Урок для подготовки к ОГЭ по математике. Проценты.
Понятие процента.
Один процент от числа – это сотая часть этого числа.Например, 1% от числа 200 есть 2, а 1% от числа 30 есть
.Поэтому, например, 12% от 18 составляет двенадцать сотых числа 18, то есть
.
Увеличиваем или уменьшаем число на сколько-то процентов.
Увеличим число 30 на 15%. Что это значит? На сколько мы должны увеличить 30?На величину, равную 15% от 30, то есть на
.Теперь увеличиваем:
.
Можно сделать и по-другому. Пусть 30 составляет 100%, тогда после увеличения на 15% получим число, составляющее 115% от 30.Обозначим это новое число буквой x и запишем пропорцию
, из которой получаем
Удобное правило.
Если мы хотим увеличить, например, число a на 15%, запишем
.Если хотим увеличить a на 20%, запишем
,
на 48% :
и так далее.Аналогично, при уменьшении a на 15% получим
,
при уменьшении a на 27% получим
.
Разбор заданий из вариантов ОГЭ.
Задача 1.
Цена товара была повышена на 10%, а затем снижена на 10%. Изменилась ли в итоге цена?Решение:
Конечно, увеличив цену, скажем, на 12 рублей, а затем снизив на 12 рублей, мы получим первоначальную цену без изменений:
.Но с процентами это будет не так. Давайте смотреть. Пусть исходная цена равна t. Повышаем цену на 10%:
.
Прирост цены в рублях составил 0,1t.Теперь снижаем полученную цену 1,1t на 10% (10% от величины 1,1t):
.
Снижение произошло на
рублей, что больше, чем прирост
0,1t. Поэтому, в результате этих манипуляций цена изменилась по сравнению с исходной: была t, а стала 0,99t.
Она уменьшилась на 1%.
Задача 2.
Волнистый попугай дешевле хохлатого на 37,5%. На сколько процентов хохлатый попугай дороже волнистого?Решение:
Пусть хохлатый попугай стоит x рублей. Волнистый стоит на 37,5% меньше, то есть
рублей.
В задаче требуется сравнить стоимость хохлатого попугая со стоимостью волнистого, поэтому именно стоимость волнистого попугая мы должны принять за 100%. В данный момент - это точка отсчёта.
Составим пропорцию
, из которой
. Тогда
, то есть стоимость хохлатого попугая составляет 160%, что на 60% больше стоимости волнистого.
Задача 3.
Цену товара повысили на 25%, затем новую цену повысили еще на 10% и, наконец, после перерасчета произвели повышение цены еще на 12%. На сколько процентов повысили первоначальную цену товара?Решение:
Пусть первоначально товар стоил x рублей.Повышаем цену на 25%: 1,25x, повышаем ещё на 10%:
, и ещё на 12%:
.Таким образом, общее повышение составляет 54%.
Задача 4.
Три числа относятся как 2 : 3 : 7. Если первое число уменьшить на 20%, а второе – на 10%, то на сколько процентов надо увеличить третье число, чтобы их сумма не изменилась?Решение:
Отношение 2 : 3 : 7 означает, что числа имеют вид
.Первое число, уменьшенное на 20%, превратится в
,
второе, уменьшенное на 10%, - в
.По условию задачи
,
где за
a
обозначен результат увеличения
7x на некоторое число процентов.Из этого уравнения находим
.Остаётся понять, на сколько процентов
больше, чем
7x. Составим пропорцию
,
из которой
.Значит, третье число нужно увеличить на 10%.
Задача 5.
Первый сплав содержит 5% меди, второй – 13% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 9 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 11% меди. Найдите массу третьего сплава.Решение:
В задачах на смеси и сплавы нужно следить за абсолютными единицами измерения, то есть, в данном случае, за килограммами. Обозначим массу первого сплава за x кг, тогда масса второго будет равна
кг, а масса третьего
кг.Найдём массу меди в каждом сплаве. В первом сплаве меди
кг, во втором сплаве меди
кг, и в третьем -
кг.
Поскольку при сплавлении медь одного сплава соединяется с медью другого, то должно быть верно равенство 
,
из которого
.
В ответ пишем массу третьего сплава
кг.
Задача 6.
Смешав 43-процентный и 47-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 41-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 45-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 43-процентного раствора использовали для получения смеси?Решение:
Пусть первого раствора брали x кг, второго y кг. Тогда кислоты в первом растворе
кг, во втором кислоты
кг.Новый раствор весит
кг, и кислоты в нём
кг.Складывая массы кислот, получим уравнение:
.
Во втором случае масса всего нового раствора будет такой же:
кг, поскольку добавляется в любом случае 10 кг.Но кислота сложится уже из трёх растворов: в 43%-ном растворе
кг, в 47%-ном -
кг и в 50%-ном -
кг кислоты,поэтому суммарная масса кислоты будет
кг.С другой стороны, её 45% в растворе массой
кг, то есть
кг.Получаем ещё одно уравнение:
.
Решаем эти два уравнения совместно:
Домножим для удобства каждое уравнение на 100:
Вычитаем из первого уравнения второе:
В ответ запишем массу первого раствора, то есть 70 кг.