изменить логин/пароль
Разбор теста по всем темам 7 класса.
Цветом выделяются числа, с которыми будут выполняться действия. Обычно это сокращение дробей.Разбор заданий теста
Задание 1
Вычислить:
Задание 2
Найти значение выражения:
Задание 3
На рисунках указаны длины отрезков. Составить выражения для вычисления площадей фигур.
Решение:
a) Искомая площадь S равна разности площадей серого и розового прямоугольников.
,
тогда
б) Искомая площадь S равна сумме площадей верхнего и нижнего прямоугольников.
,
тогда
Задание 4
На стройке работало 5 бригад, по a человек в каждой, и 3 бригады, по b человек в каждой. Написать формулу числа c человек, работающих на стройке. Найти значение c при a = 25 и b = 32.Решение:
В 5 бригадах
человек, в 3 бригадах
человек, поэтому всего на стройке работает
человек.
При
человек.
Задание 5
Записать формулой частное от деления удвоенной суммы чисел c и d на их разность и найти её значение при
.
Решение:
сумма чисел c и d есть
удвоенная сумма чисел
c и d равна
разность чисел
c и d равна
поэтому, частное от деления удвоенной суммы на разность есть
При
Задание 6
Записать три последовательных числа, кратных 4, если большее из них равно
.
Решение:
большее число, кратное 4, равно
предыдущее число, кратное 4, на 4 меньше и, значит, равно
первое число ещё на 4 меньше и равно
Итак, искомые числа в порядке возрастания:
Задание 7
Три отряда сажали деревья. Первый отряд посадил a деревьев, второй - 80% того, что посадил первый, а третий – на 5 деревьев больше второго. Сколько деревьев посадили три отряда?Решение:
Второй отряд посадил 80% от a, то есть
деревьев. Третий отряд посадил на 5 деревьев больше второго, то есть
.
Значит, три отряда вместе посадили
деревьев.
Задание 8
a) Из формулы
выразить
.
Решение:
б) Из формулы
выразить
.
Решение:
в) Из формулы
выразить
.
Решение:
г) Из формулы
выразить
.
Решение:
д) Из формулы
выразить
.
Решение:
е) Из формулы
выразить
.
Решение:
Задание 9
Вычислить наиболее удобным способом:
Задание 10
Некоторый товар сначала подорожал на 10%, а потом подешевел на 10%. На сколько процентов изменилась цена этого товара?Решение:
Пусть сначала товар стоил x рублей. После подорожания на 10% он стал стоить
рублей.
После же того, как он подешевел на 10%, его стоимость будет равна
.
Итак, цена изменилась с x до
, то есть уменьшилась на 1%.
Задание 11
Привести подобные слагаемые:
Задание 12
Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые:
Задание 13
Упростить выражение и найти его числовое значение:
Задание 14
Решить уравнение:
Задание 15
При каком значении n сумма выражений
и
на 15 меньше значения выражения
?
Решение:
Сумма выражений равна
.
Поскольку она на 15 меньше, чем
, то
.
Решаем это уравнение:
Задание 16
Найти три последовательных чётных числа, сумма которых равна нулю.Решение:
Чётные числа задаются формулой
, где n - целое число.
Поскольку чётные числа идут через 2, то три последовательных чётных числа будут
.
Их сумма должна быть равна нулю, то есть
или
.
При
получаем следующие числа:
Итак, ответ:
.
Задание 17
Три бригады слесарей изготовили 1085 деталей, причём вторая бригада изготовила деталей в 2 раза больше, чем первая, а третья – на 70 деталей меньше, чем вторая. Сколько деталей изготовила каждая бригада отдельно?Решение:
Пусть x деталей изготовила первая бригада. Тогда вторая изготовила
деталей, а третья изготовила
деталей.
Всего изготовлено 1085 деталей, поэтому
Теперь
.
Итак, бригады изготовили: 231, 462 и 392 деталей.
Задание 18
Расстояние между двумя пристанями теплоход проходит за 2 ч 30 мин. Если скорость теплохода уменьшить на 6 км/ч, то на это же расстояние теплоход потратит 3 ч 15 мин. Найти скорость теплохода.Решение:
Пусть
- скорость теплохода, а
- расстояние между пристанями.
Скорость умножить на время есть расстояние, поэтому
.
С другой стороны, это же расстояние S теплоход проходит со скоростью
за время
, поэтому
.
Решаем уравнение:
Итак, скорость теплохода равна
.
Задание 19
Объём продукции увеличился в 10 раз. На сколько процентов произошло увеличение?Решение:
Обозначим за x объём продукции до увеличения, и
- после увеличения.
Составляем пропорцию:
, откуда
, поэтому увеличение произошло на
.
Задание 20
Вычислить:
Задание 21
Записать многочлен в стандартном виде:
Задание 22
Выполнить действия:
Задание 23
Решить уравнения:
Задание 24
Разложить на множители: В этих заданиях общий множитель - который выносится за скобки - помечен цветом.
Далее будут использоваться формулы сокращённого умножения:
разность квадратов
квадрат суммы
квадрат разности
Задание 25
Вычислить:
Задание 26
Решить уравнения:
Задание 27*
Здесь будут использоваться следующие формулы сокращённого умножения:
разность кубов
сумма кубов
Разложить на множители:
Задание 28
Для сокращения алгебраических дробей, так же, как и числовых, используем основное свойство дроби: при умножении числителя и знаменателя на одно и то же число, не равное нулю, получаем дробь, равную данной, то есть
при
.
Перед сокращением дроби нужно разложить её числитель и знаменатель на множители.
Сократить дробь:
Задание 29
Раскладываем знаменатели данных дробей на множители и находим многочлен, который делится на все эти знаменатели – то есть находим общий знаменатель. Используя основное свойство дроби при
,
приводим все дроби к общему знаменателю (дополнительный множитель a
обычно выделяется цветом) и выполняем их сложение (или вычитание) по правилу
.
Далее, в числителе полученной дроби раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые.
После этого пытаемся разложить числитель на множители и сократить дробь.
Выполнить действия:
Задание 30
Найти значение выражения. Сначала упрощаем выражение, а затем подставляем в него данное число.
при
Задание 31
Выполнить действия:
Задание 32
Дана функция
.
Найти
.
При каких x функция не имеет смысла?
Решение:
Функция не имеет смысла, когда знаменатель обращается в ноль, то есть при
.
Задание 33
На рисунке изображён график функции
, заданной на отрезке
.
Найти:
а) нули этой функции
б*) число решений уравнения
в зависимости от a
в) наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке
г) промежутки, на которых значения функции положительны и отрицательны
Решение:
а) Нули функции
– это значения x, при которых
, то есть абсциссы
x точек на графике, у которых ордината y равна 0.
Таких точек на графике ровно три:
,
они отмечены красным цветом.
Поэтому, нулями данной функции являются числа
.
б*) Чтобы решить уравнение
графически, нужно построить в одной системе координат графики
и найти их точки пересечения.
Уравнение
задаёт прямую, параллельную оси Ox и пересекающую ось Oy
в точке a.
На рисунке разными цветами показаны некоторые из этих прямых. Одни пересекаются с
в двух точках, другие – в трёх или четырёх, а третьи – вообще не пересекаются.
при
(бирюзовый цвет) пересечений нет, тогда число решений уравнения
равно нулю
при
одна точка пересечения, поэтому одно решение
при
(сиреневый цвет) и
(красный цвет) два пересечения, то есть два решения
при
три решения
при
четыре решения
в) Наибольшее значение функции на отрезке
есть самое большое значение ординаты y из всех точек графика, когда абсцисса
x находится в диапазоне от
до
.
Наименьшее значение – это самое маленькое значение на отрезке.
Поэтому, наибольшее значение равно 3, наименьшее значение равно
.
г) Значения функции положительны
для точек на графике, расположенных выше оси Ox. Эти точки выделены красным цветом.
Следовательно, искомыми промежутками будут
.
Значения функции отрицательны
для
(синий цвет).
Задание 34
Найти уравнение прямой
, если известно, что она параллельна прямой
и проходит через точку
.
Решение:
Так как прямая
параллельна прямой
, то её угловой коэффициент
.
Тогда уравнение этой прямой примет вид
.
Поскольку она проходит через точку
,
то координаты точки – числа 1 и 6 - должны удовлетворять уравнению прямой, то есть
.
Тогда
есть искомое уравнение.
Задание 35
Найти координаты точки пересечения прямых
.
Решение:
Для нахождения точки пересечения нужно решить систему
Тогда
искомая точка пересечения.
Задание 36
При каких значениях b прямые
пересекаются на оси ординат?
Решение:
Прямые будут пересекаться на оси ординат, если их точка пересечения имеет координаты
.
Эти координаты должны удовлетворять обоим уравнениям:
Значит,
.
Задание 37
Найти площадь треугольника, ограниченного прямой
и осями координат.
Решение:
Построим прямую
.
Она проходит через точки
.
Нужно найти площадь треугольника OAC.
Ясно, что она равна половине площади прямоугольника OABC, то есть равна 1.
Задание 38
Построить график функции:
Решение:
а) Поскольку
, то функция
принимает вид
Построим прямую
при
(получим луч красного цвета)
и прямую
при
(это синий луч).
Прямая
проходит через точки
, а прямая
проходит через точки
.
Объединяя оба луча, получим требуемый график.
б) 
Поскольку
, то
Строим два луча:
при
(красный цвет),
при
(синий цвет),
и объединяем их в один график.
Прямая
проходит через точки
, а прямая
проходит через точки
.
Задание 39
Решить систему уравнений:
Для проверки нужно подставить найденные числа в каждое уравнение системы:
Оба равенства верные, поэтому
есть решение системы.
Сделаем замену:
и получим новую систему:
Одно и то же число
не может одновременно равняться разным числам 10 и 7
ни при каких значениях x и y, поэтому система не имеет решений.
Первому уравнению удовлетворяет любое значение y, и для каждого y значение
x находится по формуле
, т.е. решений у этой системы бесконечно много, и все они имеют вид
, где y - любое число.
Задание 40
Решить систему уравнений графически.
По данным уравнениям строим прямые и находим их точку пересечения.
Прямую
проводим через точки
, а прямую
- через точки
.
Прямые пересекаются в точке
, координаты которой и являются решением системы.
Для достоверности рекомендуется подставить найденные числа в систему и проверить верность каждого равенства:
Прямую
проводим через точки
, а прямую
- через точки
.
Из рисунка видно, что координаты точки пересечения прямых - не целые числа.
Приблизительное значение
подставим в уравнения системы:
Поскольку из обоих уравнений следует, что
, значит действительно
.
Итак,
есть искомое решение.
Прямую
проводим через точки
, а прямую
- через точки
.
Похоже на то, что эти прямые параллельны.
Чтобы это выяснить, запишем уравнение второй прямой в виде
, для этого выразим y из уравнения:
Теперь видно, что у обеих прямых угловой коэффициент
, и значит, они параллельны.
Параллельные прямые не имеют общих точек, поэтому система не имеет решений.
,
то есть оба уравнения задают одну и ту же прямую, и каждая точка этой прямой является решением системы.
Таким образом, решений бесконечно много. Чтобы записать множество решений, выразим любую букву из нашего уравнения:
.
Теперь все решения системы можно записать в виде:
, где y - любое число.