

Задачи с параметром. Квадратичная функция. Видеоуроки.
Очень многие задания с параметром сводятся к исследованию квадратичной функции
,
где старший коэффициент
.
Прямо в условии может быть дано квадратное уравнение или неравенство. Или же они появляются после какой-нибудь замены. Что нужно знать про квадратичную функцию, чтобы приступать к решению ?
Направление ветвей параболы - вверх или вниз - зависит от знака старшего коэффициента в её уравнении:
.
Например, у этой параболы ветви вверх, поскольку старший коэффициент 3 положительный:
А у этой параболы - ветви вниз потому, что коэффициент
:
Если старший коэффициент - какое-то конкретное число, то мы видим его знак, и понимаем, куда направлены ветви параболы.
Но иногда он зависит от параметра и в одном и том же задании может иметь разные знаки. Или, например, равняться нулю.
Если старший коэффициент обращается в ноль, то функция из квадратичной превращается в линейную. Со своими особенностями.
Про эту возможность не стоит забывать.
,
то выражение
называется дискриминантом.
Знак дискриминанта говорит нам о количестве корней нашей функции.
То есть, о том, сколько раз её график пересекает ось 0x. Если
,
то функция имеет два корня.
Если
,
то функция имеет один корень.
И, наконец, при
корней у функции нет.
Вот 6 возможностей для графика квадратичной функции
,
которые учитывают все комбинации знаков старшего коэффициента и дискриминанта.
Ещё раз обращаю внимание, что при a = 0 дискриминант искать бессмысленно, поскольку нет никакой квадратичной функции.
Не попадайтесь на это !
есть корни
-
разные или совпадающие, то
.
Мы помним, конечно, что
.
Верно и обратное: если для каких-то двух чисел
,
то эти числа будут корнями уравнения
.
Теорему Виета используют обычно для быстрого подбора корней квадратного уравнения.
Но и в задачах с параметром она может себя показать с лучшей стороны. При этом важно не забывать, что эта теорема "работает" только при наличии корней.
Сама по себе запись
не гарантирует, что такие числа
найдутся ! Корней может не быть.
Например, для функции
можно записать, что
,
но никакого смысла в этом нет, ведь решений система не имеет.
Есть ещё такая полезная вещь, как модификация теоремы Виета (это моё собственное название).
Правда, она поможет только в случае, если вы быстро и правильно подбираете корни приведённых квадратных уравнений (у которых a = 1). Допустим, есть уравнение
,
и мы хотим найти его корни.
Нам не нужен дискриминант, есть желание именно подобрать корни.
Но подбирать их, когда
, не очень интересно.
Но вот что можно сделать.
Мы берём вспомогательное уравнение
со старшим коэффициентом 1, подбираем его корни, а затем делим их на a.
Всё ! Мы получили корни исходного уравнения. Давайте посмотрим на примерах.
Решить уравнение
.
Вспомогательное уравнение:
, где
, его корни
и тогда
есть корни данного уравнения.
Ещё пример: решить уравнение
.
Вспомогательное уравнение:
, корни:
Абсциссу вершины можно найти так:
.
Скажем, нужно понять, возрастает квадратичная функция, как в точке m, или убывает, как в точке n.
Если ветви параболы вверх, то чтобы функция возрастала в точке m, достаточно потребовать
,
а чтобы убывала в точке n, - чтобы
.
Значение функции f в какой-нибудь точке n - то есть
-
на графике есть ордината соответствующей точки.
Например, значение функции в точке n равно
,
поскольку точка А лежит ниже оси 0x, и её ордината отрицательна.
С другой стороны, ордината точки В положительна.
Поэтому, значение функции в точке m
.

То есть, обе буквы x удалось запихнуть в одну скобку.
Такое преобразование можно сделать всегда, для любого квадратного трёхчлена. Может получиться квадрат суммы или квадрат разности.
Ещё пример:

Выделение полного квадрата используется в самых разных ситуациях.
.
Выделяем полные квадраты и для x и для y:

Тогда центр окружности в точке
,
а радиус равен
.
Мне можно написать в: Telegram и WhatsApp.


Прямо в условии может быть дано квадратное уравнение или неравенство. Или же они появляются после какой-нибудь замены. Что нужно знать про квадратичную функцию, чтобы приступать к решению ?
Атрибуты квадратичной функции.
Старший коэффициент
Графиком квадратичной функции является парабола. Предполагается, что вам известна эта кривая, хотя бы внешне.Направление ветвей параболы - вверх или вниз - зависит от знака старшего коэффициента в её уравнении:




Но иногда он зависит от параметра и в одном и том же задании может иметь разные знаки. Или, например, равняться нулю.
Если старший коэффициент обращается в ноль, то функция из квадратичной превращается в линейную. Со своими особенностями.
Про эту возможность не стоит забывать.
Дискриминант
Если квадратичная функция задаётся уравнением

Знак дискриминанта говорит нам о количестве корней нашей функции.
То есть, о том, сколько раз её график пересекает ось 0x. Если

Если

И, наконец, при



Не попадайтесь на это !
Теорема Виета
Если у квадратичной функции


Мы помним, конечно, что




Но и в задачах с параметром она может себя показать с лучшей стороны. При этом важно не забывать, что эта теорема "работает" только при наличии корней.
Сама по себе запись




Правда, она поможет только в случае, если вы быстро и правильно подбираете корни приведённых квадратных уравнений (у которых a = 1). Допустим, есть уравнение

Нам не нужен дискриминант, есть желание именно подобрать корни.
Но подбирать их, когда


Всё ! Мы получили корни исходного уравнения. Давайте посмотрим на примерах.
Решить уравнение

Вспомогательное уравнение:





Вспомогательное уравнение:


Абсцисса вершины параболы
В отличие от корней, парабола есть всегда, и у неё всегда есть вершина.Абсциссу вершины можно найти так:

Скажем, нужно понять, возрастает квадратичная функция, как в точке m, или убывает, как в точке n.

Если ветви параболы вверх, то чтобы функция возрастала в точке m, достаточно потребовать


Значение функции в точке
Очень полезный атрибут.Значение функции f в какой-нибудь точке n - то есть




Выделение полного квадрата
Сразу приведу пример.
То есть, обе буквы x удалось запихнуть в одну скобку.
Такое преобразование можно сделать всегда, для любого квадратного трёхчлена. Может получиться квадрат суммы или квадрат разности.
Ещё пример:


Выделение полного квадрата используется в самых разных ситуациях.
Например, нужно построить график квадратичной функции
![]() ![]() Теперь мы видим, что вершина параболы будет в точке ![]() и спокойно можем её нарисовать. |
![]() |
Например, нужно построить график квадратичной функции
.
Выделяем полный квадрат:

Теперь мы видим, что вершина параболы будет в точке
,
и спокойно можем её нарисовать.
Другой пример: найти центр и радиус окружности

Выделяем полный квадрат:

Теперь мы видим, что вершина параболы будет в точке

и спокойно можем её нарисовать.


Выделяем полные квадраты и для x и для y:


Тогда центр окружности в точке


Небольшой совет перед просмотром видеоурока:
Всегда рекомендую пытаться решить задание самостоятельно. Так вы проверите свои навыки. Можно свериться с ответом.
В любом случае, кому реально интересно и что-то непонятно, - постараюсь помочь.Мне можно написать в: Telegram и WhatsApp.
Видеоуроки.
Специально выписаны задания, которые разбираются в видеоуроках.
В скобках указаны атрибуты квадратичной функции, которые используются в решении. Всегда пробуйте сначала решить сами.
Если что-то получается - прекрасно ! Можете проверить свой ответ.
В скобках указаны атрибуты квадратичной функции, которые используются в решении. Всегда пробуйте сначала решить сами.
Если что-то получается - прекрасно ! Можете проверить свой ответ.
Найти значения параметра a, при которых уравнение
![]() (старший коэффициент, дискриминант) |
ответ | Задачи с параметром. Квадратичная функция. Урок 1. |
Найти значения m, при которых корни уравнения
![]() (теорема Виета, дискриминант) |
ответ | |
Найти значения параметра a, при которых квадрат разности корней уравнения
![]() (теорема Виета) |
ответ |
Найти значения параметра a, при которых уравнения
![]() ![]() |
ответ | Задачи с параметром. Квадратичная функция. Урок 2. |
Решить уравнение
![]() (теорема Виета, формула корней) |
ответ | |
При каких значения параметра a уравнение
![]() (старший коэффициент, дискриминант) |
ответ |
При каких a один корень уравнения
![]() (теорема Виета) |
ответ | Задачи с параметром. Квадратичная функция. Урок 3. |
Найти значения параметра a, при которых уравнение
![]() (теорема Виета, дискриминант) |
ответ | Задачи с параметром. Квадратичная функция. Урок 4. |
Найти значения параметра a, при которых число 1 больше одного корня уравнения
![]() (значение функции в точке, формула корней) |
ответ | |
При каких значения параметра a неравенство
![]() (старший коэффициент, дискриминант) |
ответ | |
При каких значения параметра b неравенство
![]() (старший коэффициент, дискриминант) |
ответ |
Найти значения параметра a, при которых оба корня уравнения
![]() (значение функции в точке, абсцисса вершины параболы, дискриминант) |
ответ | Задачи с параметром. Квадратичная функция. Урок 5. |
Найти значения параметра a, при которых множество значений функции
![]() ![]() (выделение полного квадрата) |
ответ |
Найти значения параметра a, при которых любое решение неравенства
![]() ![]() (старший коэффициент, теорема Виета) |
ответ | Задачи с параметром. Квадратичная функция. Урок 6. |
Найти значения параметра a, при которых любое решение неравенства
![]() ![]() (старший коэффициент, значение функции в точке) |
ответ |
Найти значения параметра a, при которых уравнение
![]() (дискриминант, формула корней) |
ответ | Задачи с параметром. Квадратичная функция. Урок 7. |
Найти значения параметра a, при которых уравнение
![]() (старший коэффициент, дискриминант) |
ответ |
Найти значения m, при которых корни уравнения
![]() (теорема Виета, дискриминант) |
ответ |
Найти значения параметра a, при которых квадрат разности корней уравнения
![]() (теорема Виета) |
ответ |
Задачи с параметром. Квадратичная функция. Урок 1. | |
Найти значения a, при которых уравнения
![]() ![]() |
ответ |
Решить уравнение
![]() (теорема Виета, формула корней) |
ответ |
При каких значения параметра a уравнение
![]() (старший коэффициент, дискриминант) |
ответ |
Задачи с параметром. Квадратичная функция. Урок 2. | |
При каких a один корень уравнения
![]() (теорема Виета) |
ответ |
Задачи с параметром. Квадратичная функция. Урок 3. | |
Найти значения параметра a, при которых уравнение
![]() (теорема Виета, дискриминант) |
ответ |
Найти значения параметра a, при которых число 1 больше одного корня уравнения
![]() (значение функции в точке, формула корней) |
ответ |
При каких значения параметра a неравенство
![]() (старший коэффициент, дискриминант) |
ответ |
При каких значения параметра b неравенство
![]() (старший коэффициент, дискриминант) |
ответ |
Задачи с параметром. Квадратичная функция. Урок 4. | |
Найти значения параметра a, при которых оба корня уравнения
![]() (значение функции в точке, абсцисса вершины параболы, дискриминант) |
ответ |
Найти значения параметра a, при которых множество значений функции
![]() ![]() (выделение полного квадрата) |
ответ |
Задачи с параметром. Квадратичная функция. Урок 5. | |
Найти значения параметра a, при которых любое решение неравенства
![]() ![]() (старший коэффициент, теорема Виета) |
ответ |
Найти значения параметра a, при которых любое решение неравенства
![]() ![]() (старший коэффициент, значение функции в точке) |
ответ |
Задачи с параметром. Квадратичная функция. Урок 6. | |
Найти значения параметра a, при которых уравнение
![]() (дискриминант, формула корней) |
ответ |
Задачи с параметром. Квадратичная функция. Урок 7. |
Найти значения параметра a, при которых уравнение
![]() (старший коэффициент, дискриминант) |
ответ |
Найти значения m, при которых корни уравнения
![]() (теорема Виета, дискриминант) |
ответ |
Найти значения параметра a, при которых квадрат разности корней уравнения
![]() (теорема Виета) |
ответ |
Задачи с параметром. Квадратичная функция. Урок 1. |
Найти значения a, при которых уравнения
![]() ![]() |
ответ |
Решить уравнение
![]() (теорема Виета, формула корней) |
ответ |
При каких значения параметра a уравнение
![]() (старший коэффициент, дискриминант) |
ответ |
Задачи с параметром. Квадратичная функция. Урок 2. |
При каких a один корень уравнения
![]() (теорема Виета) |
ответ |
Задачи с параметром. Квадратичная функция. Урок 3. |
Найти значения параметра a, при которых уравнение
![]() (теорема Виета, дискриминант) |
ответ |
Найти значения параметра a, при которых число 1 больше одного корня уравнения
![]() (значение функции в точке, формула корней) |
ответ |
При каких значения параметра a неравенство
![]() (старший коэффициент, дискриминант) |
ответ |
При каких значения параметра b неравенство
![]() (старший коэффициент, дискриминант) |
ответ |
Задачи с параметром. Квадратичная функция. Урок 4. |
Найти значения параметра a, при которых оба корня уравнения
![]() (значение функции в точке, абсцисса вершины параболы, дискриминант) |
ответ |
Найти значения параметра a, при которых множество значений функции
![]() ![]() (выделение полного квадрата) |
ответ |
Задачи с параметром. Квадратичная функция. Урок 5. |
Найти значения параметра a, при которых любое решение неравенства
![]() ![]() (старший коэффициент, теорема Виета) |
ответ |
Найти значения параметра a, при которых любое решение неравенства
![]() ![]() (старший коэффициент, значение функции в точке) |
ответ |
Задачи с параметром. Квадратичная функция. Урок 6. |
Найти значения параметра a, при которых уравнение
![]() (дискриминант, формула корней) |
ответ |
Задачи с параметром. Квадратичная функция. Урок 7. |