Задачи с параметром. Квадратичная функция. Видеоуроки.
Содержание
Атрибуты квадратичной функцииСтарший коэффициент
Дискриминант
Теорема Виета
Модификация теоремы Виета
Абсцисса вершины параболы
Значение функции в точке
Выделение полного квадрата
Видеоуроки
Очень многие задания с параметром сводятся к исследованию квадратичной функции , где старший коэффициент .
Прямо в условии может быть дано квадратное уравнение или неравенство. Или же они появляются после какой-нибудь замены. Что нужно знать про квадратичную функцию, чтобы приступать к решению ?
Атрибуты квадратичной функции
Старший коэффициент
содержаниеНаправление ветвей параболы - вверх или вниз - зависит от знака старшего коэффициента в её уравнении: . Например, у этой параболы ветви вверх, поскольку старший коэффициент 3 положительный: А у этой параболы - ветви вниз потому, что коэффициент : Если старший коэффициент - какое-то конкретное число, то мы видим его знак, и понимаем, куда направлены ветви параболы.
Но иногда он зависит от параметра и в одном и том же задании может иметь разные знаки. Или, например, равняться нулю.
Если старший коэффициент обращается в ноль, то функция из квадратичной превращается в линейную. Со своими особенностями.
Про эту возможность не стоит забывать.
Дискриминант
содержаниеЗнак дискриминанта говорит нам о количестве корней нашей функции.
То есть, о том, сколько раз её график пересекает ось 0x. Если , то функция имеет два корня.
Если , то функция имеет один корень.
И, наконец, при корней у функции нет. Вот 6 возможностей для графика квадратичной функции , которые учитывают все комбинации знаков старшего коэффициента и дискриминанта. Ещё раз обращаю внимание, что при a = 0 дискриминант искать бессмысленно, поскольку нет никакой квадратичной функции.
Не попадайтесь на это !
Теорема Виета
содержаниеМы помним, конечно, что . Верно и обратное: если для каких-то двух чисел , то эти числа будут корнями уравнения . Теорему Виета используют обычно для быстрого подбора корней квадратного уравнения.
Но и в задачах с параметром она может себя показать с лучшей стороны. При этом важно не забывать, что эта теорема "работает" только при наличии корней.
Сама по себе запись не гарантирует, что такие числа найдутся ! Корней может не быть. Например, для функции можно записать, что , но никакого смысла в этом нет, ведь решений система не имеет. Есть ещё такая полезная вещь, как модификация теоремы Виета (это моё собственное название).
Правда, она поможет только в случае, если вы быстро и правильно подбираете корни приведённых квадратных уравнений (у которых a = 1). Допустим, есть уравнение , и мы хотим найти его корни.
Нам не нужен дискриминант, есть желание именно подобрать корни.
Но подбирать их, когда , не очень интересно. Но вот что можно сделать. Мы берём вспомогательное уравнение со старшим коэффициентом 1, подбираем его корни, а затем делим их на a.
Всё ! Мы получили корни исходного уравнения. Давайте посмотрим на примерах.
Решить уравнение .
Вспомогательное уравнение: , где , его корни и тогда есть корни данного уравнения. Ещё пример: решить уравнение .
Вспомогательное уравнение: , корни:
Абсцисса вершины параболы
содержаниеАбсциссу вершины можно найти так: .
Скажем, нужно понять, возрастает квадратичная функция, как в точке m, или убывает, как в точке n.
Если ветви параболы вверх, то чтобы функция возрастала в точке m, достаточно потребовать , а чтобы убывала в точке n, - чтобы .
Значение функции в точке
содержаниеЗначение функции f в какой-нибудь точке n - то есть - на графике есть ордината соответствующей точки.
Например, значение функции в точке n равно , поскольку точка А лежит ниже оси 0x, и её ордината отрицательна. С другой стороны, ордината точки В положительна. Поэтому, значение функции в точке m .
Выделение полного квадрата
содержаниеТо есть, обе буквы x удалось запихнуть в одну скобку.
Такое преобразование можно сделать всегда, для любого квадратного трёхчлена. Может получиться квадрат суммы или квадрат разности.
Ещё пример:
Выделение полного квадрата используется в самых разных ситуациях.
Например, нужно построить график квадратичной функции
. Теперь мы видим, что вершина параболы будет в точке , и спокойно можем её нарисовать. |
Например, нужно построить график квадратичной функции
.
Выделяем полный квадрат:
Теперь мы видим, что вершина параболы будет в точке ,
и спокойно можем её нарисовать.
Другой пример: найти центр и радиус окружности
.Выделяем полный квадрат:
Теперь мы видим, что вершина параболы будет в точке ,
и спокойно можем её нарисовать.
Выделяем полные квадраты и для x и для y:
Тогда центр окружности в точке , а радиус равен .
Небольшой совет перед просмотром видеоурока:
Всегда пробуйте сначала решить сами. Так вы проверите свои навыки.Кстати, можно свериться с ответом.
Если у вас что-то получается - прекрасно! Можно двигаться дальше. В любом случае, кому реально интересно и что-то непонятно, - постараюсь помочь.
Мне можно написать в: Telegram и WhatsApp.
Видеоуроки
содержание
Специально выписаны задания, которые разбираются в видеоуроках.
В скобках указаны атрибуты квадратичной функции, которые используются в решении.
В скобках указаны атрибуты квадратичной функции, которые используются в решении.
Найти значения параметра a, при которых уравнение
имеет один корень. (старший коэффициент, дискриминант) |
ответ | Задачи с параметром. Квадратичная функция. Урок 1. |
Найти значения m, при которых корни уравнения
противоположны. (теорема Виета, дискриминант) |
ответ | |
Найти значения параметра a, при которых квадрат разности корней уравнения
равен 16. (теорема Виета) |
ответ |
Найти значения параметра a, при которых уравнения и имеют хотя бы один общий корень. | ответ | Задачи с параметром. Квадратичная функция. Урок 2. |
Решить уравнение
при всех допустимых значениях параметра a. (теорема Виета, формула корней) |
ответ | |
При каких значения параметра a уравнение
имеет два корня ? (старший коэффициент, дискриминант) |
ответ |
При каких a один корень уравнения
в два раза больше другого ? (теорема Виета) |
ответ | Задачи с параметром. Квадратичная функция. Урок 3. |
Найти значения параметра a, при которых уравнение
имеет два положительных корня. (теорема Виета, дискриминант) |
ответ | Задачи с параметром. Квадратичная функция. Урок 4. |
Найти значения параметра a, при которых число 1 больше одного корня уравнения
,
но меньше другого. (значение функции в точке, формула корней) |
ответ | |
При каких значения параметра a неравенство
верно при всех x ? (старший коэффициент, дискриминант) |
ответ | |
При каких значения параметра b неравенство
не верно ни при одном x ? (старший коэффициент, дискриминант) |
ответ |
Найти значения параметра a, при которых оба корня уравнения
больше 1. (значение функции в точке, абсцисса вершины параболы, дискриминант) |
ответ | Задачи с параметром. Квадратичная функция. Урок 5. |
Найти значения параметра a, при которых множество значений функции
совпадает с областью определения функции
. (выделение полного квадрата) |
ответ |
Найти значения параметра a, при которых любое решение неравенства
является решением неравенства
. (старший коэффициент, теорема Виета) |
ответ | Задачи с параметром. Квадратичная функция. Урок 6. |
Найти значения параметра a, при которых любое решение неравенства
является решением неравенства
. (старший коэффициент, значение функции в точке) |
ответ |
Найти значения параметра a, при которых уравнение
имеет одно решение. (дискриминант, формула корней) |
ответ | Задачи с параметром. Квадратичная функция. Урок 7. |
Найти значения параметра a, при которых уравнение
имеет один корень. (старший коэффициент, дискриминант) |
ответ |
Найти значения m, при которых корни уравнения
противоположны. (теорема Виета, дискриминант) |
ответ |
Найти значения параметра a, при которых квадрат разности корней уравнения
равен 16. (теорема Виета) |
ответ |
Задачи с параметром. Квадратичная функция. Урок 1. | |
Найти значения a, при которых уравнения и имеют хотя бы один общий корень. | ответ |
Решить уравнение
при всех допустимых значениях параметра a. (теорема Виета, формула корней) |
ответ |
При каких значения параметра a уравнение
имеет два корня ? (старший коэффициент, дискриминант) |
ответ |
Задачи с параметром. Квадратичная функция. Урок 2. | |
При каких a один корень уравнения
в два раза больше другого ? (теорема Виета) |
ответ |
Задачи с параметром. Квадратичная функция. Урок 3. | |
Найти значения параметра a, при которых уравнение
имеет два положительных корня. (теорема Виета, дискриминант) |
ответ |
Найти значения параметра a, при которых число 1 больше одного корня уравнения
,
но меньше другого. (значение функции в точке, формула корней) |
ответ |
При каких значения параметра a неравенство
верно при всех x ? (старший коэффициент, дискриминант) |
ответ |
При каких значения параметра b неравенство
не верно ни при одном x ? (старший коэффициент, дискриминант) |
ответ |
Задачи с параметром. Квадратичная функция. Урок 4. | |
Найти значения параметра a, при которых оба корня уравнения
больше 1. (значение функции в точке, абсцисса вершины параболы, дискриминант) |
ответ |
Найти значения параметра a, при которых множество значений функции
совпадает с областью определения функции
. (выделение полного квадрата) |
ответ |
Задачи с параметром. Квадратичная функция. Урок 5. | |
Найти значения параметра a, при которых любое решение неравенства
является решением неравенства
. (старший коэффициент, теорема Виета) |
ответ |
Найти значения параметра a, при которых любое решение неравенства
является решением неравенства
. (старший коэффициент, значение функции в точке) |
ответ |
Задачи с параметром. Квадратичная функция. Урок 6. | |
Найти значения параметра a, при которых уравнение
имеет одно решение. (дискриминант, формула корней) |
ответ |
Задачи с параметром. Квадратичная функция. Урок 7. |
Найти значения параметра a, при которых уравнение
имеет один корень. (старший коэффициент, дискриминант) |
ответ |
Найти значения m, при которых корни уравнения
противоположны. (теорема Виета, дискриминант) |
ответ |
Найти значения параметра a, при которых квадрат разности корней уравнения
равен 16. (теорема Виета) |
ответ |
Задачи с параметром. Квадратичная функция. Урок 1. |
Найти значения a, при которых уравнения и имеют хотя бы один общий корень. |
ответ |
Решить уравнение
при всех допустимых значениях параметра a. (теорема Виета, формула корней) |
ответ |
При каких значения параметра a уравнение
имеет два корня ? (старший коэффициент, дискриминант) |
ответ |
Задачи с параметром. Квадратичная функция. Урок 2. |
При каких a один корень уравнения
в два раза больше другого ? (теорема Виета) |
ответ |
Задачи с параметром. Квадратичная функция. Урок 3. |
Найти значения параметра a, при которых уравнение
имеет два положительных корня. (теорема Виета, дискриминант) |
ответ |
Найти значения параметра a, при которых число 1 больше одного корня уравнения
,
но меньше другого. (значение функции в точке, формула корней) |
ответ |
При каких значения параметра a неравенство
верно при всех x ? (старший коэффициент, дискриминант) |
ответ |
При каких значения параметра b неравенство
не верно ни при одном x ? (старший коэффициент, дискриминант) |
ответ |
Задачи с параметром. Квадратичная функция. Урок 4. |
Найти значения параметра a, при которых оба корня уравнения
больше 1. (значение функции в точке, абсцисса вершины параболы, дискриминант) |
ответ |
Найти значения параметра a, при которых множество значений функции
совпадает с областью определения функции
. (выделение полного квадрата) |
ответ |
Задачи с параметром. Квадратичная функция. Урок 5. |
Найти значения параметра a, при которых любое решение неравенства
является решением неравенства
. (старший коэффициент, теорема Виета) |
ответ |
Найти значения параметра a, при которых любое решение неравенства
является решением неравенства
. (старший коэффициент, значение функции в точке) |
ответ |
Задачи с параметром. Квадратичная функция. Урок 6. |
Найти значения параметра a, при которых уравнение
имеет одно решение. (дискриминант, формула корней) |
ответ |
Задачи с параметром. Квадратичная функция. Урок 7. |