↑

Уравнения, сводящиеся к квадратным с помощью простейших замен.

Вступление

Надеюсь, что вы умеете решать квадратные уравнения. И формулы с дискриминантом и теорема Виета вам знакомы.
На всякий случай, с этими и другими способами решения квадратных уравнений можно ознакомиться здесь.

Помимо рассматриваемых в этом разделе, есть уравнения других типов, которые тоже сводятся к квадратным тем или иным способом.
Подробнее о них рассказано на этой страничке.
При появлении вопросов посмотрите полезные ссылки.

Во всех примерах используется известная математическая символика.
Это символы конъюнкции $\land$ , дизъюнкции $\lor$ , значки системы ${$ и совокупности $[$ . Подробнее об этом смотрите здесь.

Примеры

Вспомогательные записи, типа ОДЗ, замен, каких-то пояснений, я буду выполнять на сером фоне.
Отдельно от основного течения примера.

Пример 1.

$x^{2} - 5 | x | = 0$

есть свойство модуля: ${| u |}^{2} = u^{2}$

${| x |}^{2} - 5 | x | = 0$

замена: $| x | = t$

$t^{2} - 5 t = 0$
$t (t - 5) = 0$
$t = 0 \lor t = 5$
$| x | = 0 \lor | x | = 5$
$x = 0 \lor x = - 5 \lor x = 5$

Ответ: ${- 5; 0; 5}$

Пример 2.

$x^{2} + 2 x + 2 | x + 1 | = 7$

хотим получить в начале полный квадрат

$x^{2} + 2 x + 1 + 2 | x + 1 | = 8$

сворачиваем в квадрат суммы: $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$

${(x + 1)}^{2} + 2 | x + 1 | = 8$

опять по свойству ${| u |}^{2} = u^{2}$

${| x + 1 |}^{2} + 2 | x + 1 | = 8$

теперь замена: $| x + 1 | = t$

$t^{2} + 2 t - 8 = 0$
$t = - 4 \lor t = 2$
$| x + 1 | = - 4 \lor | x + 1 | = 2$

первое уравнение решений не имеет
во втором используем свойство: $| u | = a \Leftrightarrow u = - a \lor u = a$ при $a > 0$

$x + 1 = - 2 \lor x + 1 = 2$
$x = - 3 \lor x = 1$

Ответ: ${- 3; 1}$

Пример 3.

$4 x^{2} - 12 x - 5 | 2 x - 3 | + 15 = 0$

опять в начале уравнения выделяем полный квадрат

$4 x^{2} - 12 x + 9 - 5 | 2 x - 3 | + 6 = 0$

сворачиваем в квадрат разности: $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$
затем свойство модуля: ${| u |}^{2} = u^{2}$

${(2 x - 3)}^{2} - 5 | 2 x - 3 | + 6 = 0$
${| 2 x - 3 |}^{2} - 5 | 2 x - 3 | + 6 = 0$

замена: $| 2 x - 3 | = t$

$t^{2} - 5 t + 6 = 0$
$t = 2 \lor t = 3$
$| 2 x - 3 | = 2 \lor | 2 x - 3 | = 3$

2 x - 3 = - 2 \lor 2 x - 3 = 2 \lor 2 x - 3 = - 3 \lor 2 x - 3 = 3

x = \frac{1}{2} \lor x = \frac{5}{2} \lor x = 0 \lor x = 3

Ответ: ${0; \frac{1}{2}; \frac{5}{2}; 3}$

Пример 4.

$x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

замена: $x^{2} = t$

$t^{2} - 5 t + 4 = 0$
$t = 1 \lor t = 4$
$x^{2} = 1 \lor x^{2} = 4$

применяем свойство: при $a > 0$
$u^{2} = a \Leftrightarrow u = - \sqrt{a} \lor u = \sqrt{a}$

x = - 1 \lor x = 1 \lor x = - 2 \lor x = 2

Ответ: ${- 2; - 1; 1; 2}$

Пример 5.

$x^{4} - (a^{2} + 9) x^{2} + 9 a^{2} = 0$

В этом уравнении кроме неизвестой $x$ содержится ещё одна буква $a$ , так называемый параметр.
Вообще, уравнения и неравенства с параметром - одна из самых сложных тем. На этом сайте ей посвящены одельные страницы.
Но данное уравнение не вызовет проблем. Мы просто должны про себя помнить, что буква $a$ - это какое-то число, и обращаться с ней как с числом.
Сразу делаем понятную замену: $x^{2} = t$

$t^{2} - (a^{2} + 9) t + 9 a^{2} = 0$

Левую часть уравнение можно разложить на множители группировкой.
Но я предпочитаю использовать здесь теорему Виета.

$t = a^{2} \lor t = 9$
$x^{2} = a^{2} \lor x^{2} = 9$

теперь применим свойство $a^{2} = b^{2} \Leftrightarrow a = b \lor a = - b$
и, конечно, учтём, что $9 = 3^{2}$

x = - a \lor x = a \lor x = - 3 \lor x = 3

Ответ: ${\pm a; \pm 3}$

Пример 6.

$\frac{x^{2} + 4 x}{7 x - 2} - \frac{12 - 42 x}{x^{2} + 4 x} = 7$

ОДЗ:
$7 x - 2 \neq 0 \land x^{2} + 4 x \neq 0$
$7 x \neq 2 \land x (x + 4) \neq 0$
$x \neq \frac{2}{7} \land x \neq 0 \land x \neq - 4$

есть какое-то сходство у данных дробей
из числителя второй дроби вынесем $- 6$ за скобки

$\frac{x^{2} + 4 x}{7 x - 2} + \frac{6 (7 x - 2)}{x^{2} + 4 x} = 7$

теперь можно записать уравнение так

$\frac{x^{2} + 4 x}{7 x - 2} + 6 : \frac{x^{2} + 4 x}{7 x - 2} = 7$

и вполне понятная замена: $\frac{x^{2} + 4 x}{7 x - 2} = t$

$t + \frac{6}{t} = 7$

домножаем обе части уравнения на $t \neq 0$ по ОДЗ

$t^{2} - 7 t + 6 = 0$
$t = 1 \lor t = 6$
$\frac{x^{2} + 4 x}{7 x - 2} = 1 \lor \frac{x^{2} + 4 x}{7 x - 2} = 6$

домножаем уравнения на знаменатели, не равные нулю, согласно ОДЗ

x^{2} + 4 x = 7 x - 2 \lor x^{2} + 4 x = 6 (7 x - 2)

x^{2} - 3 x + 2 = 0 \lor x^{2} - 38 x + 12 = 0

корни первого уравнения подбираем по теореме Виета
во втором - используем упрощённую формулу с дискриминантом

x = 1 \lor x = 2 \lor x = 19 \pm \sqrt{19^{2} - 12}

$x = 1 \lor x = 2 \lor x = 19 \pm \sqrt{349}$

Ответ: ${1; 2; 19 \pm \sqrt{349}}$

Видеоурок

Уравнения, сводящиеся к квадратным простейшими заменами

Полезные ссылки

Задания для самостоятельного решения

Задания похожи на разобранные выше примеры. Если вы поняли примеры, то и здесь справитесь.
При решении старайтесь отыскать подходящую замену.
Для всех заданий есть ответы.
Проверяйте все выполняемые действия. Контроль своих шагов при решении - важная штука.

1.	$\frac{2 x + 1}{2 x - 1} + \frac{2 x - 1}{2 x + 1} = \frac{26}{5}$	ответ	${- \frac{3}{4}; \frac{3}{4}}$
2.	$\frac{2 x - 5}{3 x + 1} + \frac{21 x + 7}{2 x - 5} = 8$	ответ	${- 6; - \frac{12}{19}}$
3.	$3 x^{2} + 4 \| x \| = 0$	ответ	${0}$
4.	$x^{2} - 4 \| x \| - 21 = 0$	ответ	${- 7; 7}$
5.	$x^{4} - 8 x^{2} - 9 = 0$	ответ	${- 3; 3}$
6.	${(x + 2)}^{4} + 2 x^{2} + 8 x - 16 = 0$	ответ	${- 4; 0}$
7.	$(x^{2} - 5 x + 2) (x^{2} - 5 x - 1) = 28$	ответ	${2; 3; \frac{5 \pm 3 \sqrt{5}}{2}}$
8.	${(\frac{4 x - 5}{3 x + 2})}^{2} + {(\frac{3 x + 2}{5 - 4 x})}^{2} = \frac{17}{4}$	ответ	${- \frac{9}{2}; \frac{1}{10}; \frac{8}{11}; \frac{12}{5}}$

1.	$\frac{2 x + 1}{2 x - 1} + \frac{2 x - 1}{2 x + 1} = \frac{26}{5}$
ответ	${- \frac{3}{4}; \frac{3}{4}}$
2.	$\frac{2 x - 5}{3 x + 1} + \frac{21 x + 7}{2 x - 5} = 8$
ответ	${- 6; - \frac{12}{19}}$
3.	$3 x^{2} + 4 \| x \| = 0$
ответ	${0}$
4.	$x^{2} - 4 \| x \| - 21 = 0$
ответ	${- 7; 7}$
5.	$x^{4} - 8 x^{2} - 9 = 0$
ответ	${- 3; 3}$
6.	${(x + 2)}^{4} + 2 x^{2} + 8 x - 16 = 0$
ответ	${- 4; 0}$
7.	$(x^{2} - 5 x + 2) (x^{2} - 5 x - 1) = 28$
ответ	${2; 3; \frac{5 \pm 3 \sqrt{5}}{2}}$
8.	${(\frac{4 x - 5}{3 x + 2})}^{2} + {(\frac{3 x + 2}{5 - 4 x})}^{2} = \frac{17}{4}$
ответ	${- \frac{9}{2}; \frac{1}{10}; \frac{8}{11}; \frac{12}{5}}$

Если у вас возникли сложности

Если эта тема вызывает затруднения, вы можете позаниматься с репетитором онлайн и научиться применять различные замены для сведения уравнений к квадратным.