Математика, подобно жернову, перемалывает то,
что под него засыпают, и как, засыпав лебеду,
вы не получите пшеничной муки, так,
исписав целые страницы формулами,
вы не получите истины из ложных предпосылок.

Томас Гексли

логин: пароль:

запомнить меня

изменить логин/пароль

логин: пароль:

запомнить меня

изменить login/pass

главная видеоуроки решаем ! тесты библиотека репетитор контакты ученикам

уроки → подготовка к ОГЭ → квадратные корни

Определение.

Пусть a - неотрицательное число, то есть .
Квадратным корнем из a называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен a.
Обозначается это число символом . Таким образом, если , то Например, , поскольку
Если квадратный корень из числа a является рациональным числом (то есть целым или отношением целых чисел),
то говорят, что «корень из a извлекается». Например, извлекается и равен  4, то есть .
Или тоже извлекается и равен , то есть . Здесь число рационально, т.к. равно отношению целых чисел. Но имеются числа, корень из которых не является числом рациональным. Например, числа не будут рациональными. Такие числа называются иррациональными. Выпишу некоторые свойства квадратных корней.

Свойства квадратных корней.

И ещё раз отмечу, что согласно определению, .

Вынесение из-под корня.

В этом случае мы говорим, что вынесли  4  из-под корня. Или, Здесь мы вынесли  9  из-под корня.
Можно, наоборот, вносить множитель под корень: или . Вынесение и внесение под корень надо делать уверенно и быстро, но главное, конечно, правильно.
И если это пока затруднительно, советую потренироваться.
Удостоверьтесь для себя, что и так далее. Задания для тренировки можно придумывать и самостоятельно. Рассмотрим ещё примеры. Последний результат можно записать и по-другому: Поскольку в скобках особо не упростишь, - раскрываем скобки.

Исключение иррациональности из знаменателя.

Напомню основное свойство дроби: , благодаря которому мы можем умножить числитель и знаменатель дроби на одно и то же число. Например, .    Здесь мы домножили числитель и знаменатель дроби на , и в знаменателе пропал корень. Правда, он появился в числителе, но это обычно лучше. Например, ещё В этом случае дробь вообще исчезла, что, конечно, удобно для дальнейших преобразований.
Рассмотрим ещё несколько примеров.

Упрощение иррациональных выражений.

Напомню три формулы сокращённого умножения, которые нам здесь пригодятся. квадрат суммы
квадрат разности
разность квадратов Заметим, что числитель первой дроби есть полный квадрат: Тогда Иногда при действиях с корнями удобно выполнять замену на другую букву. Пусть , тогда и , теперь: Обратная замена даже не требуется. Сократить дробь Чтобы сократить дробь, нужно разложить её числитель и знаменатель на множители. Сократить дробь Упростить Здесь весь фокус в том, чтобы обнаружить под корнем полный квадрат, то есть квадрат суммы или квадрат разности . полный квадрат имеется, и не забываем ещё, что Тогда у нас получится: .
Чтобы «раскрыть» модуль, нужно определить знак числа . Поскольку , то , и поэтому . Доказать, что Поскольку оба числа: и положительны, то достаточно проверить равенство их квадратов. и
поэтому Упростить Поскольку , то и поскольку , то . Значит, первый модуль «раскрываем» с минусом, а второй – с плюсом: Упростить Попробуем сделать замену: , тогда . Теперь получим: Здесь мы использовали, что , поэтому, тем более , и значит . Вычислить Используем здесь свойство степеней: Сначала возведём в квадрат:
Теперь уже не составит труда возвести число 6 в четвёртую степень:

Сравнение иррациональных чисел.

Допустим, нужно сравнить два числа: a и b.   Применим такой принцип. Предположим, что . Будем выполнять с этим неравенством равносильные преобразования, а именно: - переносить слагаемые из одной части неравенства в другую с изменением знака слагаемого; - умножать или делить обе части неравенства на положительное число с сохранением знака неравенства; - умножать или делить обе части неравенства на отрицательное число с изменением знака неравенства; - возводить обе части неравенства в квадрат, если они неотрицательны. Если в результате наших преобразований мы получим верное неравенство, значит наше предположение было верным, то есть, действительно , а если получим неверное неравенство, - значит, на самом деле, . Сравнить числа Так как полученное неравенство – неверное, то и неверное, то есть, на самом деле Сравнить числа Так как полученное неравенство – верное, то и неравенство верно. Для сравнения чисел можно выяснить знак разности этих чисел: если , то ,   если же , то . Сравнить числа Пусть . Составим разность и определим её знак. Поскольку числители равны и, очевидно, знаменатель первой дроби больше знаменателя второй дроби, - значит, первая дробь меньше, то есть , и . Замечу, что первым способом сравнить было бы проще. Иногда бывает достаточно проанализировать числа, участвующие в сравнении. Сравнить числа Разность этих чисел как сумма положительных чисел. Значит, . Иногда нужно сравнивать оба числа с каким-то третьим, «пограничным», числом, которое должно располагаться между данными числами.
При этом, правда, нужно заранее «почувствовать», какое из них больше, а какое – меньше, и оценивать в нужную сторону. Сравнить числа Поскольку , то ;    поскольку , то . Таким образом, , и, значит, . Сравнить числа Здесь всё немного сложнее. Пусть . Раз ,   то ;    а раз ,   то и . Как видим, оба наших числа принадлежат одному промежутку , и такие грубые оценки ничего не дают. Попробуем заключить числа в более тесные границы. Теперь, поскольку , то .