уроки → подготовка к ОГЭ → алгебраические дроби
вход для учеников
логин:

пароль:

запомнить меня

изменить логин/пароль

Урок для подготовки к ОГЭ по математике. Действия с алгебраическими дробями.

Речь пойдёт об арифметических действиях с дробями, которые содержат буквы.
Рекомендуется повторить формулы сокращённого умножения и способы разложения многочленов на множители.
На всякий случай, выпишу формулы здесь:
формула квадрат суммы квадрат суммы
формула квадрат разности квадрат разности
формула разность квадратов разность квадратов
формула куб суммы куб суммы
формула куб разности куб разности
формула сумма кубов сумма кубов
формула разность кубов разность кубов

Сокращение дробей.

Сокращение возможно благодаря основному свойству дроби: основное свойство дроби
Перед тем, как пытаться сократить дробь, нужно разложить на множители её числитель и знаменатель.
примеры сокращения дробей

Сложение и вычитание дробей.

примеры сложения и вычитания дробей
Здесь нужно попробовать разложить числитель на множители. Перегруппируем слагаемые. примеры сложения и вычитания дробей
Здесь мы использовали, что примеры сложения и вычитания дробей
примеры сложения и вычитания дробей
Иногда удобнее приводить к общему знаменателю только некоторые из слагаемых. Рассмотрим пример.
примеры сложения и вычитания дробей
Приведём к общему знаменателю сначала только две последние дроби.
примеры сложения и вычитания дробей
Надо сказать, что наш выбор был удачным – одна скобочка сократилась. Продолжим.
Опять не будем трогать первые два слагаемых – так проще.
примеры сложения и вычитания дробей

Умножение и деление дробей.

Умножение происходит по правилу: правило умножения дробей,  
деление – по правилу: правило деления дробей
При этом полезно помнить, что умножение дроби на число
и что деление дроби на число
Выпишем эти результаты ещё раз: умножение дроби на число и деление дроби на число
При решении примеров этого типа нужно числители и знаменатели дробей раскладывать на множители и, по возможности, сокращать. Если какое-то из сокращений вызывает вопросы, рекомендую заглянуть в раздел «Сокращение дробей». примеры умножения и деления дробей
Замечу, что обычно не нужно при умножении дробей записывать всё под одну дробную черту. Сокращение вполне можно выполнить и без этого. Тогда предыдущий пример будет выглядеть короче на одно действие:
примеры умножения и деления дробей
примеры умножения и деления дробей
В последнем примере чтобы не выносить минус за скобку примеры умножения и деления дробей, мы применили равенство примеры умножения и деления дробей.

Совместные действия с дробями.

Ничего нового здесь не скажешь, только напомню, что умножение и деление выполняются перед сложением и вычитанием (конечно, если нет скобок).
примеры совместных действий с дробями
Чтобы разложить квадратный трёхчлен примеры совместных действий с дробями на множители, найдём его корни примеры совместных действий с дробями и примеры совместных действий с дробями, и получим:
примеры совместных действий с дробями
Тогда:
примеры совместных действий с дробями

Разбор некоторых заданий ОГЭ.

Пример 1.

Укажите выражение, тождественно равное дроби пример действий с дробями из ОГЭ: пример действий с дробями из ОГЭ

Решение:

Многих пугают слова «тождественно равное». На самом деле, не углубляясь в тонкости, нужно просто найти дробь, равную данной.
Начнём преобразовывать данную дробь. Вынесем сначала из числителя минус за скобку: пример действий с дробями из ОГЭ.
Числитель стал напоминать числитель в пункте пример действий с дробями из ОГЭ.
Теперь внесём этот минус в знаменатель: пример действий с дробями из ОГЭ
Ответ: пример действий с дробями из ОГЭ

Пример 2.

Выполните умножение пример действий с дробями из ОГЭ.

Решение:

пример действий с дробями из ОГЭ

Пример 3.

Найти разность пример действий с дробями из ОГЭ.

Решение:

Сначала сокращаем дробь, затем приводим к общему знаменателю.
пример действий с дробями из ОГЭ

Пример 4.

Сократить дробь пример действий с дробями из ОГЭ.

Решение:

Выносим в числителе пример действий с дробями из ОГЭ за скобку, далее используем формулу разности квадратов.
пример действий с дробями из ОГЭ

Пример 5.

Выполните умножение пример действий с дробями из ОГЭ.

Решение:

Сумму пример действий с дробями из ОГЭ разложим по формуле суммы кубов формула сумма кубов для ОГЭ,
а выражение пример действий с дробями из ОГЭ соберём по формуле квадрат разности формула квадрат разности для ОГЭ.
Тогда получаем: пример действий с дробями из ОГЭ

Пример 6.

Найдите значение выражения пример действий с дробями из ОГЭ при пример действий с дробями из ОГЭ.

Решение:

Сначала упростим данное выражение, а потом подставим вместо   u   и   v   данные значения.
пример действий с дробями из ОГЭ
Теперь подставим пример действий с дробями из ОГЭ
Ответ: пример действий с дробями из ОГЭ