изменить логин/пароль
Разложение многочленов на множители. Базовый уровень. Видеоуроки.
Что значит - разложить на множители ?
Оказывается, далеко не все школьники это понимают.К примеру, у нас есть выражение
.Посмотрите на порядок арифметических действий. Какие из них будут выполняться последними ?
Правильно - сложения и вычитания. Такие выражения называют одним словом - сумма.
И неважно, все ли знаки "+" или имеются "минусы", - оно всё равно называется "алгебраическая сумма" или просто - "сумма".
А те выражения, которые складываются или вычитаются, - слагаемые. Теперь взгляните на такое выражение:
.Какие здесь операции будут выполняться в самом конце ?
Это будут умножения.
И всё выражение целиком называется - произведение, а те выражения, что умножаются - множители. Разложить многочлен на множители - значит, превратить сумму - тот вид, в котором он дан, - в произведение. Есть много случаев использования разложения на множители.
Некоторые примеры рассматриваются ниже.
Другие интересные применения смотрим в видеоуроках.
Где используется разложение на множители
Сокращение дробей
Есть дробь
,
и мы хотим её сократить.Раскладываем числитель и знаменатель на множители и после этого сокращаем:
Решение уравнений
Допустим, нужно решить уравнение
.
Разложим левую часть уравнения на множители:
Произведение равно нулю, только если один из множителей равен нулю:
Метод интервалов
Решить неравенство
Переносим всё в одну часть и опять раскладываем на множители:
Далее, решаем неравенство методом интервалов:
Способы разложения на множители
Рекомендуется повторить формулы сокращённого умножения и когда они используются. В этом разделе я разберу более-менее стандартные примеры разложения на множители.Более сложные, необычные и интересные примеры смотрим в видеоуроках !
Вынесение за скобки
Мы будем пользоваться распределительным свойством умножения:
и
Здесь роль p, q и t могут играть любые выражения.
Пример 1.
, поскольку можно взять
.
Пример 2.
Иногда можно выносить целую скобочку:
,где
.
Пример 3.
Посмотрите, как обстоит дело с вынесением "минуса" за скобки:
Пример 4.
Что происходит, когда "минус" выносят из-под квадрата:
Знак "минус" как бы "съедается" квадратом.
Пример 5.
Пример 6.
Иногда бывает удобно выносить за скобки дробный коэффициент.Чтобы внутри скобок коэффициенты стали целыми.
Группировка
Группировка - это двухэтапное вынесение за скобки.На первом этапе все слагаемые разбивают на группы таким образом, чтобы в каждой группе был одинаковый множитель.
На втором этапе выносят этот множитель за скобки.
Пример 1.
В этом примере мы сгруппировали первое слагаемое со вторым и два оставшихся.
Пример 2.
Здесь если группировать первое со вторым и вынести y, то это ничего не даст.
Появится скобка
,
которой в оставшихся слагаемых никак не будет.Поэтому, группируем первое с третьим:
Пример 3.
Но иногда разложить на множители удаётся только в каком-то единственном случае.Как в этом примере, где мы группируем первое и четвёртое слагаемые.
Формулы сокращённого умножения
|
квадрат суммы |
|
квадрат разности |
|
разность квадратов |
|
куб суммы |
|
куб разности |
|
сумма кубов |
|
разность кубов |
Пример 1.
Самое простое - это, конечно, разность квадратов:
Пример 2.
Для суммы и разности кубов тоже всё легко:
Пример 3.
Разложить на множители
.Здесь можно, конечно, возвести в квадраты и привести подобные, но непонятно, что там получится.
Сможем ли мы потом разложить на множители ?
Мы действуем наверняка - сразу используем разность квадратов:
Пример 4.
"Свернуть" слагаемые в квадрат суммы или разности - это тоже, конечно, разложение на множители:
Пример 5.
Иногда приходится применять формулу подряд несколько раз:
Комбинация разных способов
Сначала всегда выносим за скобки что есть, по максимуму.Далее используем группировку и формулы сокращённого умножения.
Пример 1.
Пример 2.
Пример 3.
Разложить на множители
Здесь выделим для начала полный квадрат:
И далее, формула разности квадратов:
Пример 4.
Разложить на множители
.Пробуем сгруппировать первое слагаемое со вторым:
Как видим - не пошло ... Теперь объединим не пару, а тройку слагаемых:
И всё получилось.
Пример 5.
Разложить на множители
.Попытка раз - группируем первое со вторым и оставшиеся:
Ничего хорошего. Попытка два - группируем первое с третьим и оставшиеся:
Опять мимо. И последняя попытка - группируем первое с четвёртым:
Разложили, но смотрите, сколько потребовалось проб.
Видеоуроки
 |
Разложение на множители. Урок 1. Вынесение за скобки. |
 |
Разложение на множители. Урок 2. Группировка. |
 |
Разложение на множители. Урок 3. Формулы сокращённого умножения. |
 |
Разложение на множители. Урок 4. Комбинация разных способов. Разложение квадратного трёхчлена. |
 |
Где используется разложение на множители. Урок 5. |