изменить логин/пароль
Разбор теста по теме "линейная и квадратичная функции".
Разбор заданий теста
Задание 1
Построить график функции
.
а) Какие значения принимает функция при
?
б) При каких x выполняется неравенство
?
в) При каких x значения функции положительны ?
г) Функция является возрастающей или убывающей ?
Решение:
Графиком функции называется множество точек плоскости
,
координаты которых x и y удовлетворяют уравнению, задающему функцию.
Данная функция – линейная, графиком является прямая. Для её построения достаточно подобрать две точки, лежащие на этой прямой.
Например, уравнению удовлетворяют пары
.
Отмечаем эти точки на координатной плоскости, и проводим через них прямую.
а) Нужно понять, какие будут получаться значения функции, y,
когда x изменяется в диапазоне от
до
.
Смотрим на построенный график и видим, как точки оси Ox из отрезка
(зелёный цвет), отражаясь от прямой (красный цвет), “переходят” в точки отрезка
на оси Oy (опять зелёный цвет).
Таким образом, наша функция принимает все значения от
до
.
На этот же вопрос можно ответить, не глядя на график, а используя уравнение
.
Для этого в неравенствах
умножим все части на
, получим
,
прибавим ко всем частям 3, тогда
или
.
б) Поскольку
, то смотрим на точки промежутка
оси Oy.
Отражаясь от прямой, они “переходят” в точки отрезка
на оси Ox.
Эти промежутки на картинке выделены зелёным.
Поэтому, неравенство
будет выполняться при
.
Тот же результат получим, решая двойное неравенство
:
в) Значения функции положительны, то есть
,
для красных точек графика, лежащих выше оси Ox.
Эти точки получатся при
, зелёный цвет на оси Ox.
Также можно решить неравенство
:
г) При
, при
, при
.
Мы видим, что с увеличением x
переменная y уменьшается. Это значит, что наша функция – убывающая.
Убывание можно проследить ещё таким образом:
если двигаться по графику в направлении роста x, то есть слева направо, то точка на прямой будет уходить вниз.
Задание 2
Построить график функции
.
а) Найти точки пересечения графика с осями координат.
б) Чему равно наибольшее значение функции ?
в) Найти множество значений функции.
г) При каких x значения функции неотрицательны ?
д) Найти промежутки возрастания и убывания.
е) Какие значения принимает функция на множестве
?
Решение:
Данная функция – квадратичная, и её графиком будет парабола. Поскольку коэффициент при
отрицателен (он равен
), то ветви параболы направлены вниз.
Координаты вершины параболы найдём по формулам:
.
Получаем:
,
,
тогда
- вершина.
Для большей точности построения найдём ещё несколько точек на параболе.
Это удобно сделать с помощью таблицы, в которой мы будем задавать
x и вычислять y по формуле
.
а) В точках пересечения графика с осью Ox ордината равна нулю.
Мы видим в таблице, что при
абсциссы равны 1 и 3. Значит, точки имеют координаты
.
При отсутствии такой таблицы мы бы решили уравнение
:
При
,
поэтому парабола пересекает ось Oy в точке
.
б)
Наибольшее значение функции есть наибольшая ордината точек графика, ордината самой «высокой» точки. В данном случае, она равна 1.
в)
Множество значений функции – это множество ординат всех точек графика.
По графику видно, что y может быть любым числом, меньше или равном 1.
Поэтому, множество значений данной функции есть луч
.
г)
Когда значения функции неотрицательны, то есть когда
?
Ответить на этот вопрос можно, решив это неравенство:
Или найти на параболе точки с неотрицательными ординатами красного цвета и понять, какие у них абсциссы. Абсциссы выделены зелёным.
д)
Функция возрастает, когда двигаясь по графику слева направо, то есть при увеличении x,
двигаешься в то же время вверх и происходит рост y. Мы это видим для куска параболы, выделенного синим цветом.
Значит, функция возрастает при
, или, говорят, на промежутке
.
Если же по-прежнему, двигаясь слева направо, двигаешься одновременно вниз, то функция убывает. Это зелёный участок на картинке сверху.
Функция убывает на промежутке
.
е)
Значения функции на интервале
можно увидеть на графике.
Видно, как точки на оси Ox от
до
,
отражаясь от графика, переходят в точки на оси Oy от
до
.
Названные участки на осях отмечены зелёным.
Поскольку x не принимает значение 0, то и значение
не войдёт в ответ.
А вот значение
принимается функцией при
, и будет в ответе.
Значение
функция принимает при
.
Итак, при
.
Можно ответить на вопрос и с алгебраической стороны.
Теперь
Задание 3
Построить график функции
.
а) Найти множество значений функции.
б) При каких x значения функции положительны ?
в) При каких x выполняется неравенство
?
Решение:
Прежде всего, найдём область определения этой функции. Знаменатель не должен обращаться в ноль, поэтому
или
.
Попробуем упростить данную дробь, для этого разложим числитель на множители.
Корни числителя – числа 2 и 3, поэтому
, тогда
,
и наша функция примет вид
.
Получилась линейная функция, её графиком будет прямая. Только мы помним, что функция не определена в точке 3, и поэтому прямая не будет содержать точку с абсциссой 3. Это будет, как бы, прямая с «дыркой».
а)
Множество значений функции – это множество ординат всех точек графика.
По графику видно, что y может быть любым числом, кроме
.
Значит, множество значений таково:
.
б)
для точек, лежащих выше оси Ox. У этих точек абсциссы находятся в диапазоне
.
в)
Задание 4
Построить график функции
.
а) Найти промежутки возрастания и убывания.
б) При каких a прямая
имеет с графиком этой функции две общие точки ?
Решение:
график состоит из трёх кусков: при
прямая
, проходящая через точки
при
парабола
ветвями вниз, с вершиной
при
прямая
, проходящая через точки
а)
Если, двигаясь по графику слева направо, одновременно сдвигаешься вниз, то функция убывает
(с ростом x величина y уменьшается).
Как видим, это происходит при
и при
.
Если же, двигаясь по графику по-прежнему слева направо, перемещаешься одновременно вверх, то функция возрастает.
На нашей картинке это будет при
и при
.
б)
Прямая
проходит параллельно оси Ox.
Чтобы у нашего графика и этой прямой было две общие точки, прямая
должна или совпадать с осью Ox
или пересекать ось Ox выше точки 2
.
Эти положения прямой показаны на рисунке красным цветом.
Задание 5
На рисунке изображён график функции
.
Найти координаты точек A, B и C.
Решение:
Поскольку точка В лежит на оси ординат, её абсцисса равна 0, и тогда координаты точки такие
.
Так как она лежит ещё на графике данной функции, то её координаты должны удовлетворять уравнению
.
Тогда
.
Точки А и С лежат на оси абсцисс, значит их ординаты равны 0, то есть
.
Абсциссы точек А и С, конечно, разные, хоть и обозначены одной буквой.
При
получаем уравнение
Данный график пересекает ось Ox в трёх точках, поэтому мы и получили абсциссы этих трёх точек.
Точка А лежит левее остальных, а С – самая правая, значит
.
Задание 6
Найти координаты точек, в которых парабола пересекает ось Ox.
Решение:
Для начала, нам нужно найти уравнение этой параболы. Воспользуемся уравнением параболы в свёрнутом виде:
, где
- вершина.
В нашем случае
, тогда уравнение примет вид
.
Подставим в него координаты точки
,
лежащей на параболе и найдём a:
Итак,
- уравнение нашей параболы.
Точки пересечения графика функции с осью Ox есть корни этой функции. Для нахождения корней нужно решить уравнение
Таким образом, парабола пересекает ось Ox в точках
.
Задание 7
Найти уравнение параболы, которая симметрична изображённой параболе относительно оси ординат.
Решение:
Вершина симметричной параболы будет в точке
,
а пересечение с осью Oy - также в точке
.
Аналогично заданию 6 подставим значения
в уравнение
, получим
.
Раз парабола проходит через точку
,
то эти числа должны подходить в уравнение:
Тогда
или
и есть уравнение искомой параболы.
Задание 8
Задать аналитически (то есть, формулой) функцию, график которой изображён на рисунке.
Решение:
График состоит из двух лучей, каждый из которых является частью некоторой прямой. Будем искать уравнения этих прямых в виде
.
Первая прямая проходит через точки
.
Подставим координаты этих точек в искомое уравнение и найдём параметры k и b:
Тогда
- первая прямая.
Мы должны оставить только часть этой прямой при
, то есть луч, как видно из рисунка.
Всё то же самое проделываем для второй прямой. Она проходит через точки
.
Тогда
- уравнение второй прямой. Берём от этой прямой кусок при
.
Окончательно получаем искомую функцию
