уроки → подготовка к ОГЭ → квадратные корни

Урок для подготовки к ОГЭ по математике. Квадратные корни.

Мои видеоуроки
по теме квадратные корни.

Содержание

Определение

Свойства квадратных корней

Вынесение из-под корня

Исключение иррациональности из знаменателя

Упрощение иррациональных выражений

Сравнение иррациональных чисел

Определение

содержание Пусть a - неотрицательное число, то есть квадратные корни.
Квадратным корнем из a называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен a.
Обозначается это число символом квадратные корни.
Таким образом, если квадратные корни, то
квадратные корни
Например, квадратные корни, поскольку квадратные корни
Если квадратный корень из числа a является рациональным числом (то есть целым или отношением целых чисел),
то говорят, что «корень из a извлекается».
Например, квадратные корни извлекается и равен  4, то есть квадратные корни.
Или квадратные корни тоже извлекается и равен квадратные корни, то есть квадратные корни. Здесь число квадратные корни рационально, т.к. равно отношению целых чисел.
Но имеются числа, корень из которых не является числом рациональным.
Например, числа квадратные корни не будут рациональными. Такие числа называются иррациональными.
Выпишу некоторые свойства квадратных корней.

Свойства квадратных корней

содержание
квадратные корни формулы
И ещё раз отмечу, что согласно определению,
квадратные корни формулы.

Вынесение из-под корня

содержание
вынесение из-под корня
В этом случае мы говорим, что вынесли  4  из-под корня.
Или, вынесение из-под корня
Здесь мы вынесли  9  из-под корня.
Можно, наоборот, вносить множитель под корень: вынесение из-под корня или вынесение из-под корня.
Вынесение и внесение под корень надо делать уверенно и быстро, но главное, конечно, правильно.
И если это пока затруднительно, советую потренироваться.
Удостоверьтесь для себя, что
вынесение из-под корня и так далее.
Задания для тренировки можно придумывать и самостоятельно. Рассмотрим ещё примеры.
вынесение из-под корня пример
вынесение из-под корня пример
вынесение из-под корня пример
вынесение из-под корня пример
вынесение из-под корня пример
Последний результат можно записать и по-другому:
вынесение из-под корня пример
вынесение из-под корня пример
вынесение из-под корня пример
вынесение из-под корня пример
вынесение из-под корня пример
Поскольку в скобках особо не упростишь, - раскрываем скобки.
вынесение из-под корня пример
вынесение из-под корня пример

Исключение иррациональности из знаменателя

содержание Напомню основное свойство дроби: формула основное свойство дроби, благодаря которому мы можем умножить числитель и знаменатель дроби на одно и то же число.
Например, исключение иррациональности в знаменателе.   
Здесь мы домножили числитель и знаменатель дроби на исключение иррациональности в знаменателе, и в знаменателе пропал корень.
Правда, он появился в числителе, но это обычно лучше.
Например, ещё исключение иррациональности в знаменателе
В этом случае дробь вообще исчезла, что, конечно, удобно для дальнейших преобразований.
Рассмотрим ещё несколько примеров.
исключение иррациональности в знаменателе пример
исключение иррациональности в знаменателе пример
исключение иррациональности в знаменателе пример
исключение иррациональности в знаменателе пример

Упрощение иррациональных выражений

содержание Напомню три формулы сокращённого умножения, которые нам здесь пригодятся.
формула квадрат суммы квадрат суммы
формула квадрат разности квадрат разности
формула разность квадратов разность квадратов
упрощение иррациональных выражений пример
Заметим, что числитель первой дроби есть полный квадрат:
упрощение иррациональных выражений пример
Тогда
упрощение иррациональных выражений пример
Иногда при действиях с корнями удобно выполнять замену на другую букву.
упрощение иррациональных выражений пример
Пусть упрощение иррациональных выражений пример, тогда упрощение иррациональных выражений пример
и упрощение иррациональных выражений пример, теперь:
упрощение иррациональных выражений пример
Обратная замена даже не требуется.
квадратные корни Сократить дробь упрощение иррациональных выражений пример
Чтобы сократить дробь, нужно разложить её числитель и знаменатель на множители.
упрощение иррациональных выражений пример
квадратные корни Сократить дробь упрощение иррациональных выражений пример
упрощение иррациональных выражений пример
квадратные корни Упростить упрощение иррациональных выражений пример
Здесь весь фокус в том, чтобы обнаружить под корнем полный квадрат,
то есть квадрат суммы упрощение иррациональных выражений пример
или квадрат разности упрощение иррациональных выражений пример.
упрощение иррациональных выражений пример
полный квадрат имеется, и не забываем ещё, что упрощение иррациональных выражений пример
Тогда у нас получится:
упрощение иррациональных выражений пример.
Чтобы «раскрыть» модуль, нужно определить знак числа упрощение иррациональных выражений пример.
Поскольку упрощение иррациональных выражений пример, то упрощение иррациональных выражений пример, и поэтому упрощение иррациональных выражений пример.
квадратные корни Доказать, что упрощение иррациональных выражений пример
Поскольку оба числа: упрощение иррациональных выражений пример и упрощение иррациональных выражений пример положительны, то достаточно проверить равенство их квадратов.
упрощение иррациональных выражений пример и упрощение иррациональных выражений пример
поэтому упрощение иррациональных выражений пример
квадратные корни Упростить упрощение иррациональных выражений пример
упрощение иррациональных выражений пример
Поскольку упрощение иррациональных выражений пример, то упрощение иррациональных выражений пример и поскольку упрощение иррациональных выражений пример, то упрощение иррациональных выражений пример.
Значит, первый модуль «раскрываем» с минусом, а второй – с плюсом:
упрощение иррациональных выражений пример
квадратные корни Упростить упрощение иррациональных выражений пример
Попробуем сделать замену: упрощение иррациональных выражений пример, тогда упрощение иррациональных выражений пример.
Теперь получим:
упрощение иррациональных выражений пример
Здесь мы использовали, что упрощение иррациональных выражений пример, поэтому, тем более упрощение иррациональных выражений пример, и значит упрощение иррациональных выражений пример.
квадратные корни Вычислить упрощение иррациональных выражений пример
Используем здесь свойство степеней: упрощение иррациональных выражений пример
Сначала возведём в квадрат:
упрощение иррациональных выражений пример
Теперь уже не составит труда возвести число 6 в четвёртую степень: упрощение иррациональных выражений пример

Сравнение иррациональных чисел

содержание Допустим, нужно сравнить два числа: a и b.   Применим такой принцип.
Предположим, что сравнение иррациональных чисел. Будем выполнять с этим неравенством равносильные преобразования, а именно:
- переносить слагаемые из одной части неравенства в другую с изменением знака слагаемого;
- умножать или делить обе части неравенства на положительное число с сохранением знака неравенства;
- умножать или делить обе части неравенства на отрицательное число с изменением знака неравенства;
- возводить обе части неравенства в квадрат, если они неотрицательны.
Если в результате наших преобразований мы получим верное неравенство, значит наше предположение было верным,
то есть, действительно сравнение иррациональных чисел, а если получим неверное неравенство, - значит, на самом деле, сравнение иррациональных чисел.
квадратные корни Сравнить числа пример сравнения иррациональных чисел
пример сравнения иррациональных чисел
Так как полученное неравенство – неверное, то и пример сравнения иррациональных чисел неверное, то есть, на самом деле пример сравнения иррациональных чисел
квадратные корни Сравнить числа пример сравнения иррациональных чисел
пример сравнения иррациональных чисел
Так как полученное неравенство – верное, то и неравенство пример сравнения иррациональных чисел верно.
Для сравнения чисел можно выяснить знак разности этих чисел:
если пример сравнения иррациональных чисел, то пример сравнения иррациональных чисел,  
если же пример сравнения иррациональных чисел, то пример сравнения иррациональных чисел.
квадратные корни Сравнить числа пример сравнения иррациональных чисел
Пусть пример сравнения иррациональных чисел. Составим разность пример сравнения иррациональных чисел и определим её знак.
пример сравнения иррациональных чисел
Поскольку числители равны и, очевидно, знаменатель первой дроби больше знаменателя второй дроби,
- значит, первая дробь меньше, то есть пример сравнения иррациональных чисел, и пример сравнения иррациональных чисел.
Замечу, что первым способом сравнить было бы проще.
Иногда бывает достаточно проанализировать числа, участвующие в сравнении.
квадратные корни Сравнить числа пример сравнения иррациональных чисел
Разность этих чисел пример сравнения иррациональных чисел
как сумма положительных чисел.
Значит, пример сравнения иррациональных чисел.
Иногда нужно сравнивать оба числа с каким-то третьим, «пограничным», числом, которое должно располагаться между данными числами.
При этом, правда, нужно заранее «почувствовать», какое из них больше, а какое – меньше, и оценивать в нужную сторону.
квадратные корни Сравнить числа пример сравнения иррациональных чисел
Поскольку
пример сравнения иррациональных чисел, то пример сравнения иррациональных чисел;   
поскольку пример сравнения иррациональных чисел, то пример сравнения иррациональных чисел.
Таким образом,
пример сравнения иррациональных чисел,
и, значит, пример сравнения иррациональных чисел.
квадратные корни Сравнить числа пример сравнения иррациональных чисел
Здесь всё немного сложнее.
Пусть пример сравнения иррациональных чисел.
Раз пример сравнения иррациональных чисел,   то пример сравнения иррациональных чисел;   
а раз пример сравнения иррациональных чисел,   то и пример сравнения иррациональных чисел.
Как видим, оба наших числа принадлежат одному промежутку пример сравнения иррациональных чисел, и такие грубые оценки ничего не дают.
Попробуем заключить числа в более тесные границы.
пример сравнения иррациональных чисел
пример сравнения иррациональных чисел
Теперь, поскольку пример сравнения иррациональных чисел, то пример сравнения иррациональных чисел.
вход для учеников
логин:

пароль:

запомнить меня

изменить логин/пароль