Неполные квадратные уравнения и способы их решения.

Понятие неполного квадратного уравнения

Квадратное уравнение $a x^{2} + b x + c = 0$ , $a \neq 0$ называют неполным, если один из его коэффициентов $b или c$ или они оба равны нулю.
В случае, когда $b = c = 0$ , уравнение будет иметь единственный корень, равный $0$ : $a x^{2} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ .
В двух других случаях получим уравнения $a x^{2} + b x = 0$ или $a x^{2} + c = 0$ , которые решаются разложением на множители.

Примеры решений

Пример 1.

Решить уравнение $2 x^{2} - 7 x = 0$
Разложим левую часть уравнения на множители, точнее - вынесем $x$ за скобку:
$x (2 x - 7) = 0$
Далее, в каком случае произведение равно нулю?
Только когда один из множителей равен нулю: неполные квадратные уравнения: формула - произведение равно нулю $a \cdot b = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = 0 \\ b = 0 \end{array}$
$[\begin{array}{l} x = 0 \\ 2 x - 7 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \frac{7}{2} \end{array}$

Ответ: неполные квадратные уравнения: ответ в примере 1 ${0; \frac{7}{2}}$

Пример 2.

$4 x = x^{2}$
Переносим всё в одну часть:
$4 x - x^{2} = 0$
Выносим $x$ за скобку:
неполные квадратные уравнения: пример 2 $x (4 - x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 4 \end{array}$

Ответ: ${0; 4}$

Пример 3.

неполные квадратные уравнения: пример 3 $\frac{1}{4} x^{2} - 5 = 0$
Для удобства домножим обе части уравнения на $4$ :
$x^{2} - 20 = 0 \Leftrightarrow x^{2} = 20$
и воспользуемся формулой: неполные квадратные уравнения: формула - квадрат равен числу при $x^{2} = a \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \sqrt{a} \\ x = - \sqrt{a} \end{array}$
$[\begin{array}{l} x = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5} \\ x = - 2 \sqrt{5} \end{array}$

Ответ: неполные квадратные уравнения: ответ в примере 3 ${\pm 2 \sqrt{5}}$

Пример 4.

неполные квадратные уравнения: пример 4 $9 - 16 {(x - 3)}^{2} = 0$
Первым делом выразим скобку ${(x - 3)}^{2}$ из уравнения:
$16 {(x - 3)}^{2} = 9 \Leftrightarrow {(x - 3)}^{2} = \frac{9}{16}$
И дальше опять работает формула, когда квадрат равен числу. Тогда
неполные квадратные уравнения: пример 4 $[\begin{array}{l} x - 3 = \frac{3}{4} \\ x - 3 = - \frac{3}{4} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 3 \frac{3}{4} \\ x = 2 \frac{1}{4} \end{array}$

Ответ: неполные квадратные уравнения: ответ в примере 4 ${2 \frac{1}{4}; 3 \frac{3}{4}}$

Пример 5.

неполные квадратные уравнения: пример 5 $\frac{x^{2}}{5} = \frac{3 x}{2}$
Сначала избавляемся от дробей, с ними работать неудобно. Домножаем обе части уравнения на $10$ .
$2 x^{2} = 15 x \Leftrightarrow 2 x^{2} - 15 x = 0$
Раскладываем на множители и применяем правило, когда произведение равно нулю.
неполные квадратные уравнения: пример 5 $16 {(x - 3)}^{2} = 9 \Leftrightarrow {(x - 3)}^{2} = \frac{9}{16}$

Ответ: неполные квадратные уравнения: ответ в примере 5 ${2 \frac{1}{4}; 3 \frac{3}{4}}$

Пример 6.

$2 {(2 x - 7)}^{2} = 3 (2 x - 7)$
Можно раскрыть все скобки и привести уравнение к стандартному виду.
Но мы видим слева и справа одинаковый множитель $(2 x - 7)$ , и будет лучше перенести всё в левую часть:
$2 {(2 x - 7)}^{2} - 3 (2 x - 7) = 0$ ,
вынести его за скобку и немного упростить:
неполные квадратные уравнения: пример 6 $(2 x - 7) (2 (2 x - 7) - 3) = 0 \Leftrightarrow (2 x - 7) (4 x - 17) = 0$
А если произведение равно нулю, мы уже помним, что делать:
$[\begin{array}{l} 2 x - 7 = 0 \\ 4 x - 17 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{7}{2} \\ x = \frac{17}{4} \end{array}$

Ответ: неполные квадратные уравнения: ответ в примере 6 ${\frac{7}{2}; \frac{17}{4}}$

Пример 7.

${(1 - 4 x)}^{2} = 8 x - 2$
Что-то похожее есть слева и справа в этом уравнении. Попробуем опять получить одинаковый множитель:
${(1 - 4 x)}^{2} + 2 - 8 x = 0$
Теперь $2$ за скобку и всё получилось:
неполные квадратные уравнения: пример 7 ${(1 - 4 x)}^{2} + 2 (1 - 4 x) = 0 \Leftrightarrow (1 - 4 x) (1 - 4 x + 2) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 1 - 4 x = 0 \\ 3 - 4 x = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{1}{4} \\ x = \frac{3}{4} \end{array}$

Ответ: неполные квадратные уравнения: ответ в примере 7 ${\frac{1}{4}; \frac{3}{4}}$

Пример 8.

неполные квадратные уравнения: пример 8 $x^{2} - 3 | x | = 0$
Хотя тут и есть модуль, мы не будем рассматривать случаи, а вспомним одно из его свойств:
${| x |}^{2} - 3 | x | = 0 \Leftrightarrow | x | (| x | - 3) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} | x | = 0 \\ | x | - 3 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ | x | = 3 \end{array}$
При неполные квадратные уравнения: условие - a>0 по другому свойству:
Тогда:
$[\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 3 \\ x = - 3 \end{array}$

Ответ: неполные квадратные уравнения: ответ в примере 8 ${- 3; 0; 3}$

В заключение разберём одно дробно-рациональное уравнение, которое сводится к неполному квадратному.

Пример 9.

неполные квадратные уравнения: пример 9 $\frac{2 x - 1}{x + 3} = \frac{9 (x + 3)}{2 x - 1}$
Раз в уравнении есть дроби, находим область допустимых значений.
ОДЗ: ${\begin{matrix} x \neq −3 \\ 2 x - 1 \neq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} x \neq −3 \\ x \neq \frac{1}{2} \end{matrix}$
Сделаем замену переменной: неполные квадратные уравнения: пример 9 $t = \frac{2 x - 1}{x + 3}$ , получим уравнение для $t$ :
$t = \frac{9}{t}$
Далее, поскольку условие $t \neq 0 \Leftrightarrow 2 x - 1 \neq 0$ выполнено, домножим обе части уравнения на $t$ , и по формуле "квадрат равен числу" получим:
неполные квадратные уравнения: пример 9 $t^{2} = 9 \Leftrightarrow [\begin{matrix} t = 3 \\ t = - 3 \end{matrix}$
Выполним обратную подстановку, то есть заменим $t$ на :
$[\begin{matrix} \frac{2 x - 1}{x + 3} = 3 \\ \frac{2 x - 1}{x + 3} = - 3 \end{matrix}$
Поскольку требование $x + 3 \neq 0$ записано в ОДЗ, можно домножить уравнения на $x + 3$ :
неполные квадратные уравнения: пример 9 $[\begin{matrix} 2 x - 1 = 3 (x + 3) \\ 2 x - 1 = - 3 (x + 3) \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} 2 x - 1 = 3 x + 9 \\ 2 x - 1 = - 3 x - 9 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = - 10 \\ x = - \frac{8}{5} \end{matrix}$

Ответ: неполные квадратные уравнения: ответ в примере 9 ${- 10; - \frac{8}{5}}$

Если у вас возникли сложности

Если эта тема вызывает трудности, вы можете позаниматься с репетитором онлайн и разобрать все способы решения квадратных уравнений на практике.