изменить логин/пароль

Уу
кнопка элементов навигации

Задачи с параметром. Квадратичная функция. Видеоуроки.

Очень многие задания с параметром сводятся к исследованию квадратичной функции квадратичная функция, где старший коэффициент квадратичная функция.
Прямо в условии может быть дано квадратное уравнение или неравенство. Или же они появляются после какой-нибудь замены.
Что нужно знать про квадратичную функцию, чтобы приступать к решению ?

Атрибуты квадратичной функции

Старший коэффициент

Графиком квадратичной функции является парабола. Предполагается, что вам известна эта кривая, хотя бы внешне.
Направление ветвей параболы - вверх или вниз - зависит от знака старшего коэффициента в её уравнении: квадратичная функция.
Например, у этой параболы ветви вверх, поскольку старший коэффициент 3 положительный: ветви параболы
А у этой параболы - ветви вниз потому, что коэффициент ветви параболы: ветви параболы
Если старший коэффициент - какое-то конкретное число, то мы видим его знак, и понимаем, куда направлены ветви параболы.
Но иногда он зависит от параметра и в одном и том же задании может иметь разные знаки. Или, например, равняться нулю.
Если старший коэффициент обращается в ноль, то функция из квадратичной превращается в линейную. Со своими особенностями.
Про эту возможность не стоит забывать.

Дискриминант

Если квадратичная функция задаётся уравнением квадратичная функция, то выражение дискриминант называется дискриминантом.
Знак дискриминанта говорит нам о количестве корней нашей функции.
То есть, о том, сколько раз её график пересекает ось 0x.
Если дискриминант, то функция имеет два корня.
Если дискриминант, то функция имеет один корень.
И, наконец, при дискриминант корней у функции нет.
Вот 6 возможностей для графика квадратичной функции квадратичная функция, которые учитывают все комбинации знаков старшего коэффициента и дискриминанта.
графики квадратичной функции
Ещё раз обращаю внимание, что при a = 0 дискриминант искать бессмысленно, поскольку нет никакой квадратичной функции.
Не попадайтесь на это !

Теорема Виета

Если у квадратичной функции квадратичная функция есть корни теорема Виета- разные или совпадающие, - то теорема Виета.
Мы помним, конечно, что квадратичная функция.
Верно и обратное: если для каких-то двух чисел теорема Виета теорема Виета, то эти числа будут корнями уравнения теорема Виета.
Теорему Виета используют обычно для быстрого подбора корней квадратного уравнения.
Но и в задачах с параметром она может себя показать с лучшей стороны.
При этом важно не забывать, что эта теорема "работает" только при наличии корней.
Сама по себе запись теорема Виета не гарантирует, что такие числа теорема Виета найдутся ! Корней может не быть.
Например, для функции теорема Виета можно записать, что теорема Виета,  но никакого смысла в этом нет, ведь решений система не имеет.

Модификация теоремы Виета

Есть ещё такая полезная вещь, как модификация теоремы Виета (это моё собственное название).
Правда, она поможет только в случае, если вы быстро и правильно подбираете корни приведённых квадратных уравнений (у которых a = 1).
Допустим, есть уравнение теорема Виета, и мы хотим найти его корни.
Нам не нужен дискриминант, есть желание именно подобрать корни.
Но подбирать их, когда теорема Виета, не очень интересно. Но вот что можно сделать.
Мы берём вспомогательное уравнение теорема Виета со старшим коэффициентом 1, подбираем его корни, а затем делим их на a.
Всё ! Мы получили корни исходного уравнения.
Давайте посмотрим на примерах.
Решить уравнение теорема Виета.
Вспомогательное уравнение: теорема Виета, где теорема Виета, его корни теорема Виета и тогда теорема Виета есть корни данного уравнения.
Ещё пример: решить уравнение теорема Виета.
Вспомогательное уравнение: теорема Виета, корни: теорема Виета

Абсцисса вершины параболы

В отличие от корней, парабола есть всегда, и у неё всегда есть вершина.
Абсциссу вершины можно найти так: абсцисса вершины параболы.
Скажем, нужно понять, возрастает квадратичная функция, как в точке m,  или убывает, как в точке n.
возрастание и убывание
Если ветви параболы вверх, то чтобы функция возрастала в точке m, достаточно потребовать возрастание и убывание, а чтобы убывала в точке n, - чтобы возрастание и убывание.

Значение функции в точке

Очень полезный атрибут.
Значение функции f в какой-нибудь точке n - то есть значение функции в точке - на графике есть ордината соответствующей точки.
значение функции в точке
Например, значение функции в точке n равно значение функции в точке, поскольку точка А лежит ниже оси 0x, и её ордината отрицательна.
С другой стороны, ордината точки В положительна. Поэтому, значение функции в точке m значение функции в точке.

Выделение полного квадрата

Сразу приведу пример.
выделение полного квадрата
То есть, обе буквы x удалось запихнуть в одну скобку.
Такое преобразование можно сделать всегда, для любого квадратного трёхчлена. Может получиться квадрат суммы или квадрат разности.
Ещё пример: выделение полного квадрата выделение полного квадрата выделение полного квадрата
Выделение полного квадрата используется в самых разных ситуациях.
Скажем, нужно построить график квадратичной функции выделение полного квадрата.
Выделяем полный квадрат:
выделение полного квадрата выделение полного квадрата
Тогда выделение полного квадрата
Теперь мы видим, что вершина параболы будет в точке выделение полного квадрата,
парабола - стандартная (a = 1), и спокойно можем её нарисовать.
выделение полного квадрата
Другое задание: найти центр и радиус окружности выделение полного квадрата.
Выделяем полные квадраты и для x и для y:
выделение полного квадрата выделение полного квадрата
Тогда центр окружности в точке выделение полного квадрата, а радиус равен выделение полного квадрата.
Небольшой совет перед просмотром видеоуроков:
Всегда пробуйте сначала решить сами. Так вы проверите свои навыки.
Кстати, можно свериться с ответом.☺
Если у вас что-то получается - прекрасно! Можно двигаться дальше.
В любом случае, кому реально интересно и что-то непонятно, - постараюсь помочь.
Мне можно написать в: Telegram и WhatsApp.

Видеоуроки

Специально выписаны задания, которые разбираются в видеоуроках.
Чтобы, решая их, вы могли попробовать свои силы. И потом проверить.
В скобках указаны атрибуты квадратичной функции, которые используются в решении.
Найти значения параметра a, при которых уравнение квадратичная функция с параметром пример имеет один корень.
(старший коэффициент, дискриминант)
ответ
Найти значения m, при которых корни уравнения квадратичная функция с параметром пример противоположны.
(теорема Виета, дискриминант)
ответ
Найти значения параметра a, при которых квадрат разности корней уравнения квадратичная функция с параметром пример равен 16.
(теорема Виета)
ответ
Задачи с параметром.
Квадратичная функция. Урок 1.
Найти значения a, при которых уравнения квадратичная функция с параметром пример и квадратичная функция с параметром пример имеют хотя бы один общий корень.
ответ
Решить уравнение квадратичная функция с параметром пример при всех допустимых значениях параметра a.
(теорема Виета, формула корней)
ответ
При каких значения параметра a уравнение квадратичная функция с параметром пример имеет два корня ?
(старший коэффициент, дискриминант)
ответ
Задачи с параметром.
Квадратичная функция. Урок 2.
При каких a один корень уравнения квадратичная функция с параметром пример в два раза больше другого ?
(теорема Виета)
ответ
Задачи с параметром.
Квадратичная функция. Урок 3.
Найти значения параметра a, при которых уравнение квадратичная функция с параметром пример имеет два положительных корня.
(теорема Виета, дискриминант)
ответ
Найти значения параметра a, при которых число 1 больше одного корня уравнения квадратичная функция с параметром пример, но меньше другого.
(значение функции в точке, формула корней)
ответ
При каких значения параметра a неравенство квадратичная функция с параметром пример верно при всех x ?
(старший коэффициент, дискриминант)
ответ
При каких значения параметра b неравенство квадратичная функция с параметром пример не верно ни при одном x ?
(старший коэффициент, дискриминант)
ответ
Задачи с параметром.
Квадратичная функция. Урок 4.
Найти значения параметра a, при которых оба корня уравнения квадратичная функция с параметром пример больше 1.
(значение функции в точке, абсцисса вершины параболы, дискриминант)
ответ
Найти значения параметра a, при которых множество значений функции квадратичная функция с параметром пример совпадает с областью определения функции квадратичная функция с параметром пример.
(выделение полного квадрата)
ответ
Задачи с параметром.
Квадратичная функция. Урок 5.
Найти значения параметра a, при которых любое решение неравенства квадратичная функция с параметром пример является решением неравенства квадратичная функция с параметром пример.
(старший коэффициент, теорема Виета)
ответ
Найти значения параметра a, при которых любое решение неравенства квадратичная функция с параметром пример является решением неравенства квадратичная функция с параметром пример.
(старший коэффициент, значение функции в точке)
ответ
Задачи с параметром.
Квадратичная функция. Урок 6.
Найти значения параметра a, при которых уравнение квадратичная функция с параметром пример имеет одно решение.
(дискриминант, формула корней)
ответ
Задачи с параметром.
Квадратичная функция. Урок 7.
ответ