↑

Сводящиеся к квадратным иррациональные уравнения.

Вступление

Помимо некоторых иррациональных есть уравнения других типов, которые сводятся к квадратным уравнениям тем или иным способом.
Подробнее о них рассказано здесь.

Иррациональные уравнения – довольно объёмная тема. Существует много разных приёмов для их решения.
Обычно возводят один или несколько раз уравнение в квадрат или другую степень, уединяя перед этим радикалы.
А чтобы преобразования были равносильными, пишут некие дополнительные условия. И это не быстрый процесс.
Но есть некоторые типы иррациональных уравнений, которые после замены превращаются в квадратные уравнения. С которыми уже проблем нет.
Именно такие уравнения мы здесь и разберём.
При появлении вопросов вам могут помочь полезные ссылки.

Во всех уроках я использую известную математическую символику.
Это символы конъюнкции $\land$ , дизъюнкции $\lor$ , значки системы ${$ и совокупности $[$ . Подробнее об этом смотрите здесь.

Замены в иррациональных уравнениях

Хорошим правилом является запись всех вспомогательных вещей - ОДЗ, замены, пояснений - в стороне от основного течения.
Я буду делать это на сером фоне.

Несколько слов про ОДЗ.

Иногда область допустимых значений уравнения, ОДЗ, можно с самого начала не записывать, а необходимые условия фиксировать в процессе решения. Главное, чтобы переходы от одного уравнения к другому были равносильными.
Как это происходит, подробно показано в первом примере.

Пример 1.

$\sqrt{x} + 2 = x$

замена: $\sqrt{x} = t$ , тогда $x = t^{2}$

$t + 2 = t^{2}$
$t^{2} - t - 2 = 0$

Мы могли в самом начале решения записать ОДЗ: $x \geq 0$ , но сейчас, в полученном уравнении, это требование содержится в самой букве $t$ .
Выходит, что мы, как бы, тянем с собой условие $x \geq 0$ , и оно присутствует в каждом уравнении внутри буквы $t$ .

$t = 2 \lor t = - 1$

корни подобрали по теореме Виета

$\sqrt{x} = 2 \lor \sqrt{x} = - 1$

второе уравнение не имеет решений

$\sqrt{x} = 2$
$x = 4$

Мы вернулись к букве $x$ , и, как видите, условие $x \geq 0$ выполняется автоматически.

Ответ: ${4}$

Пример 2.

$\frac{8}{\sqrt{10 - 2 x}} - \sqrt{10 - 2 x} = 2$

понятная замена: $\sqrt{10 - 2 x} = t$

$\frac{8}{t} - t = 2$

Обратите внимание - ограничение для подкоренного выражения, которое обычно пишут в ОДЗ, а именно $10 - 2 x \geq 0$ - содержится в новом уравнении в самой букве $t$ .
Записываем требование $t \neq 0$ (*) и домножаем обе части уравнения на $t$ .

$t^{2} + 2 t - 8 = 0$

корни $- 4$ и $2$ подбираем по теореме Виета

$t = - 4 \lor t = 2$

условие (*) выполняется

$\sqrt{10 - 2 x} = - 4 \lor \sqrt{10 - 2 x} = 2$
$x \in \emptyset \lor 10 - 2 x = 4$
$x = 3$

Ответ: ${3}$

Пример 3.

пример 3: уравнение $\sqrt{\frac{2 x + 1}{x - 1}} - 2 \sqrt{\frac{x - 1}{2 x + 1}} = 1$

замена: пример 3: замена $\sqrt{\frac{2 x + 1}{x - 1}} = t$ Поскольку мы пока не изменяли уравнение и замену делаем на первом шаге, то все ограничения для ОДЗ содержатся в уравнении ниже.

$t - \frac{2}{t} = 1$

домножаем обе части уравнения на $t$ при условии $t \neq 0$ (*)

$t^{2} - t - 2 = 0$

корни $2$ и $- 1$ подбираем по теореме Виета

$t = 2 \lor t = - 1$

условие (*) для этих чисел выполняется

пример 3: совокупность решений $\sqrt{\frac{2 x + 1}{x - 1}} = 2 \lor \sqrt{\frac{2 x + 1}{x - 1}} = - 1$
$\frac{2 x + 1}{x - 1} = 4 \lor x \in \emptyset$
$\frac{2 x + 1}{x - 1} = 4$

домножаем обе части уравнения на $x - 1$ при условии $x \neq 1$ (**)

$2 x + 1 = 4 x - 4$
$x = \frac{5}{2}$

условие (**) выполнено

Ответ: ${\frac{5}{2}}$

Пример 4.

$\frac{x - 4}{\sqrt{x} + 2} = x - 8$

ОДЗ: $x \geq 0$
замена: $\sqrt{x} = t$ , тогда $x = t^{2}$

$\frac{t^{2} - 4}{t + 2} = t^{2} - 8$

В числителе применим формулу разности квадратов: $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$

$\frac{(t - 2) (t + 2)}{t + 2} = t^{2} - 8$
$t - 2 = t^{2} - 8$
$t^{2} - t - 6 = 0$

корни $3$ и $- 2$ подбираем по теореме Виета

$t = 3 \lor t = - 2$
$\sqrt{x} = 3 \lor \sqrt{x} = - 2$
$x = 9 \lor x \in \emptyset$

Ответ: ${9}$

Пример 5.

$3 x - \sqrt{18 x + 1} + 1 = 0$

Сделаем первое слагаемое таким же, как подкоренное выражение.
Домножим обе части уравнения на $6$ .

$18 x - 6 \sqrt{18 x + 1} + 6 = 0$
$18 x + 1 - 6 \sqrt{18 x + 1} + 5 = 0$

замена: $\sqrt{18 x + 1} = t$

$t^{2} - 6 t + 5 = 0$
$t = 5 \lor t = 1$
$\sqrt{18 x + 1} = 5 \lor \sqrt{18 x + 1} = 1$
$18 x + 1 = 25 \lor 18 x + 1 = 1$
$x = \frac{4}{3} \lor x = 0$

Ответ: ${0; \frac{4}{3}}$

Пример 6.

$x^{2} + 3 x - 2 = \sqrt{2 x^{2} + 6 x + 44}$

мы видим, что левая часть уравнения похожа на подкоренное выражение, домножим обе части на $2$

$2 x^{2} + 6 x - 4 = 2 \sqrt{2 x^{2} + 6 x + 44}$

и прибавим к обеим частям $48$

$2 x^{2} + 6 x + 44 = 2 \sqrt{2 x^{2} + 6 x + 44} + 48$

замена: $\sqrt{2 x^{2} + 6 x + 44} = t$

$t^{2} = 2 t + 48$
$t^{2} - 2 t - 48 = 0$

корни $8$ и $- 6$ подбираем по теореме Виета

$t = 8 \lor t = - 6$

\sqrt{2 x^{2} + 6 x + 44} = 8 \lor \sqrt{2 x^{2} + 6 x + 44} = - 6

$2 x^{2} + 6 x + 44 = 64 \lor x \in \emptyset$
$x^{2} + 3 x - 10 = 0$
$x = - 5 \lor x = 2$

Ответ: ${- 5; 2}$

Видеоурок

Замены в иррациональных уравнениях

Полезные ссылки

Задания для самостоятельного решения

Предлагаю вам решить несколько заданий самостоятельно, чтобы проверить понимание темы.
Они очень похожи на разобранные примеры и не должны вызвать проблем.
Для каждого задания имеется ответ.
Проверяйте все свои действия. Умение себя контролировать в процессе решения достигается практикой.

1.	$\sqrt{2 - x} + \frac{4}{\sqrt{2 - x} + 3} = 2$	ответ	${1}$
2.	$\sqrt{\frac{3 - x}{2 + x}} + 3 \sqrt{\frac{2 + x}{3 - x}} = 4$	ответ	${- \frac{3}{4}; \frac{1}{2}}$
3.	$x - \sqrt{x + 1} = 5$	ответ	${8}$
4.	$1 - \sqrt{1 + 5 x} = x$	ответ	${0}$
5.	$2 x^{2} + \sqrt{2 x^{2} - 4 x + 12} = 4 x + 8$	ответ	${1 \pm \sqrt{3}}$

1.	$\sqrt{2 - x} + \frac{4}{\sqrt{2 - x} + 3} = 2$
ответ	${1}$
2.	$\sqrt{\frac{3 - x}{2 + x}} + 3 \sqrt{\frac{2 + x}{3 - x}} = 4$
ответ	${- \frac{3}{4}; \frac{1}{2}}$
3.	$x - \sqrt{x + 1} = 5$
ответ	${8}$
4.	$1 - \sqrt{1 + 5 x} = x$
ответ	${0}$
5.	$2 x^{2} + \sqrt{2 x^{2} - 4 x + 12} = 4 x + 8$
ответ	${1 \pm \sqrt{3}}$

Если у вас возникли сложности

Если эта тема кажется сложной, вы можете позаниматься с репетитором онлайн и разобрать виды иррациональных уравнений, которые сводятся к квадратным.