Теорема Виета и её модификация при решении квадратных уравнений.

Замечание 1.

Если вы подобрали два числа $x_1$ и $x_2$, произведение которых равно $q$ и сумма равна $-p$, то это и есть корни уравнения, поскольку, во-первых, корней - не более двух, и, во-вторых, как указано в теореме, требований $x_1·x_2=q$ и $x_1+x_2=-p$ достаточно, чтобы эти числа были корнями.

Замечание 2.

Числа, которые вы находите, могут быть равными. В этом случае обычно говорят, что уравнение имеет один корень.

Пример 1.

Решим сразу два уравнения:
$x^2-x-6=0$ и $x^2-5x-6=0$
Смотрим сначала на произведение корней, в обоих уравнениях оно должно быть равно $q=-6$. Какие есть варианты?
Это могут быть числа $-1$ и $6$ или числа $1$ и $-6$ или $-2$ и $3$ или $2$ и $-3$. Ищем только среди целых.
Теперь смотрим на сумму.
В первом уравнении сумма должна быть равна $-p=1$, значит подходят $-2$ и $3$.
Для второго уравнения сумма равна $-p=5$, поэтому берём пару $-1$ и $6$.

Ответ: $\{-2;3\}$ и $\{-1;6\}$

Пример 2.

Ещё пара уравнений:
$x^2-5x+6=0$ и $x^2+7x+6=0$
Опять начинаем с произведения корней, в обоих уравнениях оно должно быть равно $q=6$.
Значит, перед нами четыре пары вариантов: $1$ и $6$, $-1$ и $-6$, $2$ и $3$, $-2$ и $-3$.
Смотрим на сумму.
В первом уравнении сумма должна быть $-p=5$, подходят $2$ и $3$.
Во втором - сумма должна быть $-p=-7$, поэтому пара $-1$ и $-6$.

Ответ: $\{2;3\}$ и $\{-1;-6\}$

Пример 3.

$x^2+8x-20=0$
Произведение корней равно $-20$.
Тут вариантов больше: $20=1·20=2·10=4·5$, и корни должны быть разных знаков.
И поскольку сумма равна $-8$, то подходят только $-10$ и $2$.

Ответ: $\{-10;2\}$

Пример 4.

$x^2-x-20=0$
Произведение корней тоже $-20$, но сумма теперь равна $1$, значит корни будут $-4$ и $5$.

Ответ: $\{-4;5\}$

Пример 5.

$x^2+19x-20=0$
Произведение равно $-20$, сумма равна $-19$, тогда корни $-20$ и $1$.

Ответ: $\{-20;1\}$

Пример 6.

Составить квадратное уравнение, у которого корни равны $-13$ и $6$.
Раз $x_1=-13$, $x_2=6$, тогда $x_1·x_2=-78$ и $x_1+x_2=-7$.
Значит $q=-78$ и $p=-(x_1+x_2)=7$.
Получаем уравнение $x^2+7x-78=0$.

Ответ: $x^2+7x-78=0$

Пример

Решить уравнение $7x^2+19x-6=0$
Для его решения воспользуемся формулами с дискриминантом.
$D={19}^2+4·7·6=$ $361+168=529={23}^2$
Теперь $x={\displaystyle \frac{-19\pm 23}{14}}$, и вычисляем:
Проверим эти числа по формулам:
$-3·{\displaystyle \frac{2}{7}}=-{\displaystyle \frac{6}{7}}={\displaystyle \frac{c}{a}}$ верно
$-3+{\displaystyle \frac{2}{7}}=-{\displaystyle \frac{19}{7}}=-{\displaystyle \frac{b}{a}}$ верно
И теперь мы уверены в своих корнях. Для грамотного решения это важно.

Ответ: $\{-3;{\displaystyle \frac{2}{7}}\}$

Пример 1.

$5x^2-11x+2=0$
Вспомогательное уравнение: $x^2-11x+10=0$, его корни: $10$ и $1$.
Делим их на $a=5$: ${\displaystyle \frac{10}{5}}=2$ и ${\displaystyle \frac{1}{5}}$.
Проверим их по формулам:
$2·{\displaystyle \frac{1}{5}}={\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{c}{a}}$ верно
$2+{\displaystyle \frac{1}{5}}={\displaystyle \frac{11}{5}}=-{\displaystyle \frac{b}{a}}$ верно
Это всё!

Ответ: $\{2;{\displaystyle \frac{1}{5}}\}$

Пример 2.

$12x^2-x-6=0$
Вспомогательное уравнение: $x^2-x-12·6=0$.
$x_1·x_2=-12·6=-4·3·2·3=-8·9$ так, чтобы $x_1+x_2=1$
Осталось поделить их на $a=12$: ${\displaystyle \frac{-8}{12}}=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$ и ${\displaystyle \frac{9}{12}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$.
Проверка:
$-{\displaystyle \frac{2}{3}}·{\displaystyle \frac{3}{4}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{c}{a}}$ верно
$-{\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{1}{12}}=-{\displaystyle \frac{b}{a}}$ верно

Ответ: $\{-{\displaystyle \frac{2}{3}};{\displaystyle \frac{3}{4}}\}$

Пример 3.

$2x^2+9x-5=0$
Вспомогательное уравнение: $x^2+9x-10=0$, его корни $-10$ и $1$,
делим их на $a=2$: ${\displaystyle \frac{-10}{2}}=-5$ и ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.
Проверка:
$-5·{\displaystyle \frac{1}{2}}=-{\displaystyle \frac{5}{2}}={\displaystyle \frac{c}{a}}$ верно
$-5+{\displaystyle \frac{1}{2}}=-{\displaystyle \frac{9}{2}}=-{\displaystyle \frac{b}{a}}$ верно

Ответ: $\{-5;{\displaystyle \frac{1}{2}}\}$

Пример 4.

$24x^2-7x-6=0$
Вспомогательное уравнение: $x^2-7x-24·6=0$.
Чтобы подобрать его корни, разложим $24·6$ на более мелкие множители: $24·6=2·2·2·3·2·3$.
Раз произведение $-24·6$ отрицательно, то корни должны быть разных знаков. То есть, их сумма $7$ фактически будет вычитанием их модулей.
Таким образом, нам нужно найти два числа, отличающиеся на $7$, при умножении которых получается $2·2·2·3·2·3$.
Начинаем перебирать: $2·2·2·3·2·3=8·18$ - разница здесь немного больше, значит нужно числа приблизить друг к другу.
$2·2·2·3·2·3=9·16$ - а это как раз то, что нужно.
Итак, корни вспомогательного уравнения равны $-9$ и $16$.
Делим их на $a=24$: ${\displaystyle \frac{-9}{24}}=-{\displaystyle \frac{3}{8}}$ и ${\displaystyle \frac{16}{24}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$.
Проверка:
$-{\displaystyle \frac{3}{8}}·{\displaystyle \frac{2}{3}}=-{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{c}{a}}$ верно
$-{\displaystyle \frac{3}{8}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{7}{24}}=-{\displaystyle \frac{b}{a}}$ верно

Ответ: $\{-{\displaystyle \frac{3}{8}};{\displaystyle \frac{2}{3}}\}$

Ответы к заданиям на теорему Виета

1.$\{-1;4\}$
2.$\{2;5\}$
3.$\{-3;1\}$
4.$\{5;7\}$
5.$\{-6;-2\}$
6.$\{3;8\}$
7.$\{-9;10\}$
8.$\{4;12\}$
9.$\{-3;10\}$
10.$\{-15;2\}$
11.$\{-6;-5\}$
12.$\{2;30\}$
13.$\{-3;20\}$
14.$\{-15;-4\}$
15.$\{-12;5\}$
16.$\{-10;-6\}$

Ответы к заданиям на модификацию теоремы Виета

1.$\{-1;{\displaystyle \frac{3}{5}}\}$
2.$\{-{\displaystyle \frac{4}{7}};2\}$
3.$\{{\displaystyle \frac{2}{3}};3\}$
4.$\{-{\displaystyle \frac{2}{5}};{\displaystyle \frac{1}{3}}\}$
5.$\{{\displaystyle \frac{1}{10}};{\displaystyle \frac{1}{5}}\}$
6.$\{-{\displaystyle \frac{4}{5}};{\displaystyle \frac{9}{2}}\}$
7.$\{{\displaystyle \frac{3}{2}};{\displaystyle \frac{8}{3}}\}$
8.$\{-{\displaystyle \frac{7}{3}};-{\displaystyle \frac{5}{4}}\}$
9.$\{{\displaystyle \frac{1}{8}};{\displaystyle \frac{4}{7}}\}$