↑

Методы разложения на множители и примеры их использования. Видеоуроки.

Что значит - разложить на множители ?

Оказывается, далеко не все школьники это понимают.
К примеру, у нас есть выражение $2 x^{3} - 3 x y + 8 y^{2} - 7 x^{2} y$ .
Посмотрите на порядок арифметических действий. Какие из них будут выполняться последними ?
Правильно - сложения и вычитания. Такие выражения называют одним словом - сумма.
И неважно, все ли знаки "+" или имеются "минусы", - оно всё равно называется "алгебраическая сумма" или просто - "сумма".
А те выражения, которые складываются или вычитаются, - слагаемые.
Теперь взгляните на такое выражение: $5 a^{4} b (a - b) (a + 2 b)$ .
Какие здесь операции будут выполняться в самом конце ?
Это будут умножения.
И всё выражение целиком называется - произведение, а те выражения, что умножаются - множители.
Разложить многочлен на множители - значит, превратить сумму - тот вид, в котором он дан, - в произведение.
Есть много случаев использования разложения на множители.
Некоторые примеры рассматриваются ниже.
Другие интересные применения смотрите в видеоуроках.

Где используется разложение на множители

Сокращение дробей

Допустим, есть дробь $\frac{3 a^{2} + 3 a b}{6 a^{2} b - 6 b^{3}}$ , и мы хотим её сократить.
Раскладываем числитель и знаменатель на множители и после этого сокращаем:

\frac{3 a^{2} + 3 a b}{6 a^{2} b - 6 b^{3}} = \frac{3 a (a + b)}{6 b (a^{2} - b^{2})} = \frac{3 a (a + b)}{6 b (a - b) (a + b)} = \frac{a}{2 b (a - b)}

Решение уравнений

Представим, что нужно решить уравнение $x^{3} + 3 x^{2} - 5 x - 15 = 0$ .
Разложим левую часть уравнения на множители.
$x^{2} (x + 3) - 5 (x + 3) = 0$
$(x + 3) (x^{2} - 5) = 0$
$(x + 3) (x - \sqrt{5}) (x + \sqrt{5}) = 0$
Произведение равно нулю, только если один из множителей равен нулю.
$[\begin{matrix} x + 3 = 0 \\ x - \sqrt{5} = 0 \\ x + \sqrt{5} = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = - 3 \\ x = \sqrt{5} \\ x = - \sqrt{5} \end{matrix}$

Метод интервалов

Например, нужно решить неравенство

{(x - 1)}^{3} (x - 2) (2 x - 3) < {(x - 1)}^{3} {(x - 2)}^{2}

Переносим всё в одну часть и раскладываем на множители.

{(x - 1)}^{3} (x - 2) (2 x - 3) - {(x - 1)}^{3} {(x - 2)}^{2} < 0

{(x - 1)}^{3} (x - 2) (2 x - 3 - x + 2) < 0

${(x - 1)}^{3} (x - 2) (x - 1) < 0$
${(x - 1)}^{4} (x - 2) < 0$
Далее, решаем неравенство методом интервалов.
метод интервалов
$x < 1 \lor 1 < x < 2$

Способы разложения на множители

Рекомендуется повторить формулы сокращённого умножения и когда они используются.
В этом разделе я разберу более-менее стандартные примеры разложения на множители.
Более сложные, необычные и интересные примеры смотрите в видеоуроках.

Вынесение за скобки

Мы будем пользоваться распределительным свойством умножения:
$p q + p t = p (q + t)$ и $p q - p t = p (q - t)$
Здесь роль $p$ , $q$ и $t$ могут играть любые выражения.

Пример 1.

15 x^{2} y + 20 x y^{3} = 5 x y \cdot 3 x + 5 x y \cdot 4 y^{2} = 5 x y (3 x + 4 y^{2})

Здесь мы взяли $p = 5 x y$ , $q = 3 x$ и $t = 4 y^{2}$ .

Пример 2.

Иногда можно выносить целую скобочку:

14 a^{2} (a + b) - 21 a b (a + b) = 7 a (a + b) \cdot 2 a - 7 a (a + b) \cdot 3 b = 7 a (a + b) (2 a - 3 b)

где $p = 7 a (a + b)$ , $q = 2 a$ , $t = 3 b$

Пример 3.

Посмотрите, как обстоит дело с вынесением "минуса" за скобки:

m - 3 n = (- 1) \cdot 3 n - (- 1) \cdot m = - 1 \cdot (3 n - m)

Пример 4.

Что происходит, когда "минус" выносят из-под квадрата:

{(a - b)}^{2} = {(- (b - a))}^{2} = {(- 1)}^{2} \cdot {(b - a)}^{2} = {(b - a)}^{2}

Знак "минус" как бы "съедается" квадратом.

Пример 5.

2 n (x - y) + 3 m (y - x) = 2 n (x - y) - 3 m (x - y) = (x - y) (2 n - 3 m)

Пример 6.

Иногда бывает удобно выносить за скобки дробный коэффициент.
Чтобы внутри скобок коэффициенты стали целыми.

\frac{1}{2} x y^{2} + \frac{1}{4} x^{3} y - \frac{1}{6} x y = \frac{1}{12} x y (6 y + 3 x^{2} - 2)

Группировка

Группировка - это двухэтапное вынесение за скобки.
На первом этапе все слагаемые разбивают на группы таким образом, чтобы в каждой группе был одинаковый множитель.
На втором этапе выносят этот множитель за скобки.

Пример 1.

9 m^{2} - 9 m n - 5 m + 5 n = 9 m (m - n) - 5 (m - n) = (m - n) (9 m - 5)

В этом примере мы сгруппировали первое слагаемое со вторым и два оставшихся.

Пример 2.

$5 y^{2} + y + y^{3} + 5$
Здесь если группировать первое со вторым и вынести y, то это ничего не даст.
Появится скобка $5 y + 1$ , которой в оставшихся слагаемых никак не будет.
Поэтому, группируем первое с третьим:

5 y^{2} + y + y^{3} + 5 = 5 y^{2} + y^{3} + y + 5 = y^{2} (5 + y) + (y + 5) = (y + 5) (y^{2} + 1)

Пример 3.

Но иногда разложить на множители удаётся только в каком-то единственном случае.
Как в этом примере, где мы группируем первое и четвёртое слагаемые.

a^{2} + a + b - b^{2} = a^{2} - b^{2} + a + b = (a - b) (a + b) + (a + b) = (a + b) (a - b + 1)

Формулы сокращённого умножения

Эти формулы нужно уметь использовать в обе стороны.

${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$	квадрат суммы
${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$	квадрат разности
$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$	разность квадратов
${(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$	куб суммы
${(a - b)}^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$	куб разности
$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$	сумма кубов
$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$	разность кубов

Пример 1.

Самое простое - это, конечно, разность квадратов:

49 b^{2} - 36 a^{4} = {(7 b)}^{2} - {(6 a^{2})}^{2} = (7 b - 6 a^{2}) (7 b + 6 a^{2})

Пример 2.

Для суммы и разности кубов тоже всё легко:

27 x^{3} + 1 = {(3 x)}^{3} + 1^{3} = (3 x + 1) (9 x^{2} - 3 x + 1)

Пример 3.

Разложить на множители ${(x - 2 y)}^{2} - {(x + y)}^{2}$ .
Здесь можно, конечно, возвести в квадраты и привести подобные, но непонятно, что там получится.
Сможем ли мы потом разложить на множители ?
Мы действуем наверняка - сразу используем разность квадратов:

{(x - 2 y)}^{2} - {(x + y)}^{2} = (x - 2 y - x - y) (x - 2 y + x + y) = - 3 y (2 x - y)

Пример 4.

"Свернуть" слагаемые в квадрат суммы или разности - это тоже, конечно, разложение на множители:

m^{2} - 4 m + 4 = {(m - 2)}^{2}

Пример 5.

Иногда приходится применять формулу подряд несколько раз:

a^{4} - 16 = (a^{2} - 4) (a^{2} + 4) = (a - 2) (a + 2) (a^{2} + 4)

Комбинация разных способов

Сначала всегда выносим за скобки что есть, по максимуму.
Далее используем группировку и формулы сокращённого умножения.

Пример 1.

- 3 x^{2} + 6 x - 3 = - 3 (x^{2} - 2 x + 1) = - 3 {(x - 1)}^{2}

Пример 2.

- 2 a^{3} - 50 a b^{2} + 20 a^{2} b = - 2 a (a^{2} + 25 b^{2} - 10 a b) = - 2 a {(a - 5 b)}^{2}

Пример 3.

Разложить на множители $a^{2} + 6 a - 7$ .
Здесь выделим для начала полный квадрат:

a^{2} + 6 a - 7 = a^{2} + 6 a + 9 - 16 = {(a + 3)}^{2} - 16

И далее, формула разности квадратов:

{(a + 3)}^{2} - 16 = (a + 3 - 4) (a + 3 + 4) = (a - 1) (a + 7)

Пример 4.

Разложить на множители $x^{2} - y^{2} - 10 y - 25$ .
Пробуем сгруппировать первое слагаемое со вторым:

x^{2} - y^{2} - 10 y - 25 = (x - y) (x + y) - 5 (2 y + 5) \neq

Как видим - не пошло ...
Теперь объединим не пару, а тройку слагаемых:

x^{2} - y^{2} - 10 y - 25 = x^{2} - (y^{2} + 10 y + 25) = x^{2} - {(y + 5)}^{2} = (x - y - 5) (x + y + 5)

И всё получилось.

Пример 5.

Разложить на множители $a^{3} - a^{2} - 2 a + 8$ .
Попытка раз - группируем первое со вторым и оставшиеся:

a^{3} - a^{2} - 2 a + 8 = a^{2} (a - 1) - 2 (a - 4) \neq

Ничего хорошего. Попытка два - группируем первое с третьим и оставшиеся:

a^{3} - a^{2} - 2 a + 8 = a (a^{2} - 2) - (a^{2} - 8) \neq

Опять мимо. И последняя попытка - группируем первое с четвёртым:

a^{3} - a^{2} - 2 a + 8 = a^{3} + 8 - a^{2} - 2 a = (a + 2) (a^{2} - 2 a + 4) - a (a + 2) = (a + 2) (a^{2} - 2 a + 4 - a) = (a + 2) (a^{2} - 3 a + 4)

Разложили, но смотрите, сколько потребовалось проб.

Видеоуроки


	Разложение на множители. Урок 1. Вынесение за скобки.

	Разложение на множители. Урок 2. Группировка.

	Разложение на множители. Урок 3. Формулы сокращённого умножения.

	Разложение на множители. Урок 4. Комбинация разных способов. Разложение квадратного трёхчлена.

	Где используется разложение на множители. Урок 5.