↑

Уравнения, сводящиеся к квадратным без использования замен.

Вступление

Помимо разбираемых здесь, есть уравнения других типов, которые тоже сводятся к квадратным тем или иным способом.
Подробнее о них рассказано на этой страничке.
При появлении вопросов посмотрите полезные ссылки.

Во всех примерах я использую общепринятую математическую символику.
Это символы конъюнкции $\land$ , дизъюнкции $\lor$ , значки системы ${$ и совокупности $[$ . Подробнее об этом смотрите здесь.

Свойства, которые будем использовать

Свойство 1.

У нас будут появляться дробно-рациональные уравнения. На одно из их свойств я хочу обратить внимание.
При умножении обеих частей уравнения на число, не равное нулю, мы получаем уравнение, равносильное исходному.
Попросту говоря - при умножении уравнения на число, не равное нулю, мы не потеряем решений и не приобретём посторонних.
Равняться же нулю это число не будет благодаря условиям, записанным в ОДЗ.

Свойство 2.

$a \cdot b = 0 \Leftrightarrow a = 0 \lor b = 0$
Произведение равно нулю, только если один из множителей равен нулю.

Свойство 3.

$a^{2} = b^{2} \Leftrightarrow a = b \lor a = - b$
Квадраты чисел равны, только если сами эти числа равны или если они противоположны.

Свойство 4.

${(a - b)}^{2} = {(b - a)}^{2}$
Квадраты противоположных чисел равны.

Свойство 5.

$f \cdot g = f \cdot h \Leftrightarrow f = 0 \lor g = h$
Это свойство очень помогает в некоторых уравнениях. В примерах ниже вы это увидите. Давайте я его поясню.

f \cdot g = f \cdot h \Leftrightarrow f \cdot g - f \cdot h = 0 \Leftrightarrow f \cdot (g - h) = 0 \Leftrightarrow f = 0 \lor g = h

Свойство 6.

$| a | = | b | \Leftrightarrow a = b \lor a = - b$
Модули чисел равны, только если эти числа равны или противоположны.

Примеры

Вспомогательные записи, типа ОДЗ, замен, каких-то пояснений, я буду выполнять на сером фоне.
В стороне от основного повествования.

Пример 1.

$\frac{x - 3}{x + 3} = \frac{4 (x + 3)}{x - 3}$

ОДЗ: $x \neq - 3 \land x \neq 3$

воспользуемся свойством 1 и домножим обе части уравнения на $(x - 3) (x + 3) \neq 0$ , согласно ОДЗ

${(x - 3)}^{2} = 4 {(x + 3)}^{2}$
${(x - 3)}^{2} = {(2 (x + 3))}^{2}$

применим свойство 3

x - 3 = 2 (x + 3) \lor x - 3 = - 2 (x + 3)

$x = - 9 \lor x = - 1$

Проверка:
подставим найденные числа в исходное уравнение
при $x = - 9$ $\frac{- 12}{- 6} = \frac{4 \cdot (- 6)}{- 12} \Leftrightarrow 2 = 2$ верно, при $x = - 1$ $\frac{- 4}{2} = \frac{4 \cdot 2}{- 4} \Leftrightarrow - 2 = - 2$ верно при $x = - 9$ $\frac{- 12}{- 6} = \frac{4 \cdot (- 6)}{- 12} \Leftrightarrow 2 = 2$ верно
при $x = - 1$ $\frac{- 4}{2} = \frac{4 \cdot 2}{- 4} \Leftrightarrow - 2 = - 2$ верно при $x = - 9$
$\frac{- 12}{- 6} = \frac{4 \cdot (- 6)}{- 12} \Leftrightarrow 2 = 2$
при $x = - 1$
$\frac{- 4}{2} = \frac{4 \cdot 2}{- 4} \Leftrightarrow - 2 = - 2$
оба равенства верные

Ответ: ${- 9; - 1}$

Пример 2.

$\frac{x + 3}{4 x^{2} - 9} - \frac{3 - x}{4 x^{2} + 12 x + 9} = \frac{2}{2 x - 3}$

перед нахождением ОДЗ выгодно разложить знаменатели на множители

\frac{x + 3}{(2 x - 3) (2 x + 3)} - \frac{3 - x}{{(2 x + 3)}^{2}} = \frac{2}{2 x - 3}

теперь понятна ОДЗ: $x \neq \frac{3}{2} \land x \neq - \frac{3}{2}$

свойство 1: домножаем обе части уравнения на общий знаменатель $(2 x - 3) {(2 x + 3)}^{2}$

(x + 3) (2 x + 3) - (3 - x) (2 x - 3) = 2 {(2 x + 3)}^{2}

2 x^{2} + 9 x + 9 + 2 x^{2} - 9 x + 9 = 8 x^{2} + 24 x + 18

$4 x^{2} + 24 x = 0$
$4 x (x + 6) = 0$

свойство 2

$x = 0 \lor x = - 6$

Ответ: ${- 6; 0}$

Пример 3.

$\frac{x - 2}{x^{2}} = 2 x - x^{2}$

ОДЗ: $x \neq 0$

Если уравнение домножить на $x^{2}$ , чтобы избавиться от дроби, мы получим уравнение четвёртой степени. Нам это не нужно.
А если посмотреть внимательно, видно, что и слева и справа есть множитель $x - 2$ . Воспользуемся этим.

$\frac{x - 2}{x^{2}} = - x (x - 2)$

далее работает свойство 5

$x - 2 = 0 \lor \frac{1}{x^{2}} = - x$
$x = 2 \lor x^{3} = - 1$
$x = 2 \lor x = - 1$

Ответ: ${- 1; 2}$

Пример 4.

$3 x - x^{2} = \frac{{(x^{2} - 3 x)}^{2}}{2}$

Выражения слева и справа в скобках отличаются знаком.
Можно слева вынести минус, но я воспользуюсь справа свойством квадрата.

$3 x - x^{2} = \frac{{(3 x - x^{2})}^{2}}{2}$

теперь применяем свойство 5

$3 x - x^{2} = 0 \lor \frac{3 x - x^{2}}{2} = 1$
$x (3 - x) = 0 \lor x^{2} - 3 x + 2 = 0$

x = 0 \lor x = 3 \lor x = 1 \lor x = 2

Ответ: ${0; 1; 2; 3}$

Пример 5.

$| 3 x^{2} - 3 x + 5 | = | 2 x^{2} + 6 x - 3 |$

сразу воспользуемся свойством 6

3 x^{2} - 3 x + 5 = 2 x^{2} + 6 x - 3 \lor 3 x^{2} - 3 x + 5 = - (2 x^{2} + 6 x - 3)

x^{2} - 9 x + 8 = 0 \lor 5 x^{2} + 3 x + 2 = 0

в первом подбираем корни по теореме Виета
во втором дискриминант $D < 0$ , и оно решений не имеет

$x = 1 \lor x = 8 \lor x \in \emptyset$

Ответ: ${1; 8}$

Пример 6.

${(x^{2} - 5 x + 6)}^{2} + 3 | x - 3 | = 0$

Несмотря на кажущуюся сложность этого задания, в нём надо заметить что-то необычное.
Сумма двух слагаемых должна быть равна нулю.
Но что представляют собой эти слагаемые? Что про них можно сказать?
Оба они - неотрицательные числа. И, значит, когда их сумма обратиться в ноль?
Правильно, только если оба они равны нулю!

$x^{2} - 5 x + 6 = 0 \land 3 | x - 3 | = 0$

Обратите внимание - здесь я использую символ $\land$ , конъюнкцию или пересечение множеств, в отличие от дизъюнкции $\lor$ , которая обычно встречалась нам в уравнениях.
Подробнее об этих символах смотрите на этой страничке.

$(x = 2 \lor x = 3) \land x = 3$
$x = 3$

Ответ: ${3}$

Пример 7.

$| x - 2 | x^{2} = 10 - 5 x$

Поскольку правая часть уравнения должна быть равна левой, а левая часть всегда неотрицательна, то получаем дополнительное условие $10 - 5 x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 2$ (*), которое чем-то напоминает ОДЗ.
На основании этого требования модуль слева раскрываем со знаком минус.

$(2 - x) x^{2} = 10 - 5 x$
$(2 - x) x^{2} = 5 (2 - x)$

теперь по свойству 5

$2 - x = 0 \lor x^{2} = 5$
$x = 2 \lor x = \pm \sqrt{5}$

$\sqrt{5}$ не удовлетворяет условию (*)

Ответ: ${- \sqrt{5}; 2}$

Видеоурок

Уравнения, сводящиеся к квадратным без замен

Полезные ссылки

Задания для самостоятельного решения

Ниже приводятся задания для самопроверки.
Они похожи на разобранные примеры и не должны вызвать у вас проблем.
Для всех заданий есть ответы.
Проверяйте все выполняемые действия. Контроль своих шагов при решении - важная штука.

1.	$\frac{2 x + 5}{x - 2} = \frac{9 x - 18}{8 x + 20}$	ответ	${- 16; - \frac{4}{7}}$
2.	$\frac{2 x + 5}{x + 5} + \frac{3 x + 4}{x + 2} = 1$	ответ	${- 4; - \frac{5}{4}}$
3.	$\frac{1 - 2 x}{6 x^{2} + 3 x} + \frac{2 x + 1}{14 x^{2} - 7 x} = \frac{8}{12 x^{2} - 3}$	ответ	$\emptyset$
4.	$\| 3 x^{2} - 6 x - 1 \| = 2 \| 3 - x \|$	ответ	${\frac{2 \pm \sqrt{7}}{3}; 1; \frac{5}{3}}$
5.	$\frac{x^{2} - 2 x - 3}{x^{2}} = 2 x - 6$	ответ	${- \frac{1}{2}; 1; 3}$

1.	$\frac{2 x + 5}{x - 2} = \frac{9 x - 18}{8 x + 20}$
ответ	${- 16; - \frac{4}{7}}$
2.	$\frac{2 x + 5}{x + 5} + \frac{3 x + 4}{x + 2} = 1$
ответ	${- 4; - \frac{5}{4}}$
3.	$\frac{1 - 2 x}{6 x^{2} + 3 x} + \frac{2 x + 1}{14 x^{2} - 7 x} = \frac{8}{12 x^{2} - 3}$
ответ	$\emptyset$
4.	$\| 3 x^{2} - 6 x - 1 \| = 2 \| 3 - x \|$
ответ	${\frac{2 \pm \sqrt{7}}{3}; 1; \frac{5}{3}}$
5.	$\frac{x^{2} - 2 x - 3}{x^{2}} = 2 x - 6$
ответ	${- \frac{1}{2}; 1; 3}$

Если у вас возникли сложности

Если эта тема кажется сложной, вы можете позаниматься с репетитором онлайн и разобрать уравнения, которые сводятся к квадратным без использования замен.