уроки → базовые темы алгебры → разложение на множители

Базовый уровень. Разложение многочленов на множители. Видеоуроки.

Содержание

Что значит - разложить на множители ?
Где используется разложение на множители
Сокращение дробей
Решение уравнений
Метод интервалов
Способы разложения на множители
Вынесение за скобки
Группировка
Формулы сокращённого умножения
Комбинация разных способов
Видеоуроки

Что значит - разложить на множители ?

содержание
Оказывается, далеко не все школьники это понимают.
К примеру, у нас есть выражение сумма.
Посмотрите на порядок арифметических действий. Какие из них будут выполняться последними ?
Правильно - сложения и вычитания. Такие выражения называют одним словом - сумма.
И неважно, все ли знаки "+" или имеются "минусы", - оно всё равно называется "алгебраическая сумма" или просто - "сумма".
А те выражения, которые складываются или вычитаются, - слагаемые.
Теперь взгляните на такое выражение: произведение.
Какие здесь операции будут выполняться в самом конце ?
Это будут умножения.
И всё выражение целиком называется - произведение, а те выражения, что умножаются - множители.
Разложить многочлен на множители - значит, превратить его из суммы в произведение.
Есть много случаев использования разложения на множители.
Некоторые примеры рассматриваются ниже.
Другие интересные применения смотрим в видеоуроках.

Где используется разложение на множители

Сокращение дробей

содержание
Есть дробь сократить дробь, и мы хотим её сократить.
Раскладываем числитель и знаменатель на множители и после этого сокращаем:
сократить дробь

Решение уравнений

содержание
Допустим, нужно решить уравнение решить уравнение.
Разложим левую часть уравнения на множители:
решить уравнение
Произведение равно нулю, только если один из множителей равен нулю:
решить уравнение

Метод интервалов

содержание
Решить неравенство метод интервалов.
Переносим всё в одну часть и опять раскладываем на множители:
метод интервалов
Далее, решаем неравенство методом интервалов:
метод интервалов

Способы разложения на множители

Рекомендуется повторить формулы сокращённого умножения и когда они используются.
В этом разделе я разберу более-менее стандартные примеры разложения на множители.
Более сложные, необычные и интересные примеры смотрим в видеоуроках !

Вынесение за скобки

содержание
Мы будем пользоваться распределительным свойством умножения:
распределительное свойство умножения.
Здесь роль p, q и t могут играть любые выражения.

Пример 1.

вынесение за скобки, поскольку можно взять вынесение за скобки.

Пример 2.

Иногда можно выносить целую скобочку:
вынесение за скобки,
где вынесение за скобки.

Пример 3.

Посмотрите, как обстоит дело с вынесением "минуса" за скобки:
вынесение за скобки,

Пример 4.

Что происходит, когда "минус" выносят из-под квадрата:
вынесение за скобки
Знак "минус" как бы "съедается" квадратом.

Пример 5.

вынесение за скобки

Пример 6.

Иногда бывает удобно выносить за скобки дробный коэффициент.
Чтобы внутри скобок коэффициенты стали целыми.
вынесение за скобки

Группировка

содержание
Группировка - это двухэтапное вынесение за скобки.
На первом этапе все слагаемые разбивают на группы таким образом, чтобы в каждой группе был одинаковый множитель.
На втором этапе выносят этот множитель за скобки.

Пример 1.

группировка
В этом примере мы сгруппировали первое слагаемое со вторым и два оставшихся.

Пример 2.

группировка
Здесь если группировать первое со вторым и вынести y, то это ничего не даст.
Появится скобка группировка, которой в оставшихся слагаемых никак не будет.
Поэтому, группируем первое с третьим:
группировка

Пример 3.

Но иногда разложить на множители удаётся только в каком-то единственном случае.
Как в этом примере, где мы группируем первое и четвёртое слагаемые.
группировка

Формулы сокращённого умножения

содержание
формула квадрат суммы квадрат суммы
формула квадрат разности квадрат разности
формула разность квадратов разность квадратов
формула куб суммы куб суммы
формула куб разности куб разности
формула сумма кубов сумма кубов
формула разность кубов разность кубов
Эти формулы нужно уметь использовать в обе стороны.

Пример 1.

Самое простое - это, конечно, разность квадратов: формула сокращённого умножения пример формула сокращённого умножения пример

Пример 2.

Для суммы и разности кубов тоже всё легко: формула сокращённого умножения пример формула сокращённого умножения пример

Пример 3.

Разложить на множители формула сокращённого умножения пример.
Здесь можно, конечно, возвести в квадраты и привести подобные, но непонятно, что там получится.
Сможем ли мы потом разложить на множители ?
Мы действуем наверняка - сразу используем разность квадратов:
формула сокращённого умножения пример

Пример 4.

"Свернуть" слагаемые в квадрат суммы или разности - это тоже, конечно, разложение на множители: формула сокращённого умножения пример

Пример 5.

Иногда приходится применять формулу подряд несколько раз: формула сокращённого умножения пример формула сокращённого умножения пример

Комбинация разных способов

содержание
Сначала всегда выносим за скобки что есть, по максимуму.
Далее используем группировку и формулы сокращённого умножения.

Пример 1.

разные способы разложения пример

Пример 2.

разные способы разложения пример

Пример 3.

Разложить на множители разные способы разложения пример.
Здесь выделим для начала полный квадрат: разные способы разложения пример разные способы разложения пример
И далее, формула разности квадратов: разные способы разложения пример разные способы разложения пример

Пример 4.

Разложить на множители разные способы разложения пример.
Пробуем сгруппировать первое слагаемое со вторым: разные способы разложения пример разные способы разложения пример
Как видим - не пошло ...
Теперь объединим не пару, а тройку слагаемых:
разные способы разложения пример
И всё получилось.

Пример 5.

Разложить на множители разные способы разложения пример.
Попытка раз - группируем первое со вторым и оставшиеся: разные способы разложения пример
Ничего хорошего. Попытка два - группируем первое с третьим и оставшиеся: разные способы разложения пример
Опять мимо. И последняя попытка - группируем первое с четвёртым:
разные способы разложения пример
Разложили, но смотрите, сколько потребовалось проб.

Видеоуроки

содержание
Разложение на множители. Урок 1.
Вынесение за скобки.
Разложение на множители. Урок 2.
Группировка.
Разложение на множители. Урок 3.
Формулы сокращённого умножения.
Разложение на множители. Урок 4.
Комбинация разных способов.
Разложение квадратного трёхчлена.
Где используется разложение на множители. Урок 5.
просмотр видеоурока 1 просмотр видеоурока 2 просмотр видеоурока 3 просмотр видеоурока 4 просмотр видеоурока 5
вход для учеников
логин:

пароль:

запомнить меня

изменить логин/пароль