↑

Уравнения, сводящиеся к квадратным. Профильный уровень.

Необходимый минимум

Уроки этого раздела будут понятны тем, кто владеет базовыми вещами -
помнит формулы сокращённого умножения,
умеет раскладывать выражения на множители,
грамотно использует свойства модуля,
оперирует квадратными корнями,
знает способы решения квадратных уравнений.
Кто с этими темами не знаком, тот очень быстро застрянет в простых переходах и элементарных выкладках.

Ссылки на статьи

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Математическая символика

Конъюнкция и дизъюнкция

Несколько слов про общепринятую математическую символику, которой я пользуюсь. На примере уравнений.
Допустим, есть два уравнения: $f (x) = 0$ и $g (x) = 0$ .

Определение 1.

Запись $f (x) = 0 \land g (x) = 0$ или, что то же самое, ${\begin{matrix} f (x) = 0 \\ g (x) = 0 \end{matrix}$ означает, что мы находим числа, удовлетворяющие обоим уравнениям.
Такая операция называется конъюнкцией или пересечением множеств решений уравнений.
При использовании фигурной скобки, говорят, что мы решаем систему уравнений.

Определение 2.

Запись $f (x) = 0 \lor g (x) = 0$ или, по другому, $[\begin{matrix} f (x) = 0 \\ g (x) = 0 \end{matrix}$ означает, что мы находим числа, удовлетворяющие хотя бы одному из уравнений.
Это действие называется дизъюнкцией или объединением множеств решений уравнений.
Квадратная скобка называется совокупностью уравнений.

Уравнений может быть не обязательно два, а любое число. Смысл тот же.
В уроках я использую те или иные символы в зависимости от удобства.
И кстати, вам встретится много формул и уравнений. Некоторые из них достаточно большие.
Чтобы на маленьком экране увидеть целиком длинное уравнение, воспользуйтесь горизонтальной прокруткой.

Определение 3.

Запись $f (x) = 0 \Leftrightarrow g (x) = 0$ требуется, когда множества решений этих уравнений совпадают.
Такие уравнения называют равносильными.

Пример использования символики

Решить уравнение ${(2 x^{2} + 5 x - 12)}^{4} + | 2 x^{2} - 5 x + 3 | = 0$
Мы понимаем, что равенство возможно, только если оба слагаемых равны нулю.
Другими словами, наше уравнение равносильно системе ${\begin{matrix} {(2 x^{2} + 5 x - 12)}^{4} = 0 \\ | 2 x^{2} - 5 x + 3 | = 0 \end{matrix}$
Далее, ${\begin{matrix} {(2 x^{2} + 5 x - 12)}^{4} = 0 \\ | 2 x^{2} - 5 x + 3 | = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow$ ${\begin{matrix} 2 x^{2} + 5 x - 12 = 0 \\ 2 x^{2} - 5 x + 3 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow$ ${\begin{matrix} [\begin{matrix} x = - 4 \\ x = \frac{3}{2} \end{matrix} \\ [\begin{matrix} x = 1 \\ x = \frac{3}{2} \end{matrix} \end{matrix} \Leftrightarrow$ $x = \frac{3}{2}$

Те же самые выкладки можно оформить значками $\land$ и $\lor$ .
Запишем каждое утверждение в новой строке, не используя символ $\Leftrightarrow$ , как это часто делают.
${(2 x^{2} + 5 x - 12)}^{4} + | 2 x^{2} - 5 x + 3 | = 0$

{(2 x^{2} + 5 x - 12)}^{4} = 0 \land | 2 x^{2} - 5 x + 3 | = 0

2 x^{2} + 5 x - 12 = 0 \land 2 x^{2} - 5 x + 3 = 0

(x = - 4 \lor x = \frac{3}{2}) \land (x = 1 \lor x = \frac{3}{2})

$x = \frac{3}{2}$