Выделение полного квадрата при решении квадратных уравнений.

Суть этого метода состоит в том, чтобы в квадратном уравнении $a x^{2} + b x + c = 0$
при помощи формулы квадрата суммы $u^{2} + 2 u v + v^{2} = {(u + v)}^{2}$ или квадрата разности $u^{2} - 2 u v + v^{2} = {(u - v)}^{2}$
собрать две буквы x вместе, в одну скобку.
Уравнение $t^{2} = a$ имеет два решения, одно решение или не имеет решений в зависимости от знака числа $a$ , точнее:
(1) формула: квадрат равен положительному числу при $a > 0$ $t^{2} = a \Leftrightarrow [\begin{matrix} t = \sqrt{a} \\ t = - \sqrt{a} \end{matrix}$
(2) формула: квадрат равен нулю $t^{2} = 0 \Leftrightarrow t = 0$
(3) формула: квадрат равен отрицательному числу при $a < 0$ $t^{2} = a \Leftrightarrow t \in \emptyset$

Примеры решений

Пример 1.

$x^{2} + 2 x - 15 = 0$
Перенесём $15$ направо и прибавим к обеим частям уравнения $1$ :
$x^{2} + 2 x + 1 = 16$
соберём в левой части формулу квадрат суммы:
${(x + 1)}^{2} = 16$
и используем формулу 1:
пример 1: совокупность двух решений

Ответ: ${- 5; 3}$

Пример 2.

$x^{2} - 8 x + 2 = 0$
Перенесём $2$ направо и прибавим к обеим частям уравнения $16$ :
$x^{2} - 8 x + 16 = 14$
соберём в левой части квадрат разности:
${(x - 4)}^{2} = 14$
и опять используем формулу 1:
пример 2: совокупность двух решений

Ответ: пример 2: ответ ${4 \pm \sqrt{14}}$

Пример 3.

$x^{2} + x - 5 = 0$
Перенесём $5$ направо и прибавим к обеим частям уравнения пример 3: одна четвёртая :
пример 3: выделение полного квадрата $x^{2} + x + \frac{1}{4} = 5 \frac{1}{4} \Leftrightarrow {(x + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{21}{4}$
как и выше, получаем по формуле 1 совокупность двух решений:
пример 3: совокупность двух решений $[\begin{matrix} x + \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{21}}{2} \\ x + \frac{1}{2} = - \frac{\sqrt{21}}{2} \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2} \\ x = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2} \end{matrix}$

Ответ: пример 3: ответ ${- \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{21}}{2}}$

В примере 3 всем обычно удобнее использовать формулы с дискриминантом. Способ выделения полного квадрата здесь приведён для иллюстрации, что им тоже можно решить.

Пример 4.

$x^{2} + 6 x + 11 = 0$
Делаем всё, как в предыдущих примерах. Выделяем полный квадрат.
$x^{2} + 6 x + 9 = - 2$
Собираем в квадрат суммы:
${(x + 3)}^{2} = - 2$
Понятно, что здесь решений нет.

Ответ: пример 4: ответ $\emptyset$

Пример 5.

$x^{2} - 4 x + 4 = 0$
Здесь вообще сразу есть формула, супер!
пример 5: полный квадрат равен 0

Ответ: ${2}$

В последнем примере я покажу, как выделять полный квадрат для неприведённого уравнения (в котором $a \neq 1$ ).

Пример 6.

$3 x^{2} - 4 x - 2 = 0$
Поделим обе части уравнения на $3$ :
пример 6: выделение полного квадрата $x^{2} - \frac{4}{3} x - \frac{2}{3} = 0$
Перенесём $- \frac{2}{3}$ направо и добавим к обеим частям $\frac{4}{9}$ :
$x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{4}{9} = \frac{2}{3} + \frac{4}{9}$
Слева собираем квадрат разности, справа - складываем:
пример 6: выделение полного квадрата ${(x - \frac{2}{3})}^{2} = \frac{10}{9}$
И далее - формула 1:
$[\begin{matrix} x - \frac{2}{3} = \frac{\sqrt{10}}{3} \\ x - \frac{2}{3} = - \frac{\sqrt{10}}{3} \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{10}}{3} \\ x = \frac{2}{3} - \frac{\sqrt{10}}{3} \end{matrix}$

Ответ: пример 6: выделение полного квадрата ${\frac{2}{3} \pm \frac{\sqrt{10}}{3}}$

Если у вас возникли сложности

Если эта тема вызывает трудности, вы можете позаниматься с репетитором онлайн и разобрать все способы решения квадратных уравнений на практике.