уроки → базовые темы алгебры → квадратные уравнения и сводящиеся к ним

Квадратные и сводящиеся к квадратным уравнения. Видеоуроки.

Содержание

Квадратные уравнения и способы их решения
Неполные квадратные уравнения
Выделение полного квадрата
Дискриминант и формула для корней
Формула для одного частного случая
Теорема Виета
Теорема Виета для общего случая
Модификация теоремы Виета

Замены в иррациональных уравнениях

Рациональные уравнения, сводящиеся к квадратным
Без использования замен
Простейшие замены
Возвратные уравнения
Однородные уравнения
Нестандартные замены

Видеоуроки

Задания для самостоятельного решения

Квадратные уравнения и способы их решения

содержание содержание содержание Квадратное уравнение имеет вид ,   где a, b, c  - некоторые заданные числа.
Всегда удобнее, если старший коэффициент . Если он отрицателен, мы просто домножаем обе части уравнения на .
Например, в следующем уравнении изменим знак старшего коэффициента на положительный:
,
тогда получим .
В этом уроке мы рассмотрим разные способы решения квадратных уравнений.

Неполные квадратные уравнения

содержание Имеется ввиду, что один из коэффициентов - b или c или оба - равны нулю.
В случае, когда они оба равны нулю, уравнение будет иметь единственный корень, равный   0:
В двух других случаях получим уравнения , которые решаются разложением на множители.

Пример 1.

Ответ:

Пример 2.


Ответ:

Пример 3.


Ответ:

Выделение полного квадрата

содержание В этом способе мы будем использовать формулу из темы модули:
а также формулы сокращённого умножения, которые рекомендуется повторить.
Смотрим примеры.

Пример 1.

Ответ:

Пример 2.

Ответ:

Пример 3.

Ответ:
Не правда ли, элегантный способ ? Просто, понятно и коротко. И ничего лишнего.

Дискриминант и
формула для корней

содержание содержание содержание Для квадратного уравнения обозначим за - дискриминант
Поделим обе части уравнения на a и выполним такие преобразования:
Теперь ясно, что наличие решений этого уравнения зависит от знака D, потому как левая часть уравнения неотрицательна, а знаменатель правой положителен. Возможны три случая.
Сразу понятно, что при решений нет.
При последнее уравнение равносильно
(формулы 1)
Таким образом, при уравнение имеет два различных корня.
При получаем:
уравнение имеет один корень. (формула 2)
Обращаю внимание, что если , то левая часть уравнения всегда есть полный квадрат.

Пример 1.

Решить уравнение:
Находим дискриминант и смотрим на его знак:
Поскольку дискриминант положительный, уравнение имеет два корня. Далее используем формулы 1:

Ответ:

Пример 2.

Решить уравнение:
Тут та же схема:

Ответ:

Пример 3.

Решить уравнение:

Т.к. дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень. Используем формулу 2:

Ответ:

Пример 4.

Решить уравнение:
Здесь , и поэтому уравнение корней не имеет.
Ответ:

Формула для одного
частного случая

содержание содержание содержание Для уравнения вида формула для корней упрощается.
Посмотрим, как это происходит.
В этом случае . Мы видим, что знак совпадает со знаком .
Поэтому, при условии корни можно найти так:
.

Теорема Виета

содержание содержание содержание Числа являются корнями уравнения тогда и только тогда,
когда выполняются условия .
Проверим это утверждение.
Если - корни, то для них будут справедливы формулы 1, и тогда
Теперь - в другую сторону.
Пусть числа u и v таковы, что и .
Выразим из второго равенства v: и подставим в первое:
Это означает, что число u является корнем исходного уравнения.
Для v точно такие же рассуждения.
Эта теорема обычно нужна для быстрого подбора корней.
А если вы её используете ещё и для проверки корней, то получаете более надёжный результат.
И кто пока так не делает – советую научиться. Очень полезная вещь.
Подбор корней лучше всегда начинать с произведения.

Пример 1.


Если это уравнение имеет корни ,  то и есть корни.
Ответ:

Пример 2.


Корни, если они есть, должны удовлетворять равенствам:
Ответ:

Пример 3.



Ответ:
Хорошо, если старший коэффициент равен 1. А что делать, если это не так ?
В уравнении поделим обе части на a: .
Тогда, согласно теореме Виета, для корней выполняются (формулы 3)
Именно эти формулы и рекомендую запомнить, поскольку они "работают" для любого квадратного уравнения.
Например, для корней уравнения , если они есть, будут выполняться равенства
Однако, подбирать корни в этом случае не совсем удобно.
Можно воспользоваться правилом, которое я называю модификацией теоремы Виета.

Модификация теоремы Виета

содержание Для квадратного уравнения
рассмотрим вспомогательное уравнение .
Дискриминанты этих уравнений одинаковы,
и корни вспомогательного уравнения отличаются от корней исходного в a раз.
Значит, мы можем найти корни вспомогательного уравнения, поделить их на старший коэффициент a и получим корни исходного уравнения !
Этот способ очень удобен. Правда, если мы сумеем подобрать корни вспомогательного уравнения.

Пример 1.

Решить уравнение
Рассмотрим вспомогательное уравнение и найдём его корни по теореме Виета. Это числа .
Делим их на старший коэффициент a = 2:
Это и есть корни данного уравнения, которые требовалось найти.
На всякий случай, проверим их по формулам 3:
Ответ:

Пример 2.

Решить уравнение
Рассмотрим вспомогательное уравнение , его корни .
Делим их на a = 6: - есть корни данного уравнения.
Проверяем их по формулам 3:
Ответ:

Пример 3.

Решить уравнение
Вспомогательное уравнение
, его корни .
Тогда корни данного уравнения .
Проверка:
Ответ:

Замены в иррациональных уравнениях

содержание содержание содержание Иррациональные уравнения – это отдельная большая тема.
Их обычно решают, возводя один или несколько раз уравнение в квадрат или другую степень, предварительно уединяя радикалы.
При этом для равносильности преобразований пишут некие дополнительные условия.
Однако, некоторые несложные иррациональные уравнения иногда можно решить проще, если удаётся сделать подходящую замену, после которой получают квадратное уравнение.
Разберём несколько таких примеров.

Пример 1.

Решить уравнение
Для начала, найдём ОДЗ - область допустимых значений - уравнения.

Но решать это неравенство пока не будем. Сразу займёмся данным уравнением.
В нём мы видим взаимно-обратные величины.
Это подсказывает нам сделать
такую замену переменной: .
Тогда уравнение превратится в , домножаем обе его части на t при условии .
Получаем квадратное уравнение: . (1)
Далее используем
модификацию теоремы Виета.
Вспомогательное уравнение имеет корни , поэтому корнями уравнения (1) будут .
Оба числа удовлетворяют написанному выше условию .
Теперь (1)
Это равенство будет верным для будущих решений, которые мы ищем. Ведь решения - это числа, которые обязаны удовлетворять этому равенству.
И в этот момент мы понимаем, что неравенство в ОДЗ можно не решать. Можно написать, что оно выполнено по (4 > 0, правда ?)
И последний штрих - решаем уравнение :
Ответ:

Пример 2.

Решить уравнение
Обычно в таких уравнениях уединяют радикал и возводят в квадрат. При этом нужно не забыть записать ОДЗ и ещё некое дополнительное условие, которое гарантирует равносильность перехода.
Мы поступим по-другому. Сразу сделаем замену:
Тогда наше уравнение превращается в
Ответ:

Обратите внимание, что никаких дополнительных условий не потребовалось.
Когда замена делается в самом начале, на первом шаге, то и требования, находящиеся в ОДЗ, переходят в новое уравнение и содержатся там.
То есть, ОДЗ можно не писать.
В последнем примере требование , которое мы должны были записать в ОДЗ,
содержится во всех строчках нового уравнения в самой букве t, поскольку .
Это значит, что все сделанные в решении переходы равносильны.

Пример 3.

Решить уравнение

Выполняем замену

Тогда уравнение станет таким
(2)
Здесь опять удобна
модификация теоремы Виета.
Вспомогательное уравнение: , его корни , тогда настоящие корни будут .
(2)
Ответ:

Рациональные уравнения, сводящиеся к квадратным

Все уравнения, которые мы здесь рассмотрим, будут сводиться к квадратным.
Поэтому, предполагается, что вы умеете их решать. Кому нужно вспомнить способы решения квадратных уравнений, смотрите здесь.

Без использования замен

содержание содержание содержание Тут всё довольно стандартно – пишем ОДЗ уравнения. Далее, или переносим всё в одну часть и пытаемся разложить на множители, или избавляемся от дробей.
Для того, чтобы избавиться от дробей, мы не занимаемся приведением их к общему знаменателю.
Мы сразу домножаем обе части уравнения на общий знаменатель и уже в следующей строке получаем запись без дробей. Так делать быстрее и удобнее.
Мы же имеем право умножить обе части равенства на число, не равное нулю. Согласно нашей ОДЗ, равно нулю оно не будет.

Пример 1.

Решить уравнение
Если корни – целые, советую всегда делать проверку, подставлять найденные числа в исходное уравнение.
Особенно, когда вы часто делаете арифметические ошибки.
Проверка: ,
Если корни – целые, советую всегда делать проверку, подставлять найденные числа в исходное уравнение.
Особенно, когда вы часто делаете арифметические ошибки.
Проверка:
,
Ответ:
Правда ведь, лучше быть уверенным самому, что решил верно, а не ждать, когда об этом тебе скажет учитель ?
Ну, а в случае неверного ответа - суметь найти ошибку. Это тоже требует некоторых умений и настойчивости.

Пример 2.

Решить уравнение
Теперь удобно воспользоваться свойством:
квадраты чисел равны, только если сами числа равны или они противоположны:
Теперь удобно воспользоваться свойством:
квадраты чисел равны, только если сами числа равны или они противоположны:
Сделаем проверку и подставим найденные числа в исходное уравнение:
Сделаем проверку и подставим найденные числа в исходное уравнение:
верно
верно
Ответ:

Пример 3.

Решить уравнение
Перед нахождением ОДЗ выгодно разложить знаменатели на множители.
Домножим обе части уравнения на общий знаменатель
Домножим обе части уравнения на общий знаменатель
Ответ:

Пример 4.

Решить уравнение
Совершенно не нужно раскрывать скобки и приводить подобные.
Слева и справа есть одинаковая скобочка. Мы перенесём всё в одну часть и разложим на множители.
Ответ:
Есть немного другой подход к логике решения. Мы сразу видим, что при равенство будет верным.
Уравнение фактически даёт нам одну ветку решения. А дальше мы просто поделим обе части на скобку .
Почему это можно делать?
Когда мы делим на выражение, которое может при каком-то х обратиться в 0, то можем потерять решения уравнения.
Но если у нас отдельно записан случай , то потери решений не произойдёт.
Выглядит всё это так:
Как руководство к использованию, этот способ можно записать следующим образом:
(удобный способ)
Справедливость его легко установить, если перенести всё налево и вынести f за скобки.

Пример 5.

Решить уравнение
Воспользуемся (удобным способом) примера 4.
В первом уравнении не забываем, что
А для второго - корень легко угадывается, а дальше вступает  теорема Виета:
В первом уравнении не забываем, что
А для второго - корень
легко угадывается,
а дальше вступает  теорема Виета:
И тогда получаем совокупность решений:
Ответ:

Пример 6.

Решить уравнение
Если уравнение домножить на , чтобы уйти от дроби, мы получим уравнение 4 степени. Нам это не нужно.
А если посмотреть внимательно, видно, что и слева и справа есть множитель . Воспользуемся этим.
Если здесь домножить на , чтобы уйти от дроби, мы получим уравнение 4 степени. Нам это не нужно.
А если посмотреть внимательно, видно, что и слева и справа есть множитель . Воспользуемся этим.
Ответ:

Пример 7.

Решить уравнение
Выражения слева и справа в скобках отличаются знаком.
Можно слева вынести минус, но я воспользуюсь свойством квадрата:
Выражения слева и справа в скобках отличаются знаком.
Можно слева вынести минус, но я воспользуюсь свойством квадрата:
Ответ:

Простейшие замены

содержание содержание содержание Простейшие потому, что обычно они сразу угадываются.
Пару слов про грамотное оформление.
Старайтесь все вспомогательные вещи, такие как вычисление дискриминанта, ОДЗ, замену на новую букву, записывать в сторонке, например справа.
Чтобы эти записи не мешали основному течению примера, будь то уравнение или неравенство.
Удобная и грамотная запись решения - важная штука.
Примеры такого оформления можно увидеть при горизонтальном расположении телефона (только обновите страницу!) или в десктопном варианте.
Здесь места маловато.

Пример 1.

Видно, что после домножения на t уравнение станет квадратным, а мы знаем, что оно имеет не более двух корней. В данном случае, мы можем эти корни подобрать: cумма взаимно-обратных чисел должна быть равна . Понятно, что это могут быть только .
Теперь мы делаем обратное действие – в уравнения вместо t подставляем дробь .
Всё логично – сначала дробь заменяли на букву, а теперь обратно – букву на дробь.
Ответ:
Проверка:
если вы уверены в своей замене, то есть уверены, что исходное уравнение равносильно , и уверены в корнях этого уравнения,
то есть в числах , то достаточно
подставить верно;
и подставить верно.
После замены получаем уравнение:
Видно, что после домножения на t уравнение станет квадратным, а мы знаем, что оно имеет не более двух корней.
В данном случае, мы можем эти корни подобрать: cумма взаимно-обратных чисел должна быть равна .
Это могут быть только .
Теперь мы делаем обратное действие – в уравнения вместо t подставляем дробь .
Всё логично – сначала дробь заменяли на букву, а теперь обратно – букву на дробь.
Проверка:
если вы уверены в своей замене, то есть уверены, что исходное уравнение равносильно , и уверены в корнях этого уравнения,
то есть в числах , то достаточно подставить
верно;
и верно.
Ответ:

Пример 2.

Ответ:
мы помним свойство модуля:
это позволяет нам сделать замену:
мы помним свойство модуля:
это позволяет нам сделать замену:
Ответ:

Пример 3.

так называемое, биквадратное уравнение
(*)
Ответ:
замена:
используем модификацию теоремы Виета:
вспомогательное уравнение
подберём его корни:
поскольку ,
то это числа
тогда корни уравнения (*):
так называемое, биквадратное уравнение
замена:
(*)
Теперь используем
модификацию теоремы Виета:
вспомогательное уравнение
подберём его корни:
поскольку ,
то это числа
тогда корни уравнения (*):
И теперь уравнение (*) равносильно
Ответ:

Пример 4.

(1)
Ответ:
В последних слагаемых, если присмотреться, можно увидеть кусочек формулы квадрат разности. Пытаемся выделить этот квадрат.

замена в (1):
В последних слагаемых, если присмотреться, можно увидеть кусочек формулы квадрат разности. Пытаемся выделить этот квадрат.
тогда замена:
И получаем квадратное уравнение:
Ответ:

Пример 5.

Что-то общее мы видим в этих дробях. Сделаем их ещё более похожими.
Ответ:
замена:
Что-то общее мы видим в этих дробях данного уравнения. Сделаем их ещё более похожими.
теперь замена:
Получим уравнение:
Ответ:

Пример 6.

(1)
Поменяем знаки в числителе второй скобки.
(2)
(3)
Ответ:

при переходе от уравнения (1) к уравнению (2)
используем свойство квадрата:
от (1) к (2) используем: , точнее:
чуть подробнее про этот переход:

замена в уравнении (2): в (2) замена

при решении уравнения (3)
используем модификацию теоремы Виета:
вспомогательное уравнение
его корни 1 и 81,
тогда в уравнении (3) корни
Поменяем знаки в числителе второй скобки.
Для этого используем свойство:
Фактически, мы делаем вот как:
Возвращаемся к нашему уравнению.
Напрашивается замена
(1)
Используем
модификацию теоремы Виета:
вспомогательное уравнение
его корни 1 и 81, тогда
корни уравнения (1)
Ответ:

Возвратные уравнения

содержание содержание содержание Это уравнения с симметричными коэффициентами, если смотреть от начала и конца уравнения.
То есть, уравнения вида . Коэффициенты при могут иметь противоположные знаки.
Возвратные уравнения могут быть и пятой и шестой степени, но я здесь ограничусь только указанным видом. Принцип решения одинаков.
У таких уравнений с помощью специальной замены можно понизить степень.

Пример 1.

Поскольку 0 не является корнем уравнения, можно поделить обе его части на ,
и потери решений не произойдёт.
(1)
Ответ:
замена:
замена:
Здесь весь фокус в том, что удвоенное произведение будет числом.

для уравнения (1)

Проверкав (1) найденных чисел по теореме Виета:
Поскольку 0 не является корнем уравнения, можно поделить обе его части на , и потери решений не произойдёт.
замена:
Здесь весь фокус в том, что удвоенное произведение будет числом.
Получим уравнение:

Проверка
найденных чисел по теореме Виета:
Оба равенства верны, тогда - это корни, и мы возвращаемся к уравнениям.
Ответ:

Иногда к возвратным относят и уравнения более хитрого вида: .
Но решаются они точно так же.

Пример 2.

0 - не корень уравнения, поэтому при делении на потери решений не произойдёт.
и группируем:
Ответ:
замена:
замена:

здесь первое уравнения решений не имеет,
корни второго 1 и 2 подобрали по теореме Виета
0 - не корень уравнения, поэтому при делении на потери решений не произойдёт.
и группируем:
замена:
Тогда уравнение станет таким:
Ответ:

Однородные уравнения

содержание содержание содержание Уравнение вида называется однородным уравнением второй степени относительно двух переменных u и v.
После деления, например, на и замены оно превращается в обычное квадратное уравнение.
А вот так выглядит однородное уравнение третьей степени относительно u и v: .
Здесь нужно поделить уже на , сделать ту же замену, и мы получим кубическое уравнение.

Пример.

Поскольку - не корень уравнения, то при делении на потери решений не произойдёт.
Ответ:
Если обозначить При ,
то получим уравнение имеем однородное ур-е
,
которое является однородным.
Поэтому, решаем уравнение делением на Значит, делим его на

замена:

корни 9 и 4 подбираем по теореме Виета
При
получим уравнение
,
которое является однородным.
Поэтому, решаем данное уравнение делением на .
Поскольку - не корень уравнения, то при делении на потери решений не произойдёт.
замена:
Получим уравнение:
корни 9 и 4 подбираем по
теореме Виета
Ответ:

Нестандартные замены

содержание содержание содержание Существуют самые разные замены переменной, в результате которых уравнения превращаются в квадратные.
Замены бывают очевидные, стандартные и довольно хитрые, до которых так просто и не догадаешься.
Тем не менее, для некоторых типов уравнений способы решения изучены, и замены для этих уравнений известны.

Пример 1.

Сделаем частичное раскрытие скобок, чтобы появился одинаковый кусочек .
Ответ:
замена:

корни -12 и -8 подбираем по теореме Виета нашли по теореме Виета

корни первого уравнения находим с помощью D
корни второго уравнения подбираем по теореме Виета
в 1-ом уравнении искали дискриминант,
во 2-ом использовали теорему Виета
Сделаем частичное раскрытие скобок, чтобы появился одинаковый кусочек
.
замена:
Уравнение станет таким:
его корни -12 и -8 подбираем по
теореме Виета
Ответ:

Кстати, если бы мы сделали немного другую замену , то получили бы относительно t более простое уравнение:
и так далее.
и так далее. и так далее.

Пример 2.

Здесь опять раскрываем не все скобки, но действуем по другому принципу – так, чтобы свободный член в скобочках стал одинаковым (в данном случае, это   24):
0 - не корень, поэтому при этом делении потери решений нет.
Ответ:
замена:

корни первого уравнения находим с помощью D
корни второго уравнения подбираем по теореме Виета
в 1-ом уравнении искали дискриминант,
во 2-ом использовали теорему Виета
Здесь опять раскрываем не все скобки, но действуем по другому принципу – так, чтобы свободный член в скобочках стал одинаковым (в данном случае, это   24):
0 - не корень, поэтому при этом делении потери решений нет.
замена:
Ответ:

Пример 3.

Везде имеются выражения , а вот слагаемые с х в первой степени – разные.
Превратим эти слагаемые в числа – поделим числитель и знаменатель каждой дроби на х.
Это возможно, так как 0 – не корень уравнения.
Пишем ограничения для t, которые равносильны требованиям в ОДЗ и домножаем обе части на общий знаменатель.
(1)
Ответ:
пока не решаем, но помним про него

замена:

   те же требования, что и в ОДЗ

При решении уравнения (1) используем
модификацию теоремы Виета.
вспомогательное уравнение:
для (1) используем модификацию теоремы Виета
вспомогательное ур-ние:
,
его корни ,
тогда числа - корни уравнения (1)
найденные числа удовлетворяют требованию тогда - корни уравнения (1)
(и они удовлетворяют )
пока не решаем,
но помним про него
В нашем уравнении везде имеются выражения , а вот слагаемые с х в первой степени – разные.
Превратим эти слагаемые в числа – поделим числитель и знаменатель каждой дроби на х.
Это возможно, так как 0 – не корень уравнения.
понятная замена:
Тогда уравнение примет вид
Напишем ограничения для t, которые равносильны требованиям в ОДЗ
И дальше будем проверять условия вместо ОДЗ
Домножаем обе части на общий знаменатель.
(1)
При решении используем
модификацию теоремы Виета.
Вспомогательное уравнение:
,
его корни , и тогда числа
- корни уравнения (1)
найденные числа удовлетворяют
Ответ:

Пример 4.

Попробуем выделить здесь квадрат суммы:
Ответ:

замена:

для второго уравнения используем формулы с дискриминантом
Попробуем выделить здесь квадрат суммы:
замена:
Ответ:

Видеоуроки

содержание содержание содержание
Урок 1.   Методы решения квадратных уравнений.
Урок 2.   Уравнения, сводящиеся к квадратным без использования замен.
Урок 3.   Простейшие замены.
Урок 4.   Иррациональные уравнения.
Урок 5.   Возвратные и однородные уравнения.
Урок 6.   Нестандартные замены.
Методы решения квадратных уравнений.
Уравнения, сводящиеся к квадратным
без использования замен.

Простейшие замены.
Иррациональные уравнения.
Возвратные и однородные уравнения.
Нестандартные замены.

Задания для самостоятельного решения

содержание содержание содержание Здесь предлагаются задания, которые вы можете попробовать решить самостоятельно.
Они разные по уровню сложности, но совсем простых нет.
Используйте умения, которые вы смогли почерпнуть после прочтения этой статьи и просмотра видеоуроков.
Старайтесь проверять все свои действия. Важно научиться себя контролировать.
Для каждого задания имеется ответ и более - менее подробное решение.
В записи решения синим цветом отмечены различные пояснения, ОДЗ, замены и так далее.
Красный цвет - для формул и свойств, которые я использовал в этом задании.
Если у вас появились вопросы, зайдите на страничку контакты.

решение решение решение решение решение решение решение решение решение решение решение решение решение решение ответ ответ ответ ответ ответ ответ ответ ответ ответ ответ ответ ответ ответ ответ
1)   Решить уравнение решить уравнение
решение
ответ
2)   Решить уравнение решить уравнение
решение
ответ
3)   Найти корни уравнения , которые меньше
решение
ответ
4)   Решить уравнение решить уравнение
решение
ответ
5)   Решить уравнение решить уравнение
решение
ответ
6)   Решить уравнение решить уравнение
решение
ответ
7)   Решить уравнение решить уравнение
решение
ответ
8)   Решить уравнение решить уравнение
решение
ответ
9)   Решить уравнение решить уравнение
решение
ответ
10) Решить уравнение решить уравнение
решение
ответ
11) Решить уравнение решить уравнение
решение
ответ
12) Решить уравнение решить уравнение
решение
ответ
13) Решить уравнение решить уравнение
решение
ответ
14) Решить уравнение решить уравнение
решение
ответ
1)   решить уравнение
решение
ответ
2)   решить уравнение
решение
ответ
3)   Найти корни уравнения решить уравнение, которые меньше
решение
ответ
4)   решить уравнение
решение
ответ
5)   решить уравнение
решение
ответ
6)   решить уравнение
решение
ответ
7)   решить уравнение
решение
ответ
8)   решить уравнение
решение
ответ
9)   решить уравнение
решение
ответ
10) решить уравнение
решение
ответ
11) решить уравнение
решение
ответ
12) решить уравнение
решение
ответ
13) решить уравнение
решение
ответ
14) решить уравнение
решение
ответ
решить уравнение
ответ решение

решить уравнение
ответ решение

Найти корни уравнения
решить уравнение, которые меньше решить уравнение
ответ решение

решить уравнение
ответ решение

решить уравнение
ответ решение

решить уравнение
ответ решение

решить уравнение
ответ решение

решить уравнение
ответ решение

решить уравнение
ответ решение

решить уравнение
ответ решение

решить уравнение
ответ решение

решить уравнение
ответ решение

решить уравнение
ответ решение

решить уравнение
ответ решение

вход для учеников
логин:

пароль:

запомнить меня

изменить логин/пароль