изменить логин/пароль

Уу
кнопка элементов навигации

Урок для подготовки к ОГЭ по математике. Обыкновенные и десятичные дроби. Вычисления.

Речь пойдёт об арифметических действиях с рациональными числами,
то есть с числами, которые являются целыми: примеры целых чисел и числами,
которые можно представить в виде отношения целых: примеры рациональных чисел.
Перед освоением этой темы рекомендуется повторить действия с обыкновенными и десятичными дробями и действия с отрицательными числами.
Неплохо было бы помнить основное свойство дроби: основное свойство дроби.

Действия с обыкновенными дробями

Пример 1.

пример действий с обыкновенными дробями

Пример 2.

пример действий с обыкновенными дробями

Пример 3.

пример действий с обыкновенными дробями

Пример 4.

пример действий с обыкновенными дробями
Когда мы вычитаем смешанную дробь, мы должны вычесть и целую часть и дробную часть.

Пример 5.

пример действий с обыкновенными дробями пример действий с обыкновенными дробями пример действий с обыкновенными дробями

Пример 6.

пример действий с обыкновенными дробями пример действий с обыкновенными дробями пример действий с обыкновенными дробями

Пример 7.

пример действий с обыкновенными дробями пример действий с обыкновенными дробями пример действий с обыкновенными дробями

Пример 8.

пример действий с обыкновенными дробями пример действий с обыкновенными дробями пример действий с обыкновенными дробями

Пример 9.

пример действий с обыкновенными дробями пример действий с обыкновенными дробями пример действий с обыкновенными дробями
Обычно целые части складывают или вычитают сразу, а затем занимаются дробными.

Пример 10.

пример действий с обыкновенными дробями
Здесь нам не удастся вычесть из пример действий с обыкновенными дробями пример действий с обыкновенными дробями, поэтому «займём» одну целую из пример действий с обыкновенными дробями и представим её, как пример действий с обыкновенными дробями:
пример действий с обыкновенными дробями пример действий с обыкновенными дробями пример действий с обыкновенными дробями

Пример 11.

пример действий с обыкновенными дробями пример действий с обыкновенными дробями пример действий с обыкновенными дробями пример действий с обыкновенными дробями

Пример 12.

пример действий с обыкновенными дробями пример действий с обыкновенными дробями пример действий с обыкновенными дробями пример действий с обыкновенными дробями
При умножении и делении нужно переводить смешанные дроби к неправильным дробям.

Пример 13.

пример действий с обыкновенными дробями

Пример 14.

пример действий с обыкновенными дробями
если требуется выделить целую часть, то пример действий с обыкновенными дробями

Пример 15.

Вычислить пример действий с обыкновенными дробями.
Поскольку дробь пример действий с обыкновенными дробями делится, - приводим её к неправильному виду.
В скобках – вычитание, поэтому там оставляем смешанные дроби.
пример действий с обыкновенными дробями пример действий с обыкновенными дробями пример действий с обыкновенными дробями пример действий с обыкновенными дробями пример действий с обыкновенными дробями пример действий с обыкновенными дробями

Пример 16.

пример действий с обыкновенными дробями пример действий с обыкновенными дробями пример действий с обыкновенными дробями пример действий с обыкновенными дробями пример действий с обыкновенными дробями
Здесь нам придётся занять из пример действий с обыкновенными дробями две целых: пример действий с обыкновенными дробями, тогда пример действий с обыкновенными дробями пример действий с обыкновенными дробями пример действий с обыкновенными дробями

Перевод десятичных дробей в обыкновенные и обыкновенных в десятичные

Пример 1.

Перевести десятичную дробь пример перевода десятичной дроби в обыкновенную дробь в обыкновенную.
пример перевода десятичной дроби в обыкновенную дробь, мы сократили дробь: пример перевода десятичной дроби в обыкновенную дробь
Далее, если нам будет нужно, то мы переведём и в неправильную дробь: пример перевода десятичной дроби в обыкновенную дробь.
Этот процесс можно выполнить и по-другому: пример перевода десятичной дроби в обыкновенную дробь.
Нужно уметь пользоваться обоими способами, поскольку иногда удобнее один, иногда – другой.

Пример 2.

Перевести десятичную дробь пример перевода десятичной дроби в обыкновенную дробь в обыкновенную.
пример перевода десятичной дроби в обыкновенную дробь выполняется быстрее, чем
пример перевода десятичной дроби в обыкновенную дробь.
Очень быстро переводить в обыкновенные дроби «половинки», то есть числа вида пример перевода десятичной дроби в обыкновенную дробь и так далее.

Пример 3.

Перевести десятичную дробь пример перевода десятичной дроби в обыкновенную дробь в обыкновенную.
пример перевода десятичной дроби в обыкновенную дробь - это половина от пример перевода десятичной дроби в обыкновенную дробь, а половина от пример перевода десятичной дроби в обыкновенную дробь есть пример перевода десятичной дроби в обыкновенную дробь, то есть пример перевода десятичной дроби в обыкновенную дробь.   И всё !

Пример 4.

Перевести десятичную дробь пример перевода десятичной дроби в обыкновенную дробь в обыкновенную.
пример перевода десятичной дроби в обыкновенную дробь, поскольку пример перевода десятичной дроби в обыкновенную дробь есть половина от пример перевода десятичной дроби в обыкновенную дробь.

Пример 5.

Перевести десятичную дробь пример перевода десятичной дроби в обыкновенную дробь в обыкновенную.
пример перевода десятичной дроби в обыкновенную дробь, как половина от пример перевода десятичной дроби в обыкновенную дробь.

Пример 6.

Перевести обыкновенную дробь пример перевода обыкновенной дроби в десятичную дробь в десятичную.
пример перевода обыкновенной дроби в десятичную дробь

Пример 7.

Перевести обыкновенную дробь пример перевода обыкновенной дроби в десятичную дробь в десятичную.
пример перевода обыкновенной дроби в десятичную дробь

Пример 8.

Перевести обыкновенную дробь пример перевода обыкновенной дроби в десятичную дробь в десятичную.
пример перевода обыкновенной дроби в десятичную дробь пример перевода обыкновенной дроби в десятичную дробь
Правда, обычно это делают несколько быстрее.
Поскольку эти дроби встречаются чаще всего, нужно запомнить, что пример перевода обыкновенной дроби в десятичную дробь.   
Тогда пример перевода обыкновенной дроби в десятичную дробь.

Пример 9.

Перевести обыкновенную дробь пример перевода обыкновенной дроби в десятичную дробь в десятичную.
пример перевода обыкновенной дроби в десятичную дробь

Пример 10.

Выполнить действия пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями.
Нужно либо пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями перевести в обыкновенную дробь, либо пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями - в десятичную. Сделаем для сравнения и так и так.
пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями
или пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями
Когда дробь невозможно перевести в десятичную, приходится работать только с обыкновенными дробями.

Пример 11.

Выполнить действия пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями.
Дробь пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями нельзя представить в виде десятичной, поэтому
пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями

Пример 12.

Выполнить действия пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями.
Ни пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями, ни пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями невозможно перевести в десятичные дроби, поэтому пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями превращаем в обыкновенную:
пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями

Пример 13.

Выполнить действия пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями.
Здесь перейдём к десятичным дробям:
пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями

Совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями

Пример 1.

Выполнить действия пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями.
Первый способ:
пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями
Второй способ: пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями
Здесь мы домножили и числитель и знаменатель на пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями, используя основное свойство дроби.
Не правда ли, вторым способом получилось намного короче? Обычно, хотя и не всегда, так и происходит.

Пример 2.

пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями

Пример 3.

пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями или по-другому: пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями, правда для этого нужно помнить, что пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями и что пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями.

Пример 4.

Вычислить пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями.
Чтобы избавиться от запятых, домножим числитель и знаменатель на пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями:
пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями
Конечно, можно сокращать и не передвигая запятые, но без них как-то комфортнее.
Дальше для удобства будем выделять сокращаемые числа одним цветом.

Пример 5.

Вычислить пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями.
В числителе нужно сдвинуть запятые суммарно на пять разрядов вправо, в знаменателе – на три разряда.
Поэтому домножаем числитель и знаменатель на пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями:
пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями

Пример 6.

Вычислить пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями.
Теперь и в дальнейшем не станем уже так подробно, как выше, записывать сколько-то десяток в числитель и знаменатель.
Будем внимательно следить, на сколько разрядов сдвигаем запятые, и, где нужно, дописывать десятки.
пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями

Пример 7.

пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями

Пример 8.

пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями

Пример 9.

пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями

Пример 10.

пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями

Пример 11.

пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями

Пример 12.

пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями
домножим числитель и знаменатель первой дроби на 4
пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями

Пример 13.

Вычислить пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями
В знаменателе дроби вынесем число пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями за скобку.
пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями пример совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями
Тому, кто понял все разобранные примеры, не составит труда решить какой-нибудь номер из ОГЭ. Но всё же разберём некоторые из типичных заданий.

Разбор некоторых заданий ОГЭ

Пример 1.

Найдите выражения, значения которых отрицательны:
разбор задания из ОГЭ разбор задания из ОГЭ

Решение:

разбор задания из ОГЭ
разбор задания из ОГЭ
разбор задания из ОГЭ
разбор задания из ОГЭ
Таким образом, отрицательны значения в   2)   и   3) .

Пример 2.

Расположите в порядке возрастания числа: разбор задания из ОГЭ

Решение:

разбор задания из ОГЭ разбор задания из ОГЭ разбор задания из ОГЭ
разбор задания из ОГЭ
поэтому, разбор задания из ОГЭ.

Пример 3.

Какому из промежутков принадлежит число разбор задания из ОГЭ?
разбор задания из ОГЭ разбор задания из ОГЭ

Решение:

Поскольку дробь разбор задания из ОГЭ не переводится в конечную десятичную, будем делить   2   на   9   в столбик:
разбор задания из ОГЭ
Теперь ясно, что разбор задания из ОГЭ больше, чем разбор задания из ОГЭ, но меньше, чем разбор задания из ОГЭ, то есть лежит во разбор задания из ОГЭ промежутке.

Пример 4.

Найти значение выражения: разбор задания из ОГЭ

Решение:

разбор задания из ОГЭ разбор задания из ОГЭ разбор задания из ОГЭ

Пример 5.

Какому из выражений равно произведение разбор задания из ОГЭ?

Решение:

разбор задания из ОГЭ разбор задания из ОГЭ разбор задания из ОГЭ

Пример 6.

Найдите номера выражений, значение которых равно нулю:
разбор задания из ОГЭ разбор задания из ОГЭ

Решение:

Нужно понимать разницу между, например, разбор задания из ОГЭ и разбор задания из ОГЭ.
В первом случае в квадрат возводится число разбор задания из ОГЭ, то есть разбор задания из ОГЭ,
а во втором - только число разбор задания из ОГЭ, к знаку «минус» квадрат не относится: разбор задания из ОГЭ.
Таким же образом, разбор задания из ОГЭ и разбор задания из ОГЭ.
разбор задания из ОГЭ
разбор задания из ОГЭ
разбор задания из ОГЭ
разбор задания из ОГЭ
Значит, в ответ пойдёт только номер разбор задания из ОГЭ.

Пример 7.

Сравнить числа разбор задания из ОГЭ

Решение:

разбор задания из ОГЭ и разбор задания из ОГЭ
поэтому разбор задания из ОГЭ.