Урок для подготовки к ОГЭ по математике. Обыкновенные и десятичные дроби. Вычисления.
Речь пойдёт об арифметических действиях с рациональными числами, то есть с числами, которые являются целыми:
и числами, которые можно представить в виде отношения целых:
.
Перед освоением этой темы рекомендуется повторить действия с обыкновенными и десятичными дробями и действия с отрицательными числами.
Неплохо было бы помнить основное свойство дроби:
.
Когда мы вычитаем смешанную дробь, мы должны вычесть и целую часть и дробную часть.
Обычно целые части складывают или вычитают сразу, а затем занимаются дробными.
Здесь нам не удастся вычесть из
,
поэтому «займём» одну целую из
и представим её, как
:
При умножении и делении нужно переводить смешанные дроби к неправильным дробям.
если требуется выделить целую часть, то
.
Поскольку дробь
делится, - приводим её к неправильному виду.
В скобках – вычитание, поэтому там оставляем смешанные дроби.
Здесь нам придётся занять из две целых:
, тогда
в обыкновенную.
,
мы сократили дробь:
Далее, если нам будет нужно, то мы переведём и в неправильную дробь:
.
Этот процесс можно выполнить и по-другому:
.
Нужно уметь пользоваться обоими способами, поскольку иногда удобнее один, иногда – другой.
в обыкновенную.
выполняется быстрее, чем
.
Очень быстро переводить в обыкновенные дроби «половинки», то есть числа вида
и так далее.
в обыкновенную.
- это половина от
,
а половина от
есть
,
то есть
.
И всё !
в обыкновенную.
,
поскольку
есть половина от
.
в обыкновенную.
,
как половина от
.
в десятичную.
в десятичную.
в десятичную.
Правда, обычно это делают несколько быстрее.
Поскольку эти дроби встречаются чаще всего, нужно запомнить, что
.
Тогда
.
в десятичную.
.
Нужно либо
перевести в обыкновенную дробь, либо
- в десятичную. Сделаем для сравнения и так и так.
или
Когда дробь невозможно перевести в десятичную, приходится работать только с обыкновенными дробями.
.
Дробь
нельзя представить в виде десятичной, поэтому
.
Ни
, ни
невозможно перевести в десятичные дроби, поэтому
превращаем в обыкновенную:
.
Здесь перейдём к десятичным дробям:
.
Первый способ:
Второй способ:
Здесь мы домножили и числитель и знаменатель на
,
используя основное свойство дроби.
Не правда ли, вторым способом получилось намного короче? Обычно, хотя и не всегда, так и происходит.
или по-другому:
,
правда для этого нужно помнить, что
и что
.
.
Чтобы избавиться от запятых, домножим числитель и знаменатель на
:
Конечно, можно сокращать и не передвигая запятые, но без них как-то комфортнее. Дальше для удобства будем выделять сокращаемые числа одним цветом.
.
В числителе нужно сдвинуть запятые суммарно на пять разрядов вправо, в знаменателе – на три разряда.
Поэтому домножаем числитель и знаменатель на
:
.
Теперь и в дальнейшем не станем уже так подробно, как выше, записывать сколько-то десяток в числитель и знаменатель.
Будем внимательно следить, на сколько разрядов сдвигаем запятые, и, где нужно, дописывать десятки.
домножим числитель и знаменатель первой дроби на 4
.
В знаменателе дроби вынесем число
за скобку.
Тому, кто понял все разобранные примеры, не составит труда решить какой-нибудь номер из ОГЭ. Но всё же разберём некоторые из типичных заданий.
Таким образом, отрицательны значения в 2) и 3) .
поэтому,
.
?
не переводится в конечную десятичную, будем делить 2 на 9 в столбик:
Теперь ясно, что
больше, чем
,
но меньше, чем
,
то есть лежит во
промежутке.
?
и
.
В первом случае в квадрат возводится число
,
то есть
,
а во втором - только число
,
к знаку «минус» квадрат не относится:
.
Таким же образом,
и
.
Значит, в ответ пойдёт только номер
.
.
,
поэтому
.
и числами, которые можно представить в виде отношения целых:
.Перед освоением этой темы рекомендуется повторить действия с обыкновенными и десятичными дробями и действия с отрицательными числами.
Неплохо было бы помнить основное свойство дроби:
.
Действия с обыкновенными дробями.
Пример 1.
Пример 2.
Пример 3.
Пример 4.
Когда мы вычитаем смешанную дробь, мы должны вычесть и целую часть и дробную часть.
Пример 5.
Пример 6.
Пример 7.
Пример 8.
Пример 9.
Обычно целые части складывают или вычитают сразу, а затем занимаются дробными.
Пример 10.
Здесь нам не удастся вычесть из
,
поэтому «займём» одну целую из
и представим её, как
:
Пример 11.
Пример 12.
При умножении и делении нужно переводить смешанные дроби к неправильным дробям.
Пример 13.
Пример 14.
если требуется выделить целую часть, то
Пример 15.
Вычислить.Поскольку дробь
делится, - приводим её к неправильному виду.В скобках – вычитание, поэтому там оставляем смешанные дроби.
Пример 16.
Здесь нам придётся занять из
две целых:
, тогда
Перевод десятичных дробей в обыкновенные и обыкновенных в десятичные.
Пример 1.
Перевести десятичную дробь
в обыкновенную.,
мы сократили дробь:
Далее, если нам будет нужно, то мы переведём и в неправильную дробь:
.Этот процесс можно выполнить и по-другому:
.Нужно уметь пользоваться обоими способами, поскольку иногда удобнее один, иногда – другой.
Пример 2.
Перевести десятичную дробь
в обыкновенную.
выполняется быстрее, чем
.
Очень быстро переводить в обыкновенные дроби «половинки», то есть числа вида
и так далее.
Пример 3.
Перевести десятичную дробь
в обыкновенную.
- это половина от
,
а половина от
есть
,
то есть
.
И всё !
Пример 4.
Перевести десятичную дробь
в обыкновенную.,
поскольку
есть половина от
.
Пример 5.
Перевести десятичную дробь
в обыкновенную.,
как половина от
.
Пример 6.
Перевести обыкновенную дробь
в десятичную.
Пример 7.
Перевести обыкновенную дробь
в десятичную.
Пример 8.
Перевести обыкновенную дробь
в десятичную.Правда, обычно это делают несколько быстрее.
Поскольку эти дроби встречаются чаще всего, нужно запомнить, что
.
Тогда
.
Пример 9.
Перевести обыкновенную дробь
в десятичную.
Пример 10.
Выполнить действия.Нужно либо
перевести в обыкновенную дробь, либо
- в десятичную. Сделаем для сравнения и так и так.
или
Когда дробь невозможно перевести в десятичную, приходится работать только с обыкновенными дробями.
Пример 11.
Выполнить действия.Дробь
нельзя представить в виде десятичной, поэтому
Пример 12.
Выполнить действия.Ни
, ни
невозможно перевести в десятичные дроби, поэтому
превращаем в обыкновенную:
Пример 13.
Выполнить действия.Здесь перейдём к десятичным дробям:
Совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями.
Пример 1.
Выполнить действия.Первый способ:
Второй способ:
Здесь мы домножили и числитель и знаменатель на
,
используя основное свойство дроби.Не правда ли, вторым способом получилось намного короче? Обычно, хотя и не всегда, так и происходит.
Пример 2.
Пример 3.
или по-другому:
,
правда для этого нужно помнить, что
и что
.
Пример 4.
Вычислить.
Чтобы избавиться от запятых, домножим числитель и знаменатель на
:Конечно, можно сокращать и не передвигая запятые, но без них как-то комфортнее. Дальше для удобства будем выделять сокращаемые числа одним цветом.
Пример 5.
Вычислить.
В числителе нужно сдвинуть запятые суммарно на пять разрядов вправо, в знаменателе – на три разряда.
Поэтому домножаем числитель и знаменатель на
:
Пример 6.
Вычислить.
Теперь и в дальнейшем не станем уже так подробно, как выше, записывать сколько-то десяток в числитель и знаменатель.
Будем внимательно следить, на сколько разрядов сдвигаем запятые, и, где нужно, дописывать десятки.
Пример 7.
Пример 8.
Пример 9.
Пример 10.
Пример 11.
Пример 12.
домножим числитель и знаменатель первой дроби на 4
Пример 13.
Вычислить.
В знаменателе дроби вынесем число
за скобку.
Тому, кто понял все разобранные примеры, не составит труда решить какой-нибудь номер из ОГЭ. Но всё же разберём некоторые из типичных заданий.
Разбор некоторых заданий ОГЭ.
Пример 1.
Найдите выражения, значения которых отрицательны:
Решение:
Таким образом, отрицательны значения в 2) и 3) .
Пример 2.
Расположите в порядке возрастания числа:
Решение:
поэтому,
.
Пример 3.
Какому из промежутков принадлежит число?
Решение:
Поскольку дробь
не переводится в конечную десятичную, будем делить 2 на 9 в столбик:
Теперь ясно, что
больше, чем
,
но меньше, чем
,
то есть лежит во
промежутке.
Пример 4.
Найти значение выражения:
Решение:
Пример 5.
Какому из выражений равно произведение?
Решение:
Пример 6.
Найдите номера выражений, значение которых равно нулю:
Решение:
Нужно понимать разницу между, например,
и
.В первом случае в квадрат возводится число
,
то есть
,
а во втором - только число
,
к знаку «минус» квадрат не относится:
.
Таким же образом,
и
.
Значит, в ответ пойдёт только номер
.
Пример 7.
Сравнить числа.
Решение:
,
поэтому
.