Формула для корней и дискриминант при решении квадратных уравнений.

Пример 1.

$x^2-3x-8=0$
Определимся с коэффициентами этого уравнения: $a=1$, $b=-3$, $c=-8$.
Обратите внимание, что коэффициенты - это числа, и в них нет букв x.
Находим дискриминант: $D=b^2-4ac=9+4·8=41$.
Поскольку $D>0$, то уравнение имеет два решения, находим их по формулам 1:
$[\begin{array}{c}x=\frac{3-\sqrt{41}}{2}\\ x=\frac{3+\sqrt{41}}{2}\end{array}\iff x=\frac{3\pm \sqrt{41}}{2}$

Ответ: $\left\{\frac{3\pm \sqrt{41}}{2}\right\}$

Пример 2.

$2x^2+5x+2=0$
Коэффициенты: $a=2$, $b=5$, $c=2$.
Находим дискриминант: $D=b^2-4ac=25-4·2·2=9$.
Поскольку $D>0$, то уравнение имеет два решения, используем формулы 1:
$x=\frac{-5\pm \sqrt{9}}{4}=\frac{-5\pm 3}{4}$
И вычислим их по-отдельности:
$[\begin{array}{c}x=\frac{-5+3}{4}=-\frac{1}{2}\\ x=\frac{-5-3}{4}=-2\end{array}$
Если вы получаете в качестве решений рациональные числа, то рекомендую проверять их по теореме Виета.
Так вы приобретаете уверенность в своих корнях.
Давайте проверим найденные числа . $-\frac{1}{2}\text{и}-2$
$-\frac{1}{2}·(-2)=1=\frac{c}{a}$ верно
$-\frac{1}{2}+(-2)=-\frac{5}{2}=-\frac{b}{a}$ верно

Ответ: $\{-\frac{1}{2};-2\}$

Пример 3.

$x^2+2x+5=0$
Коэффициенты: $a=1$, $b=2$, $c=5$.
Находим дискриминант: $D=4-20=-16$.
Поскольку $D<0$, то это уравнение решений не имеет.

Ответ: $\varnothing$

Пример 4.

$(2x+1)(x+1)=1$
Здесь в правой части нет нуля.
Сначала нужно привести уравнение к стандартному виду, то есть раскрыть скобки, перенести всё в одну часть и упростить.
$2x^2+2x+x+1=1\iff 2x^2+3x=0$
Получили неполное уравнение. Оно решается быстрее без всякого дискриминанта. Выносим x за скобку:
$x(2x+3)=0$
Произведение равно нулю, только если один из множителей равен нулю:
$[\begin{array}{c}x=0\\ 2x+3=0\end{array}\iff [\begin{array}{c}x=0\\ x=-\mathrm{1,5}\end{array}$

Ответ: $\{-\mathrm{1,5};0\}$

Пример 5.

$(2x+1)(x+1)=0$
Здесь, наоборот, приведение к стандартному виду - неразумно, поскольку всё решается устно.
Произведение равно нулю, только когда один из множителей равен нулю:
$[\begin{array}{c}2x+1=0\\ x+1=0\end{array}\iff [\begin{array}{c}x=-\frac{1}{2}\\ x=-1\end{array}$

Ответ: $\{-1;-\frac{1}{2}\}$

Пример 6.

$x^2-8x+16=0$
Мы видим слева формулу квадрата разности $a^2-2ab+b^2={(a-b)}^2$ и собираем по ней:
${(x-4)}^2=0\iff x=4$

Ответ: $\left\{4\right\}$

Пример 7.

$x^2+42x+245=0$
Найдём дискриминант и попробуем разложить его на множители.
$D={42}^2-4·245=6^2·7^2-4·5·49=$ $2^2·3^2·7^2-2^2·5·7^2=$ $2^2·7^2(3^2-5)=$ $2^2·7^2·4=$ ${(2·7·2)}^2={28}^2$ Прекрасно! И дальше по формулам 1 легко находим решения:
$x={\displaystyle \frac{-42\pm 28}{2}}=-21\pm 14$
Теперь вычислим их по-отдельности:
$[\begin{array}{c}x=-7\\ x=-35\end{array}$
Проверим найденные числа по теореме Виета:
$-7·(-35)=245={\displaystyle \frac{c}{a}}$ верно
$-7-35=-42=-{\displaystyle \frac{b}{a}}$ верно

Ответ: $\{-35;-7\}$

Пример 8.

$38x^2-255x-225=0$
Действуем по той же схеме.
$D={255}^2+4·38·225=$ $5^2·{51}^2+4·38·25·9=$ $5^2·{17}^2·3^2+4·38·25·9=$ $5^2·3^2(289+152)=$ $5^2·3^2·441=$ $5^2·3^2·{21}^2$ Опять из дискриминанта благополучно извлекается корень. По формулам 1 находим решения:
$x={\displaystyle \frac{255\pm 5·3·21}{2·38}}=$ ${\displaystyle \frac{5·17·3\pm 5·3·21}{2·38}}=$ ${\displaystyle \frac{5·3(17\pm 21)}{2·38}}$
И каждое решение отдельно:
$[\begin{array}{c}x=\frac{5·3·38}{2·38}=\frac{15}{2}\\ x=\frac{5·3·(-4)}{2·38}=-\frac{15}{19}\end{array}$

Ответ: $\{-\frac{15}{19};\frac{15}{2}\}$

Пример 9.

$7x^2+50x+63=0$
Дискриминант раскладываем на множители:
$D={50}^2-4·7·63=$ ${50}^2-2^2·7^2·3^2=$ ${50}^2-{42}^2$
Далее используем формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
$D=(50-42)(50+42)=$ $8·92=16·46$
И выписываем решения.
$x={\displaystyle \frac{-50\pm 4\sqrt{46}}{14}}={\displaystyle \frac{-25\pm 2\sqrt{46}}{7}}$
В любом случае, с числом $8·92$ обращаться удобнее, чем с $736$.

Ответ: $\left\{{\displaystyle \frac{-25\pm 2\sqrt{46}}{7}}\right\}$