Квадратные уравнения и способы их решения.

Q: Что такое квадратное уравнение?

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0.

Q: Что такое коэффициенты квадратного уравнения?

Коэффициенты квадратного уравнения — это числа a, b и c в уравнении ax² + bx + c = 0.

Q: Сколько решений может иметь квадратное уравнение?

Квадратное уравнение может иметь два решения, одно решение или не иметь решений.

Q: Какие из методов решения универсальные?

Универсальные методы решения - выделение полного квадрата, формулы с дискриминантом.

Q: Как выглядит формула корней квадратного уравнения?

Корни квадратного уравнения находятся по формуле x₁,₂ = (−b ± √D) / (2a), где D = b² − 4ac, если D ≥ 0.

Наверное, это самая распространённая тема в школьном курсе алгебры.
Несмотря на это, и здесь есть свои "подводные камни" и недопонимание.
В данном уроке мы постараемся разобраться в этом важном разделе, рассмотрим типы квадратных уравнений и методы их решения.

Понятие квадратного уравнения

Квадратным уравнением называется уравнение вида $a x^{2} + b x + c = 0$ при $a \neq 0$ , где a, b, c - некоторые заданные числа.
Говорят, что в этом случае уравнение приведено к стандартному виду.
Обычно, но не всегда, стремятся привести уравнение к этой форме, поскольку она удобнее для решения.

Как и для всякого уравнения в принципе, решить квадратное уравнение означает найти числа, при которых оно обращается в верное равенство. Или установить, что таких чисел нет. Эти числа называются решениями или корнями уравнения.
Давайте посмотрим, сколько корней может иметь квадратное уравнение.

Графиком квадратичной функции $y = a x^{2} + b x + c$ является парабола, которая или

пересекается с осью $Ox$ в двух точках
или касается оси $Ox$
или же не пересекает ось абсцисс

Точки пересечения параболы с осью

Ox

и есть корни нашего уравнения.
Поэтому, оно может иметь два корня, один корень или не иметь корней.

Квадратные уравнения встречаются при решении задач физики (расчёт траектории движения), экономики (например, в моделях роста прибыли), геометрии (при нахождении площадей и расстояний).

Приведение квадратного уравнения к стандартному виду

Всегда удобнее, если старший коэффициент $a > 0$ . Если он отрицателен, мы просто домножаем обе части уравнения на $- 1$ .

Пример 1.

В следующем уравнении изменим знак старшего коэффициента на положительный:

- 3 x^{2} - 4 x + 1 = 0 | · (−1)

тогда получим $3 x^{2} + 4 x - 1 = 0$ .

Пример 2.

Привести уравнение $2 x (x - 3) = 1$ к стандартному виду.

2 x (x - 3) = 1 \Leftrightarrow 2 x^{2} - 6 x - 1 = 0

Методы решения квадратных уравнений

Неполные квадратные уравнения

Имеется ввиду, что один из коэффициентов - $b или c$ или оба - равны нулю.
В случае, когда они оба равны нулю, уравнение будет иметь единственный корень, равный 0: $a x^{2} = 0 \Leftrightarrow x = 0$
В двух других случаях получим уравнения $a x^{2} + b x = 0$ или $a x^{2} + c = 0$ , которые решаются разложением на множители.

Пример 1.

3 x^{2} + 2 x = 0 \Leftrightarrow 3 x (x + \frac{2}{3}) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = - \frac{2}{3} \end{matrix}

Ответ: неполные квадратные уравнения: ответ в примере 1 ${- \frac{2}{3}; 0}$

Пример 2.

5 x^{2} - 2 = 0 \Leftrightarrow x^{2} = \frac{2}{5} \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{\frac{2}{5}}

Ответ: неполные квадратные уравнения: ответ в примере 2 ${\pm \sqrt{\frac{2}{5}}}$

Пример 3.

5 x^{2} + 2 = 0 \Leftrightarrow x^{2} = - \frac{2}{5} \Leftrightarrow x \in \emptyset

Ответ: неполные квадратные уравнения: ответ в примере 3 $\emptyset$

Если нужно решить неполное квадратное уравнение, то, конечно, удобнее и быстрее выполнить разложение на множители вместо использования сложных формул.
Больше примеров можно посмотреть здесь.

Выделение полного квадрата

В этом способе мы будем использовать свойство из темы модули: формула с модулем $u^{2} = a \Leftrightarrow | u | = \sqrt{a} \Leftrightarrow [\begin{matrix} u = - \sqrt{a} \\ u = \sqrt{a} \end{matrix}$
которое справедливо при $a > 0$ , а также формулы сокращённого умножения, которые рекомендуется повторить. Суть этого метода в том, чтобы собрать две буквы х в одну. Мы будем "создавать" квадрат суммы или разности.
Смотрим примеры.

Пример 1.

x^{2} - 4 x + 2 = 0 \Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} = 2 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x - 2 = - \sqrt{2} \\ x - 2 = \sqrt{2} \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 2 - \sqrt{2} \\ x = 2 + \sqrt{2} \end{matrix}

Ответ: выделение полного квадрата: ответ в примере 1 ${2 - \sqrt{2}; 2 + \sqrt{2}}$

Пример 2.

x^{2} + 6 x + 8 = 0 \Leftrightarrow {(x + 3)}^{2} = 1 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x + 3 = - 1 \\ x + 3 = 1 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = - 4 \\ x = - 2 \end{matrix}

Ответ: выделение полного квадрата: ответ в примере 2 ${- 4; - 2}$

Пример 3.

x^{2} + 2 x + 2 = 0 \Leftrightarrow {(x + 1)}^{2} = - 1 \Leftrightarrow x \in \emptyset

Ответ: выделение полного квадрата: ответ в примере 3 $\emptyset$

Не правда ли, элегантный способ? Просто, понятно и коротко. И ничего лишнего.
И, кстати, вы заметили, что он справляется с любым квадратным уравнением?
Ещё примеры на выделение полного квадрата.

Дискриминант и формула для корней

Это универсальный метод, то есть им можно решить любое квадратное уравнение.
Обращаю внимание на то, что для его использования необходимо привести уравнение к стандартному виду. Иначе возможны ошибки.

Для квадратного уравнения $a x^{2} + b x + c = 0$ , $a \neq 0$ обозначим за $D = b^{2} - 4 a c$ - дискриминант
Поделим обе части уравнения на a и выполним такие преобразования:
вывод формул с дискриминантом $x^{2} + \frac{b}{a} x = - \frac{c}{a} \Leftrightarrow x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{b^{2}}{4 a^{2}} = \frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{c}{a} \Leftrightarrow {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}} \Leftrightarrow {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{D}{4 a^{2}}$ Теперь ясно, что наличие решений этого уравнения зависит от знака $D$ , потому как левая часть уравнения неотрицательна, а знаменатель правой положителен. Возможны три случая.

Сразу понятно, что при $D < 0$ решений нет.
При $D > 0$ последнее уравнение равносильно
формулы с дискриминантом
(формулы 1) $[\begin{matrix} x + \frac{b}{2 a} = \frac{\sqrt{D}}{2 a} \\ x + \frac{b}{2 a} = - \frac{\sqrt{D}}{2 a} \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = - \frac{b}{2 a} + \frac{\sqrt{D}}{2 a} \\ x = - \frac{b}{2 a} - \frac{\sqrt{D}}{2 a} \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a} \\ x = \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} \end{matrix}$
Таким образом, при $D > 0$ уравнение имеет два различных корня.
При $D = 0$ получаем:
формула при равном нулю дискриминанте (формула 2) ${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = 0 \Leftrightarrow x + \frac{b}{2 a} = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{b}{2 a}$
В этом случае уравнение имеет один корень.
Обратите внимание, что если $D = 0$ , то левая часть уравнения всегда есть полный квадрат.

Находим корни по формулам

Если в уравнении $a x^{2} + b x + c = 0$ , $a \neq 0$
$D = b^{2} - 4 a c \geq 0$
то его корни $x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a}$

Пример 1.

Решить уравнение: $6 x^{2} + x - 2 = 0$
Находим дискриминант и смотрим на его знак: $D = 1 + 4 \cdot 6 \cdot 2 = 49 > 0$
Поскольку дискриминант положительный, уравнение имеет два корня. Далее используем формулы 1:

6 x^{2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = \frac{- 1 + 7}{12} = \frac{1}{2} \\ x = \frac{- 1 - 7}{12} = - \frac{2}{3} \end{matrix}

Ответ: дискриминант: ответ в примере 1 ${- \frac{2}{3}; \frac{1}{2}}$

Пример 2.

Решить уравнение: $x^{2} - 5 x + 1 = 0$
Тут та же схема: $D = 25 - 4 = 21 > 0$

x^{2} - 5 x + 1 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = \frac{5 - \sqrt{21}}{2} \\ x = \frac{5 + \sqrt{21}}{2} \end{matrix}

Ответ: дискриминант: ответ в примере 2 ${\frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}}$

Пример 3.

Решить уравнение: $x^{2} + 4 x + 4 = 0$
$D = 16 - 16 = 0$
Т.к. дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень. Используем формулу 2:

x^{2} + 4 x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{4}{2} = - 2

Ответ: дискриминант: ответ в примере 3 ${- 2}$

Пример 4.

Решить уравнение: $x^{2} + x + 3 = 0$
Здесь $D = 1 - 12 < 0$ , и поэтому уравнение корней не имеет.
Ответ: дискриминант: ответ в примере 4 $\emptyset$

Для наглядности взгляните на расположения графика квадратичной функции $y = a x^{2} + b x + c$ относительно оси $Ox$ . В зависимости от знаков старшего коэффициента $a$ и дискриминанта $D$ возможны 6 случаев.

Формула для одного частного случая

Для уравнения вида $x^{2} + 2 p x + q = 0$ формула для корней упрощается.
Посмотрим, как это происходит.

В этом случае $D = 4 p^{2} - 4 q = 4 (p^{2} - q)$ . Мы видим, что знак $D$ совпадает со знаком $p^{2} - q$ .

Поэтому, при условии $p^{2} - q \geq 0$ корни можно найти так:

дискриминант: частный случай
$x = \frac{- 2 p \pm 2 \sqrt{p^{2} - q}}{2} = - p \pm \sqrt{p^{2} - q}$

Если по теореме Виета мы подбираем целые корни (ещё при условии, что они существуют), то формулы с дискриминантом годятся для любого квадратного уравнения.
Посмотрите дополнительные фишки (в разработке) по использованию дискриминанта.

Теорема Виета

Этот метод основан на связи корней с коэффициентами уравнения. Он удобен, когда корни - целые и не слишком большие.

Числа $x_{1}$ и $x_{2}$ являются корнями уравнения $x^{2} + p x + q = 0$ тогда и только тогда, когда выполняются условия $x_{1} \cdot x_{2} = q$ и $x_{1} + x_{2} = - p$ .
Проверим это утверждение.

Если $x_{1}$ и $x_{2}$ - корни, то для них будут справедливы формулы 1, и тогда
вывод теоремы Виета
$x_{1} \cdot x_{2} = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a} \cdot \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} = \frac{b^{2} - D}{4 a^{2}} = \frac{4 a c}{4 a^{2}} = \frac{c}{a} = q$

$x_{1} + x_{2} = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a} + \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} = - \frac{b}{a} = - p$

Теперь - в другую сторону.
Пусть числа $u$ и $v$ таковы, что $u \cdot v = q$ и $u + v = - p$ .
Выразим из второго равенства $v$ : $v = - u - p$ и подставим в первое:
$u (- u - p) = q \Leftrightarrow - u^{2} - p u = q$ , то есть $u^{2} + p u + q = 0$ .
Это означает, что число $u$ является корнем исходного уравнения.
Для $v$ точно такие же рассуждения.

Эта теорема обычно нужна для быстрого подбора корней.
А если вы её используете ещё и для проверки корней, то получаете более надёжный результат.
И кто пока так не делает – советую научиться. Очень полезная вещь.

Подбор корней лучше всегда начинать с произведения.

Используем для подбора корней

Если $x_{1} \cdot x_{2} = q$ и $x_{1} + x_{2} = - p$
то $x_{1}$ и $x_{2}$ - корни уравнения $x^{2} + p x + q = 0$

Пример 1.

x^{2} - 2 x - 3 = 0

Если это уравнение имеет корни $x_{1}$ и $x_{2}$ , то $x_{1} \cdot x_{2} = - 3, x_{1} + x_{2} = 2$ , тогда числа $x_{1} = 3, x_{2} = - 1$ - его корни.

Ответ: ${- 1; 3}$

Пример 2.

x^{2} + 2 x - 3 = 0

Корни, если они есть, должны удовлетворять равенствам: $x_{1} \cdot x_{2} = - 3, x_{1} + x_{2} = - 2$ , тогда $x_{1} = - 3, x_{2} = 1$ .

Ответ: ${- 3; 1}$

Пример 3.

x^{2} + 4 x + 3 = 0

$x_{1} \cdot x_{2} = 3, x_{1} + x_{2} = - 4$ , поэтому $x_{1} = - 3, x_{2} = - 1$ .

Ответ: ${- 3; - 1}$

Теорема Виета для общего случая

Хорошо, если старший коэффициент равен $1$ . А что делать, если это не так?
В уравнении $a x^{2} + b x + c = 0$ поделим обе части на a: теорема Виета: общий случай . $x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0$
Тогда, согласно теореме Виета, для корней $x_{1}$ и $x_{2}$ выполняются равенства
Именно эти формулы я и рекомендую запомнить, поскольку они "работают" для любого квадратного уравнения.

Используем для проверки корней

Если $x_{1}$ и $x_{2}$ - корни уравнения $a x^{2} + b x + c = 0$ , $a \neq 0$
то должно быть $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$ и $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$

Например, для корней уравнения $2 x^{2} + 7 x + 6 = 0$ , если они есть, будут выполняться равенства $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{6}{2} = 3, x_{1} + x_{2} = - \frac{7}{2}$
Однако, подбирать корни в этом случае не совсем удобно.
Можно воспользоваться правилом, которое я называю модификацией теоремы Виета.

Модификация теоремы Виета

Для квадратного уравнения $a x^{2} + b x + c = 0$ рассмотрим вспомогательное уравнение $x^{2} + b x + a c = 0$ .
Дискриминанты этих уравнений одинаковы,
и корни вспомогательного уравнения модификация теоремы Виета $\frac{- b \pm \sqrt{D}}{2}$ отличаются от корней исходного $\frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a}$ в a раз.
Значит, мы можем найти корни вспомогательного уравнения, поделить их на старший коэффициент a и получим корни исходного уравнения!
Этот способ очень удобен. Правда, если мы сумеем подобрать корни вспомогательного уравнения.

Пример 1.

Решить уравнение $2 x^{2} + 7 x + 6 = 0$
Рассмотрим вспомогательное уравнение $x^{2} + 7 x + 12 = 0$ и найдём его корни по теореме Виета. Это числа $- 4 и - 3$ .
Делим их на старший коэффициент $a = 2$ : модификация теоремы Виета: пример 1 $\frac{- 4}{2} = - 2, \frac{- 3}{2} = - \frac{3}{2}$
Это и есть корни данного уравнения, которые требовалось найти.
На всякий случай, проверим их по теореме Виета:

модификация теоремы Виета: пример 1 $- 2 \cdot (- \frac{3}{2}) = 3 = \frac{c}{a}, - 2 - \frac{3}{2} = - \frac{7}{2} = - \frac{b}{a}$

Ответ: модификация теоремы Виета: ответ в примере 1 ${- 2; - \frac{3}{2}}$

Пример 2.

Решить уравнение $6 x^{2} - x - 1 = 0$
Рассмотрим вспомогательное уравнение $x^{2} - x - 6 = 0$ , его корни $3 и - 2$ .
Делим их на $a = 6$ : модификация теоремы Виета: пример 2 $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}, \frac{- 2}{6} = - \frac{1}{3}$ - есть корни данного уравнения.
Проверяем их по теореме Виета:

$\frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{6} = \frac{c}{a} u \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} = - \frac{b}{a}$

Ответ: модификация теоремы Виета: ответ в примере 2 ${- \frac{1}{3}; \frac{1}{2}}$

Пример 3.

Решить уравнение $7 x^{2} - 19 x - 6 = 0$
Вспомогательное уравнение $x^{2} - 19 x - 42 = 0$ , его корни $21 и - 2$ .
Тогда корни данного уравнения модификация теоремы Виета: пример 3 . $\frac{21}{7} = 3, \frac{- 2}{7} = - \frac{2}{7}$
Проверка:

$3 \cdot (- \frac{2}{7}) = - \frac{6}{7} = \frac{c}{a}, 3 - \frac{2}{7} = \frac{19}{7} = - \frac{b}{a}$

Ответ: модификация теоремы Виета: ответ в примере 3 ${- \frac{2}{7}; 3}$

На этой страничке (в разработке) есть задания для самостоятельного решения, где вы можете попробовать свои силы.
Это поможет вам понять, как решать квадратные уравнения с использованием теоремы Виета или её модификации.

Видеоурок по решению квадратных уравнений

Методы решения квадратных уравнений.

Методы решения квадратных уравнений. В этом ролике я разбираю те же способы решения, что и выше. Видео содержит чуть больше примеров на теорему Виета.

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

Здесь вы можете ознакомиться с краткой информацией по квадратным уравнениям и увидеть ответы на часто возникающие вопросы.

Что такое квадратное уравнение?

Квадратное уравнение имеет вид $a x^{2} + b x + c = 0$ при $a \neq 0$ , где a, b, c - некоторые заданные числа. Иногда можно встретить термин "формула квадратного уравнения", но с математической точки зрения это неграмотное название.
Уравнение и формула - разные понятия.
Формула - это равенство, которое справедливо для всех или некоторых значений входящих в неё букв. Формула выражает некий математический закон. Формулу можно использовать для чего-то, но её нельзя "решить".
Уравнение - это некоторое требование, которое нужно выполнить. И решить уравнение как раз и означает найти числа, удовлетворяющие этому требованию.

Что такое коэффициенты квадратного уравнения?

Коэффициентами квадратного уравнения $a x^{2} + b x + c = 0$ являются числа a, b, c, причём $a \neq 0$ .
От коэффициентов зависит число корней уравнения.

Сколько решений может иметь квадратное уравнение?

Квадратное уравнение может иметь одно или два решения или не иметь решений вовсе.

Какие из методов решения универсальные?

Любое квадратное уравнение можно решить методом выделения полного квадрата или используя формулы с дискриминантом.

Как выглядит формула корней квадратного уравнения?

Для квадратного уравнения $a x^{2} + b x + c = 0$
если дискриминант $D = b^{2} - 4 a c > 0$ , то уравнение имеет два различных корня формула корней квадратного уравнения если дискриминант $D = b^{2} - 4 a c > 0$ , то уравнение имеет два различных корня если дискриминант $D = b^{2} - 4 a c > 0$ , то уравнение имеет два различных корня формула корней квадратного уравнения $x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a}$
если $D = 0$ , то уравнение имеет один корень $x_{1} = - \frac{b}{2 a}$
при $D < 0$ уравнение не имеет корней.

Как выбрать метод решения?

Способ решения зависит от вида уравнения.

В неполном квадратном уравнении используем разложение на множители.
Если уравнение приведённое (коэффициент при $x^{2}$ равен $1$ ), и коэффициенты позволяют "на глаз" найти корни - работает теорема Виета.
Для неприведённого уравнения можно попробовать модификацию теоремы Виета.
Всегда можно выделить полный квадрат, опять-таки, если имеются симпатичные коэффициенты.
Дискриминант можно использовать в любом уравнении, но иногда это неоправданно долго.
Независимо от способа решения, настоятельно рекомендую делать проверку с помощью теоремы Виета.

Для чего нужны квадратные уравнения?

Квадратные уравнения являются базой алгебры и используются для описания реальных процессов в физике, экономике, инженерных расчётах, математическом моделировании. Кроме того, имеются уравнения других типов, которые после замены переменной сводятся к квадратным (в разработке). Например, некоторые иррациональные или так называемые биквадратные уравнения.

Распространённые ошибки при решении квадратных уравнений

Ошибка 1. Уравнение не приведено к стандартному виду

Например, в уравнении $x^{2} - 4 x + 3 = 1$ человек пытается найти дискриминант, но это не будет работать, поскольку в правой части нет нуля.
Правильно так: $x^{2} - 4 x + 3 = 1 \Leftrightarrow x^{2} - 4 x + 2 = 0$ , теперь $D = 4^{2} - 4 \cdot 2 = 8$ и так далее.

Ошибка 2. Неоправданное приведение к стандартному виду

В уравнении типа $(3 x - 7) (x + 4) = 0$ раскрывают скобки и приводят к стандартному виду $3 x^{2} + 5 x - 28 = 0$ .
Это, как бы, и не ошибка, но непродуманное действие, потому что корни исходного уравнения видны сразу.
Произведение равно нулю, только если один из множителей равен нулю.
В этом уравнении пример правильного решения $[\begin{array}{l} 3 x - 7 = 0 \\ x + 4 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{7}{3} \\ x = - 4 \end{array}$

Ошибка 3. Получен большой дискриминант

И с этим большим дискриминантом обычно не знают, что делать.
На самом деле, во многих случаях дискриминант удаётся разложить на множители. И уже из произведения извлекать корень.
Например, решим уравнение $2 x^{2} - 30 x - 45 = 0$ .
Мы не будем вычислять $D$ , а разложим его на множители: пример верного решения . $D = 30^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 45 = 9 \cdot (10^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 5) = 9 \cdot 4 \cdot (25 + 10) = 9 \cdot 4 \cdot 35$
И теперь находим корни: $x = \frac{30 \pm \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 35}}{4} = \frac{30 \pm 6 \sqrt{35}}{4} = \frac{15 \pm 3 \sqrt{35}}{2}$

Это может вам пригодиться

формулы сокращённого умножения
разложение многочленов на множители
линейные уравнения
модули
уравнения, сводящиеся к квадратным (в разработке)

Если у вас возникли сложности

Если эта тема вызывает трудности, вы можете позаниматься с репетитором онлайн и разобрать все способы решения квадратных уравнений на практике.