}) = - \frac{50}{6} = \frac{c}{a}$
$\frac{5}{2} - \frac{10}{3} = - \frac{5}{6} = - \frac{b}{a}$

$6 x^{4} + 5 x^{3} - 38 x^{2} + 5 x + 6 = 0$ Поскольку $0$ не является корнем уравнения, можно поделить обе его части на $x^{2}$ , и потери решений не произойдёт.
$6 x^{2} + 5 x - 38 + \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}} = 0$
Сгруппируем вместе слагаемые с одинаковыми коэффициентами.
$6 (x^{2} + \frac{1}{x^{2}}) + 5 (x + \frac{1}{x}) - 38 = 0$
замена: $x + \frac{1}{x} = t$ , тогда
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = {(x + \frac{1}{x})}^{2} - 2 = t^{2} - 2$
Здесь весь фокус в том, что удвоенное произведение будет числом.
$6 (t^{2} - 2) + 5 t - 38 = 0$
$6 t^{2} + 5 t - 50 = 0$

Для решения используем формулы с дискриминантом

D = 25 + 4 \cdot 6 \cdot 50 = 25 (1 + 48) = 25 \cdot 49

\sqrt{D} = 5 \cdot 7 = 35

$t = \frac{- 5 + 35}{12} \lor t = \frac{- 5 - 35}{12}$
$t = \frac{5}{2} \lor t = - \frac{10}{3}$
Проверим найденные числа по теореме Виета:
$\frac{5}{2} \cdot (- \frac{10}{3}) = - \frac{50}{6} = \frac{c}{a}$ верно
$\frac{5}{2} - \frac{10}{3} = - \frac{5}{6} = - \frac{b}{a}$ верно
Оба требования выполнены, значит - это действительно корни, и мы возвращаемся к уравнениям.
$x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2} \lor x + \frac{1}{x} = - \frac{10}{3}$

2 x^{2} - 5 x + 2 = 0 \lor 3 x^{2} + 10 x + 3 = 0

x = 2 \lor x = \frac{1}{2} \lor x = - 3 \lor x = - \frac{1}{3}

Ответ: ${- 3; - \frac{1}{3}; \frac{1}{2}; 2}$

Иногда к возвратным относят и уравнения более хитрого вида: $a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} \pm p b x + p^{2} a = 0$
Но решаются они, по сути, так же.

Пример 2.

Ответ: ${1; 2}$

замена: $x + \frac{2}{x} = t$ , тогда:
$x^{2} + \frac{4}{x^{2}} = {(x + \frac{2}{x})}^{2} - 4 = t^{2} - 4$
первое уравнения решений не имеет, а корни второго $1$ и $2$ подобрали по теореме Виета

замена $x + \frac{2}{x} = t$
тогда:

x^{2} + \frac{4}{x^{2}} = {(x + \frac{2}{x})}^{2} - 4 = t^{2} - 4

первое уравнения решений не имеет, а корни второго $1$ и $2$ подобрали по теореме Виета

$x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} - 10 x + 4 = 0$
Число $0$ - не корень уравнения, поэтому при делении на $x^{2}$ потери решений не произойдёт.
$x^{2} - 5 x + 10 - \frac{10}{x} + \frac{4}{x^{2}} = 0$
Собираем вместе слагаемые с противоположными степенями.
$(x^{2} + \frac{4}{x^{2}}) - 5 (x + \frac{2}{x}) + 10 = 0$
замена: $x + \frac{2}{x} = t$ , тогда
$x^{2} + \frac{4}{x^{2}} = {(x + \frac{2}{x})}^{2} - 4 = t^{2} - 4$
Получаем квадратное уравнение для $t$ .
$t^{2} - 4 - 5 t + 10 = 0$
$t^{2} - 5 t + 6 = 0$
$t = 2 \lor t = 3$
$x + \frac{2}{x} = 2 \lor x + \frac{2}{x} = 3$
$x^{2} - 2 x + 2 = 0 \lor x^{2} - 3 x + 2 = 0$
$x = 1 \lor x = 2$
Первое уравнение решений не имеет, поскольку D < 0.
Решения второго $1$ и $2$ подобрали по теореме Виета.

Ответ: ${1; 2}$

Разбор возвратных уравнений есть ещё здесь.
С заданиями для самостоятельного решения. И с ответами к ним.

Однородные уравнения

Уравнение вида $a u^{2} + b u v + c v^{2} = 0$ называется однородным уравнением второй степени относительно двух переменных $u$ и $v$ .
После деления, например, на $v^{2}$ и замены $\frac{u}{v} = t$ оно превращается в обычное квадратное уравнение. А вот так выглядит однородное уравнение третьей степени относительно $u$ и $v$ : $a u^{3} + b u^{2} v + c u v^{2} + d v^{3} = 0$ .
Здесь нужно поделить уже на $v^{3}$ , сделать ту же замену, и мы получим кубическое уравнение.

Пример.

${(x + 5)}^{4} - 13 x^{2} {(x + 5)}^{2} + 36 x^{4} = 0$
Поскольку $x = 0$ - не корень уравнения, то при делении на $x^{4}$ потери решений не произойдёт.
$\frac{{(x + 5)}^{4}}{x^{4}} - 13 \cdot \frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{2}} + 36 = 0$ (1)
$t^{2} - 13 t + 36 = 0$ (2)
$t = 9 \lor t = 4$
$\frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{2}} = 9 \lor \frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{2}} = 4$
${(\frac{x + 5}{x})}^{2} = 9 \lor {(\frac{x + 5}{x})}^{2} = 4$

\frac{x + 5}{x} = 3 \lor \frac{x + 5}{x} = - 3 \lor \frac{x + 5}{x} = 2 \lor \frac{x + 5}{x} = - 2

x + 5 = 3 x \lor x + 5 = - 3 x \lor x + 5 = 2 x \lor x + 5 = - 2 x

$x = \frac{5}{2} \lor x = - \frac{5}{4} \lor x = 5 \lor x = - \frac{5}{3}$

Ответ: ${- \frac{5}{3}; - \frac{5}{4}; \frac{5}{2}; 5}$

если обозначить $u = {(x + 5)}^{2}$ , $v = x^{2}$ , то получим уравнение $u^{2} - 13 u v + 36 v^{2} = 0$ , которое является однородным, поэтому, исходное уравнение решаем делением на $x^{4}$

в уравнении (1) замена: $\frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{2}} = t$

корни $9$ и $4$ уравнения (2) подбираем по теореме Виета

при $u = {(x + 5)}^{2}$ , $v = x^{2}$ получим однородное уравнение $u^{2} - 13 u v + 36 v^{2} = 0$ , поэтому, делим исходное на $x^{4}$

в уравнении (1) замена: $\frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{2}} = t$

корни $9$ и $4$ уравнения (2) подбираем по теореме Виета

${(x + 5)}^{4} - 13 x^{2} {(x + 5)}^{2} + 36 x^{4} = 0$
При $u = {(x + 5)}^{2}$ и $v = x^{2}$ получим уравнение $u^{2} - 13 u v + 36 v^{2} = 0$ , которое является однородным.
Поэтому, решаем исходное уравнение делением на $x^{4}$ . Поскольку $x = 0$ - не корень уравнения, то при делении на $x^{4}$ потери решений не произойдёт.
$\frac{{(x + 5)}^{4}}{x^{4}} - 13 \cdot \frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{2}} + 36 = 0$
замена: $\frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{2}} = t$
Получаем уравнение:
$t^{2} - 13 t + 36 = 0$
его корни $9$ и $4$ подбираем по теореме Виета
$t = 9 \lor t = 4$
$\frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{2}} = 9 \lor \frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{2}} = 4$
${(\frac{x + 5}{x})}^{2} = 9 \lor {(\frac{x + 5}{x})}^{2} = 4$

\frac{x + 5}{x} = 3 \lor \frac{x + 5}{x} = - 3 \lor \frac{x + 5}{x} = 2 \lor \frac{x + 5}{x} = - 2

x + 5 = 3 x \lor x + 5 = - 3 x \lor x + 5 = 2 x \lor x + 5 = - 2 x

x = \frac{5}{2} \lor x = - \frac{5}{4} \lor x = 5 \lor x = - \frac{5}{3}

Ответ: ${- \frac{5}{3}; - \frac{5}{4}; \frac{5}{2}; 5}$

Несколько однородных уравнений разбираются в этой статье.
Там же есть заданиями для самостоятельного решения с ответами.

Нестандартные замены

Существуют самые разные замены переменной, в результате которых уравнения превращаются в квадратные.
Замены бывают очевидные, стандартные и довольно хитрые, до которых так просто и не догадаешься.
Тем не менее, для некоторых типов уравнений способы решения изучены, и замены для этих уравнений известны.

Пример 1.

$x (x + 4) (x + 5) (x + 9) + 96 = 0$
Сделаем частичное раскрытие скобок, чтобы появился одинаковый кусочек $x^{2} + 9 x$ .
$(x^{2} + 9 x) (x^{2} + 9 x + 20) + 96 = 0$ (1)
$t (t + 20) + 96 = 0$
$t^{2} + 20 t + 96 = 0$
$t = - 12 \lor t = - 8$
$x^{2} + 9 x = - 12 \lor x^{2} + 9 x = - 8$
$x^{2} + 9 x + 12 = 0 \lor x^{2} + 9 x + 8 = 0$
$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{33}}{2} \lor x = - 8 \lor x = - 1$

Ответ: ${\frac{- 9 \pm \sqrt{33}}{2}; - 8; - 1}$

в уравнении (1) замена: $x^{2} + 9 x = t$

корни $- 12$ и $- 8$ подбираем по теореме Виета

корни первого уравнения находим с помощью дискриминанта
корни второго уравнения подбираем по теореме Виета

в уравнении (1) замена: $x^{2} + 9 x = t$

корни $- 12$ и $- 8$ нашли по т. Виета

в 1-ом уравнении искали дискриминант
во 2-ом - использовали теорему Виета

$x (x + 4) (x + 5) (x + 9) + 96 = 0$
Сделаем частичное раскрытие скобок, чтобы появился одинаковый кусочек $x^{2} + 9 x$ .
$(x^{2} + 9 x) (x^{2} + 9 x + 20) + 96 = 0$
замена: $x^{2} + 9 x = t$
Уравнение станет таким:
$t (t + 20) + 96 = 0$
$t^{2} + 20 t + 96 = 0$
его корни $- 12$ и $- 8$ находим по теореме Виета
$t = - 12 \lor t = - 8$
$x^{2} + 9 x = - 12 \lor x^{2} + 9 x = - 8$
$x^{2} + 9 x + 12 = 0 \lor x^{2} + 9 x + 8 = 0$
корни первого уравнения находим с помощью дискриминанта
корни второго уравнения подбираем по теореме Виета

x = \frac{- 9 \pm \sqrt{33}}{2} \lor x = - 8 \lor x = - 1

Ответ: ${\frac{- 9 \pm \sqrt{33}}{2}; - 8; - 1}$

Кстати, если бы мы сделали немного другую замену $x^{2} + 9 x + 10 = t$ , то получили бы относительно $t$ более простое уравнение:
$(t - 10) (t + 10) + 96 = 0$
$t^{2} = 4$
$t = 2 \lor t = - 2$
и так далее ...

Пример 2.

$(x + 2) (x + 3) (x + 8) (x + 12) = 4 x^{2}$
Здесь опять раскрываем не все скобки, но действуем по другому принципу – так, чтобы свободный член в новых скобках стал одинаковым (в данном случае, это $24$ ).
$(x^{2} + 14 x + 24) (x^{2} + 11 x + 24) = 4 x^{2}$
Делим обе части уравнения на $x^{2}$ .
Поскольку $0$ - не корень уравнения, то потери решений не будет.
$\frac{x^{2} + 14 x + 24}{x} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 24}{x} = 4$
$(\frac{x^{2} + 24}{x} + 14) (\frac{x^{2} + 24}{x} + 11) = 4$ (1)
$t (t + 3) = 4$
$t^{2} + 3 t - 4 = 0$
$t = - 4 \lor t = 1$
$\frac{x^{2} + 24}{x} + 11 = - 4 \lor \frac{x^{2} + 24}{x} + 11 = 1$
$x^{2} + 15 x + 24 = 0 \lor x^{2} + 10 x + 24 = 0$
$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{129}}{2} \lor x = - 6 \lor x = - 4$

Ответ: ${\frac{- 15 \pm \sqrt{129}}{2}; - 6; - 4}$

в уравнении (1) замена: $\frac{x^{2} + 24}{x} + 11 = t$
корни первого уравнения находим с помощью дискриминанта
корни второго уравнения подбираем по теореме Виета

в (1) замена: $\frac{x^{2} + 24}{x} + 11 = t$
в 1-ом уравнении искали дискриминант
во 2-ом - подбирали корни по теореме Виета

(x + 2) (x + 3) (x + 8) (x + 12) = 4 x^{2}

Здесь опять раскрываем не все скобки, но действуем по другому принципу – так, чтобы свободный член в новых скобках стал одинаковым.
В данном случае, это $24$ .

(x^{2} + 14 x + 24) (x^{2} + 11 x + 24) = 4 x^{2}

Делим обе части уравнения на $x^{2}$ .
Поскольку $0$ - не корень уравнения, то потери решений не будет.
$\frac{x^{2} + 14 x + 24}{x} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 24}{x} = 4$
$(\frac{x^{2} + 24}{x} + 14) (\frac{x^{2} + 24}{x} + 11) = 4$
замена: $\frac{x^{2} + 24}{x} + 11 = t$
$t (t + 3) = 4$
$t^{2} + 3 t - 4 = 0$
$t = - 4 \lor t = 1$

\frac{x^{2} + 24}{x} + 11 = - 4 \lor \frac{x^{2} + 24}{x} + 11 = 1

x^{2} + 15 x + 24 = 0 \lor x^{2} + 10 x + 24 = 0

x = \frac{- 15 \pm \sqrt{129}}{2} \lor x = - 6 \lor x = - 4

Ответ: ${\frac{- 15 \pm \sqrt{129}}{2}; - 6; - 4}$

Пример 3.

$\frac{x^{2} + 5 x + 4}{x^{2} - 7 x + 4} + \frac{x^{2} - x + 4}{x^{2} + x + 4} + \frac{13}{3} = 0$
Везде имеются выражения $x^{2} + 4$ , а вот слагаемые с $x$ в первой степени – разные.
Превратим эти слагаемые в числа – поделим числитель и знаменатель каждой дроби на $x$ .
Это возможно, так как $0$ – не корень уравнения.
$\frac{\frac{x^{2} + 4}{x} + 5}{\frac{x^{2} + 4}{x} - 7} + \frac{\frac{x^{2} + 4}{x} - 1}{\frac{x^{2} + 4}{x} + 1} + \frac{13}{3} = 0$
$\frac{t + 5}{t - 7} + \frac{t - 1}{t + 1} + \frac{13}{3} = 0$
Избавляемся от дробей - домножаем обе части на общий знаменатель.

3 (t + 5) (t + 1) + 3 (t - 1) (t - 7) + 13 (t - 7) (t + 1) = 0

3 (t^{2} + 6 t + 5) + 3 (t^{2} - 8 t + 7) + 13 (t^{2} - 6 t - 7) = 0

$19 t^{2} - 84 t - 55 = 0$ (1)
$t = 5 \lor t = - \frac{11}{19}$
$\frac{x^{2} + 4}{x} = 5 \lor \frac{x^{2} + 4}{x} = - \frac{11}{19}$
$x^{2} - 5 x + 4 = 0 \lor 19 x^{2} + 11 x + 76 = 0$
$x = 1 \lor x = 4 \lor x \in \emptyset$

Ответ: ${1; 4}$

ОДЗ: $x^{2} - 7 x + 4 \neq 0 \land x^{2} + x + 4 \neq 0$
пока не решаем, но помним про него

замена: $\frac{x^{2} + 4}{x} = t$

ограничения для $t$ , которые равносильны требованиям ОДЗ:
$t \neq 7 \land t \neq - 1$ (*)
проверять будем уже их

для решения (1) используем модификацию т. Виета
вспомогательное уравнение:

t^{2} - 84 t - 55 \cdot 19 = 0 \Leftrightarrow t^{2} - 84 t - 11 \cdot 95 = 0

его корни $95$ и $- 11$
значит $t = \frac{95}{19} = 5$ и $t = - \frac{11}{19}$ - корни уравнения (1),
и они удовлетворяют требованию (*)

ОДЗ:

x^{2} - 7 x + 4 \neq 0 \land x^{2} + x + 4 \neq 0

пока не решаем, но помним про него

замена: $\frac{x^{2} + 4}{x} = t$

требования $t \neq 7 \land t \neq - 1$ (*)
такие же, как в ОДЗ,
проверять будем их

решая (1), используем модификацию т. Виета
вспомогательное ур-е:

t^{2} - 84 t - 55 \cdot 19 = 0 \Leftrightarrow t^{2} - 84 t - 11 \cdot 95 = 0

его корни $95$ и $- 11$
значит $t = \frac{95}{19} = 5$ и $t = - \frac{11}{19}$ - корни (1),
они удовлетворяют (*)

$\frac{x^{2} + 5 x + 4}{x^{2} - 7 x + 4} + \frac{x^{2} - x + 4}{x^{2} + x + 4} + \frac{13}{3} = 0$
ОДЗ:
$x^{2} - 7 x + 4 \neq 0 \land x^{2} + x + 4 \neq 0$
пока не решаем, но помним про него
В нашем уравнении везде имеются выражения $x^{2} + 4$ , а вот слагаемые с $x$ в первой степени – разные.
Превратим эти слагаемые в числа – поделим числитель и знаменатель каждой дроби на $x$ .
Это возможно, так как $0$ не является корнем уравнения.
$\frac{\frac{x^{2} + 4}{x} + 5}{\frac{x^{2} + 4}{x} - 7} + \frac{\frac{x^{2} + 4}{x} - 1}{\frac{x^{2} + 4}{x} + 1} + \frac{13}{3} = 0$
понятная замена: $\frac{x^{2} + 4}{x} = t$
$\frac{t + 5}{t - 7} + \frac{t - 1}{t + 1} + \frac{13}{3} = 0$
Напишем ограничения для $t$ , которые равносильны требованиям в ОДЗ:
$t \neq 7 \land t \neq - 1$ (*)
И дальше будем проверять условия (*) вместо ОДЗ.
Домножаем обе части уравнения на общий знаменатель.

3 (t + 5) (t + 1) + 3 (t - 1) (t - 7) + 13 (t - 7) (t + 1) = 0

3 (t^{2} + 6 t + 5) + 3 (t^{2} - 8 t + 7) + 13 (t^{2} - 6 t - 7) = 0

$19 t^{2} - 84 t - 55 = 0$ (1)

Далее используем модификацию теоремы Виета.
Вспомогательное уравнение:

t^{2} - 84 t - 55 \cdot 19 = 0 \Leftrightarrow t^{2} - 84 t - 11 \cdot 95 = 0

его корни $95$ и $- 11$
значит $t = \frac{95}{19} = 5$ и $t = - \frac{11}{19}$
- это корни уравнения (1).
Они удовлетворяют требованию (*)

$t = 5 \lor t = - \frac{11}{19}$
$\frac{x^{2} + 4}{x} = 5 \lor \frac{x^{2} + 4}{x} = - \frac{11}{19}$

x^{2} - 5 x + 4 = 0 \lor 19 x^{2} + 11 x + 76 = 0

$x = 1 \lor x = 4 \lor x \in \emptyset$

Ответ: ${1; 4}$

Пример 4.

$x^{2} + \frac{9 x^{2}}{{(x - 3)}^{2}} = 7$
Попробуем выделить здесь квадрат суммы.
$x^{2} + 2 \cdot x \cdot \frac{3 x}{x - 3} + \frac{9 x^{2}}{{(x - 3)}^{2}} - \frac{6 x^{2}}{x - 3} = 7$
${(x + \frac{3 x}{x - 3})}^{2} - \frac{6 x^{2}}{x - 3} = 7$
${(\frac{x^{2}}{x - 3})}^{2} - \frac{6 x^{2}}{x - 3} = 7$
$t^{2} - 6 t - 7 = 0$
$t = 7 \lor t = - 1$
$\frac{x^{2}}{x - 3} = 7 \lor \frac{x^{2}}{x - 3} = - 1$
$x^{2} - 7 x + 21 = 0 \lor x^{2} + x - 3 = 0$
$x \in \emptyset \lor x = \frac{- 1 \pm \sqrt{13}}{2}$

Ответ: ${\frac{- 1 \pm \sqrt{13}}{2}}$

ОДЗ: $x \neq 3$
замена: $\frac{x^{2}}{x - 3} = t$
используем формулы с дискриминантом

$x^{2} + \frac{9 x^{2}}{{(x - 3)}^{2}} = 7$
ОДЗ: $x \neq 3$
Попробуем выделить в левой части уравнения квадрат суммы.
$x^{2} + 2 \cdot x \cdot \frac{3 x}{x - 3} + \frac{9 x^{2}}{{(x - 3)}^{2}} - \frac{6 x^{2}}{x - 3} = 7$
${(x + \frac{3 x}{x - 3})}^{2} - \frac{6 x^{2}}{x - 3} = 7$
${(\frac{x^{2}}{x - 3})}^{2} - \frac{6 x^{2}}{x - 3} = 7$
замена: $\frac{x^{2}}{x - 3} = t$
$t^{2} - 6 t - 7 = 0$
$t = 7 \lor t = - 1$
$\frac{x^{2}}{x - 3} = 7 \lor \frac{x^{2}}{x - 3} = - 1$
$x^{2} - 7 x + 21 = 0 \lor x^{2} + x - 3 = 0$
$x \in \emptyset \lor x = \frac{- 1 \pm \sqrt{13}}{2}$

Ответ: ${\frac{- 1 \pm \sqrt{13}}{2}}$

Разбор нескольких уравнений с нестандартными заменами имеется на этой страничке.
Там же есть заданиями для самостоятельного решения с ответами.

Видеоуроки

Замены в иррациональных уравнениях

Уравнения, сводящиеся к квадратным без замен

Простейшие замены

Возвратные и однородные уравнения

Нестандартные замены

Замены в иррациональных уравнениях

Уравнения, сводящиеся к квадратным без замен

Простейшие замены

Возвратные и однородные уравнения

Нестандартные замены

Замены в иррациональных уравнениях

Уравнения, сводящиеся к квадратным
без замен

Простейшие замены

Возвратные и однородные уравнения

Нестандартные замены

Это может вам пригодиться

Задания для самостоятельного решения

Здесь предлагаются задания, которые вы можете попробовать решить самостоятельно.
Они разные по уровню сложности, но совсем простых нет.
Используйте умения, которые вы смогли почерпнуть после прочтения этой статьи и просмотра видеоуроков.
Старайтесь проверять все свои действия. Важно научиться себя контролировать.
Для каждого задания имеется ответ и более - менее подробное решение.
В записи решения синим цветом отмечены различные пояснения, ОДЗ, замены и так далее.
Красный цвет - для формул и свойств, которые я использовал в этом задании.
Если у вас появились вопросы, зайдите на страничку контакты.

{- 5; \frac{3}{7}; \frac{4}{3}}

{1; 8}

{- \sqrt{6}}

{0}

{- 3; - 1; 5; 7}

{- 3; 0; 2; 5}

{- \frac{1}{2}; \frac{3}{2}}

{- 2; 1; 2}

{3 \pm \sqrt{5}}

{- 7; 2}

{\frac{1}{2}; 2; \frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{2}}

{- 1; - \frac{1}{2}; 2; 4}

{1; 2}

{\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}}

1. $2 {(3 x - 4)}^{2} (x + 5) = {(x + 5)}^{2} (4 - 3 x)$

решение

ответ

2. $| 3 x^{2} - 3 x + 5 | = | 2 x^{2} + 6 x - 3 |$

решение

ответ

3.Найти корни уравнения $x^{2} + x + \sqrt{6} - 6 = 0$ , которые меньше $\sqrt{2}$

решение

ответ

4. $\frac{2 x - 7}{x^{2} - 9 x + 14} - \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2} = \frac{1}{x - 1}$

решение

ответ

5. ${(x - 2)}^{2} - 8 | x - 2 | + 15 = 0$

решение

ответ

6. $x^{2} - 2 x - 5 | x - 1 | + 5 = 0$

решение

ответ

7. ${(2 x - 1)}^{4} - {(2 x - 1)}^{2} - 12 = 0$

решение

ответ

8. $\frac{x^{2} - x - 2}{x - 3} = \frac{2 x - 4}{x^{2} - 3 x}$

решение

ответ

9. $(x - 2) {(x - 3)}^{2} (x - 4) = 20$

решение

ответ

10. $\frac{16}{(x + 6) (x - 1)} - \frac{20}{(x + 2) (x + 3)} = 1$

решение

ответ

11. $2 x^{4} + x^{3} - 11 x^{2} + x + 2 = 0$

решение

ответ

12. $2 {(x^{2} + x + 1)}^{2} - 7 {(x - 1)}^{2} = 13 (x^{3} - 1)$

решение

ответ

13. $\frac{24 x}{2 x^{2} - 3 x + 4} = \frac{12 x}{x^{2} + x + 2} + 5$

решение

ответ

14. $x^{2} + \frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = 3$

решение

ответ

1. $2 {(3 x - 4)}^{2} (x + 5) = {(x + 5)}^{2} (4 - 3 x)$

решение

ответ

2. $| 3 x^{2} - 3 x + 5 | = | 2 x^{2} + 6 x - 3 |$

решение

ответ

3.Найти корни уравнения $x^{2} + x + \sqrt{6} - 6 = 0$ , которые меньше $\sqrt{2}$

решение

ответ

4. $\frac{2 x - 7}{x^{2} - 9 x + 14} - \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2} = \frac{1}{x - 1}$

решение

ответ

5. ${(x - 2)}^{2} - 8 | x - 2 | + 15 = 0$

решение

ответ

6. $x^{2} - 2 x - 5 | x - 1 | + 5 = 0$

решение

ответ

7. ${(2 x - 1)}^{4} - {(2 x - 1)}^{2} - 12 = 0$

решение

ответ

8. $\frac{x^{2} - x - 2}{x - 3} = \frac{2 x - 4}{x^{2} - 3 x}$

решение

ответ

9. $(x - 2) {(x - 3)}^{2} (x - 4) = 20$

решение

ответ

10. $\frac{16}{(x + 6) (x - 1)} - \frac{20}{(x + 2) (x + 3)} = 1$

решение

ответ

11. $2 x^{4} + x^{3} - 11 x^{2} + x + 2 = 0$

решение

ответ

12. $2 {(x^{2} + x + 1)}^{2} - 7 {(x - 1)}^{2} = 13 (x^{3} - 1)$

решение

ответ

13. $\frac{24 x}{2 x^{2} - 3 x + 4} = \frac{12 x}{x^{2} + x + 2} + 5$

решение

ответ

14. $x^{2} + \frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = 3$

решение

ответ

2 {(3 x - 4)}^{2} (x + 5) = {(x + 5)}^{2} (4 - 3 x)

ответ решение

| 3 x^{2} - 3 x + 5 | = | 2 x^{2} + 6 x - 3 |

ответ решение

Найти корни уравнения

x^{2} + x + \sqrt{6} - 6 = 0

, которые меньше

\sqrt{2}

ответ решение

\frac{2 x - 7}{x^{2} - 9 x + 14} - \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2} = \frac{1}{x - 1}

ответ решение

{(x - 2)}^{2} - 8 | x - 2 | + 15 = 0

ответ решение

x^{2} - 2 x - 5 | x - 1 | + 5 = 0

ответ решение

{(2 x - 1)}^{4} - {(2 x - 1)}^{2} - 12 = 0

ответ решение

\frac{x^{2} - x - 2}{x - 3} = \frac{2 x - 4}{x^{2} - 3 x}

ответ решение

(x - 2) {(x - 3)}^{2} (x - 4) = 20

ответ решение

\frac{16}{(x + 6) (x - 1)} - \frac{20}{(x + 2) (x + 3)} = 1

ответ решение

2 x^{4} + x^{3} - 11 x^{2} + x + 2 = 0

ответ решение

2 {(x^{2} + x + 1)}^{2} - 7 {(x - 1)}^{2} = 13 (x^{3} - 1)

ответ решение

\frac{24 x}{2 x^{2} - 3 x + 4} = \frac{12 x}{x^{2} + x + 2} + 5

ответ решение

x^{2} + \frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = 3

ответ решение

Если у вас возникли сложности

Тема эта непростая, и вполне возможно, что после разбора примеров останутся непонятные моменты.
В таком случае обращайтесь, постараюсь помочь!