изменить логин/пароль
Урок для подготовки к ОГЭ по математике. Действия с алгебраическими дробями.
Речь пойдёт об арифметических действиях с дробями, которые содержат буквы.Рекомендуется повторить формулы сокращённого умножения и способы разложения многочленов на множители. На всякий случай, выпишу формулы здесь:
![]() |
квадрат суммы |
![]() |
квадрат разности |
![]() |
разность квадратов |
![]() |
куб суммы |
![]() |
куб разности |
![]() |
сумма кубов |
![]() |
разность кубов |
Сокращение дробей
Сокращение возможно благодаря основному свойству дроби:
Перед тем, как пытаться сократить дробь, нужно разложить на множители её числитель и знаменатель.



























Сложение и вычитание дробей
- 1. Сначала нужно разложить знаменатели данных дробей на множители.
- 2. Затем найти многочлен, который делится на все эти знаменатели – то есть найти общий знаменатель.
- 3. Домножить, где это необходимо, числитель и знаменатель дроби на одинаковый множитель c, то есть
так,
- чтобы привести все дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель c обычно будем выделять цветом.
- 4. Выполнить сложение или вычитание дробей по правилу
- 5. Далее, в числителе полученной дроби раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.
- 6. После этого попытаться разложить числитель на множители и сократить дробь.
- Рассмотрим несколько примеров.



































































Опять не будем трогать первые два слагаемых – так проще.




Умножение и деление дробей
Умножение происходит по правилу:

При этом полезно помнить, что


Выпишем эти результаты ещё раз:




Сокращение вполне можно выполнить и без этого.
Тогда предыдущий пример будет выглядеть короче на одно действие:






















Совместные действия с дробями
Ничего нового здесь не скажешь, только напомню, что умножение и деление выполняются перед сложением и вычитанием (конечно, если нет скобок).































Разбор некоторых заданий ОГЭ
Пример 1.
Укажите выражение, тождественно равное дроби


Решение:
Многих пугают слова «тождественно равное». На самом деле, не углубляясь в тонкости, нужно просто найти дробь, равную данной. Начнём преобразовывать данную дробь. Вынесем сначала из числителя минус за скобку:




Пример 2.
Выполните умножение
Решение:



Пример 3.
Найти разность
Решение:
Сначала сокращаем дробь, затем приводим к общему знаменателю.


Пример 4.
Сократить дробь
Решение:
Выносим в числителе


Пример 5.
Выполните умножение
Решение:
Сумму

а выражение


Тогда получаем:



Пример 6.
Найдите значение выражения

Решение:
Сначала упростим данное выражение, а потом подставим вместо u и v данные значения.






