изменить логин/пароль

Уу
кнопка элементов навигации

Урок для подготовки к ОГЭ по математике. Проценты.

Понятие процента

Один процент от числа – это сотая часть этого числа.
Например, 1% от числа 200 есть 2, а 1% от числа 30 есть задачи на проценты.
Поэтому, например, 12% от 18 составляет двенадцать сотых числа 18, то есть задачи на проценты.

Увеличиваем или уменьшаем число на сколько-то процентов

Увеличим число 30 на 15%.
Что это значит? На сколько мы должны увеличить 30?
Мы должны увеличить 30 на величину, равную 15% от 30, то есть на задачи на проценты.
И теперь увеличиваем: задачи на проценты.
Можно сделать и по-другому. Пусть 30 составляет 100%, тогда после увеличения на 15% получим число, составляющее 115% от 30.
Обозначим это новое число буквой x и запишем пропорцию задачи на проценты, из которой получаем задачи на проценты

Удобное правило.

Если мы хотим увеличить, например, число a на 15%, запишем задачи на проценты.
Если хотим увеличить a на 20%, запишем задачи на проценты, на 48% : задачи на проценты и так далее.
Аналогично, при уменьшении a на 15% получим задачи на проценты, при уменьшении a на 27% получим задачи на проценты.

Разбор заданий из вариантов ОГЭ

Задача 1.

Цена товара была повышена на 10%, а затем снижена на 10%. Изменилась ли в итоге цена?

Решение:

Конечно, увеличив цену, скажем, на 12 рублей, а затем снизив на 12 рублей, мы получим первоначальную цену без изменений: разбор задачи с процентами.
Но с процентами это будет не так. Давайте смотреть.
Пусть исходная цена равна t. Повышаем цену на 10%: разбор задачи с процентами. Прирост цены в рублях составил 0,1t.
Теперь снижаем полученную цену 1,1t на 10%   (10% от величины 1,1t): разбор задачи с процентами.
Снижение произошло на разбор задачи с процентами рублей, что больше, чем прирост 0,1t. Поэтому, в результате этих манипуляций цена изменилась по сравнению с исходной: была t, а стала 0,99t. Она уменьшилась на 1%.

Задача 2.

Волнистый попугай дешевле хохлатого на 37,5%. На сколько процентов хохлатый попугай дороже волнистого?

Решение:

Пусть хохлатый попугай стоит x рублей. Волнистый стоит на 37,5% меньше, то есть разбор задачи с процентами рублей.
В задаче требуется сравнить стоимость хохлатого попугая со стоимостью волнистого, поэтому именно стоимость волнистого попугая мы должны принять за 100%. В данный момент - это точка отсчёта.
Составим пропорцию разбор задачи с процентами, из которой разбор задачи с процентами.
Тогда разбор задачи с процентами, то есть стоимость хохлатого попугая составляет 160%, что на 60% больше стоимости волнистого.

Задача 3.

Цену товара повысили на 25%, затем новую цену повысили еще на 10% и, наконец, после перерасчета произвели повышение цены еще на 12%. На сколько процентов повысили первоначальную цену товара?

Решение:

Пусть первоначально товар стоил x рублей.
Повышаем цену на 25%:   1,25x, повышаем ещё на 10%: разбор задачи с процентами, и ещё на 12%: разбор задачи с процентами.
Таким образом, общее повышение составляет 54%.

Задача 4.

Три числа относятся как 2 : 3 : 7. Если первое число уменьшить на 20%, а второе – на 10%, то на сколько процентов надо увеличить третье число, чтобы их сумма не изменилась?

Решение:

Отношение 2 : 3 : 7 означает, что числа имеют вид разбор задачи с процентами.
Первое число, уменьшенное на 20%, превратится в  разбор задачи с процентами, второе, уменьшенное на 10%, - в  разбор задачи с процентами.
По условию задачи разбор задачи с процентами, где за a обозначен результат увеличения  7x на некоторое число процентов.
Из этого уравнения находим разбор задачи с процентами.
Остаётся понять, на сколько процентов разбор задачи с процентами больше, чем  7x.

Составим пропорцию разбор задачи с процентами, из которой разбор задачи с процентами.

Значит, третье число нужно увеличить на 10%.

Задача 5.

Первый сплав содержит 5% меди, второй – 13% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 9 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 11% меди. Найдите массу третьего сплава.

Решение:

В задачах на смеси и сплавы нужно следить за абсолютными единицами измерения, то есть, в данном случае, за килограммами.
Обозначим массу первого сплава за x кг, тогда масса второго будет равна разбор задачи с процентами кг, а масса третьего разбор задачи с процентами кг.
Найдём массу меди в каждом сплаве. В первом сплаве меди разбор задачи с процентами кг, во втором сплаве меди разбор задачи с процентами кг, и в третьем - разбор задачи с процентами кг.
Поскольку при сплавлении медь одного сплава соединяется с медью другого, то должно быть верно равенство
разбор задачи с процентами, из которого разбор задачи с процентами.
В ответ пишем массу третьего сплава разбор задачи с процентами кг.

Задача 6.

Смешав 43-процентный и 47-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 41-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 45-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 43-процентного раствора использовали для получения смеси?

Решение:

Пусть первого раствора брали x кг, второго y кг. Тогда кислоты в первом растворе разбор задачи с процентами кг, во втором кислоты разбор задачи с процентамикг.
Новый раствор весит разбор задачи с процентами кг, и кислоты в нём разбор задачи с процентами кг.
Складывая массы кислот, получим уравнение: разбор задачи с процентами.
Во втором случае масса всего нового раствора будет такой же: разбор задачи с процентами кг, поскольку добавляется в любом случае 10 кг.
Но кислота сложится уже из трёх растворов:
в 43%-ном растворе разбор задачи с процентами кг, в 47%-ном - разбор задачи с процентами кг и в 50%-ном - разбор задачи с процентами кг кислоты,
поэтому суммарная масса кислоты будет разбор задачи с процентами кг.
С другой стороны, её 45% в растворе массой разбор задачи с процентами кг, то есть разбор задачи с процентами кг.
Получаем ещё одно уравнение: разбор задачи с процентами.
Решаем эти два уравнения совместно: разбор задачи с процентами
Домножим для удобства каждое уравнение на 100:

разбор задачи с процентами разбор задачи с процентами разбор задачи с процентами

Вычитаем из первого уравнения второе: разбор задачи с процентами разбор задачи с процентами
В ответ запишем массу первого раствора, то есть 70 кг.