Урок для подготовки к ОГЭ по математике. Дробно-рациональные уравнения.

Перед освоением этой темы рекомендуется вспомнить, как выполняются действия с алгебраическими дробями, а также как решаются линейные и квадратные уравнения.

Понятие дробно-рационального уравнения.

К дробно-рациональным относятся уравнения, в которых используются четыре арифметических действия - сложение, вычитание, умножение, деление - и они применяются к дробям, в числителе и знаменателе которых находятся многочлены. В частности, это могут быть не только дроби, но и целые выражения.

Например, уравнения дробно-рациональные уравнения

являются дробно-рациональными.

При решении этих уравнений мы будем использовать обычный перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, а также умножение или деление обеих частей уравнения на любое число, не равное нулю.

Нужно ещё не забывать, что дроби, которые даны в исходном уравнении, могут быть не определены при некоторых значениях переменной.
Поэтому, будем сразу находить область допустимых значений (ОДЗ) наших уравнений.

Примеры решений уравнений.

Пример 1.

Решить уравнение решение дробно-рационального уравнения

Решение:

Дробь не определена, если её знаменатель обращается в ноль - на ноль делить нельзя.

В нашем случае должно выполняться условие решение дробно-рационального уравнения

, которое приводит к решение дробно-рационального уравнения

.
Это значит, что как бы дальше не протекало решение уравнения, какие бы “кандидаты в корни” мы не нашли, - число решение дробно-рационального уравнения

корнем быть не может.
Таким образом, ОДЗ состоит из всех чисел, кроме решение дробно-рационального уравнения

Умножим обе части нашего уравнения на выражение решение дробно-рационального уравнения

, которое, согласно нашей ОДЗ, нулю не равно. Получаем:

Поскольку

, то

есть корень уравнения.
Ответ: решение дробно-рационального уравнения

Пример 2.

Решить уравнение решение дробно-рационального уравнения

Решение:

Чтобы обе дроби были определены, необходимо выполнение условий: решение дробно-рационального уравнения

Домножаем обе части уравнения на решение дробно-рационального уравнения

.
Это выражение не обратится в ноль для любых чисел из ОДЗ. То есть, умножать можно.
Получим:

Поскольку

, то

есть корень уравнения.
Ответ: решение дробно-рационального уравнения

Пример 3.

Решить уравнение решение дробно-рационального уравнения

Решение:

ОДЗ:

После умножения обеих частей на x, уравнение сводится к квадратному:

Ответ:

Пример 4.

Решить уравнение решение дробно-рационального уравнения

Решение:

ОДЗ:

Число 2 не входит в ОДЗ (не является допустимым значением), поэтому оно – не корень уравнения.

Ответ:

Пример 5.

Решить уравнение решение дробно-рационального уравнения

Решение:

ОДЗ:

Как обычно, умножаем обе части уравнения на общий знаменатель:

Но число 3 не является допустимым, поэтому уравнение не имеет корней.

Ответ: решений нет.

Пример 6.

Решить уравнение решение дробно-рационального уравнения

Решение:

Сначала найдём корни квадратного трёхчлена решение дробно-рационального уравнения

, и разложим его на множители.
Корни решение дробно-рационального уравнения

, поэтому решение дробно-рационального уравнения

.
Тогда уравнение примет вид решение дробно-рационального уравнения

.
ОДЗ:

Число

не содержится в ОДЗ.

Ответ:

Пример 7.

Решить уравнение решение дробно-рационального уравнения

Решение:

ОДЗ:

Сделаем замену переменной: решение дробно-рационального уравнения

, тогда уравнение примет вид:
решение дробно-рационального уравнения

, и его корнями будут числа решение дробно-рационального уравнения

Ответ:

Пример 8.

Решить уравнение решение дробно-рационального уравнения

Решение:

Разложим знаменатели дробей на множители: решение дробно-рационального уравнения

ОДЗ:

Ответ:

Пример 9.

Решить уравнение решение дробно-рационального уравнения

Решение:

ОДЗ:

Сделаем замену переменной: решение дробно-рационального уравнения

Все числа попадают в ОДЗ.

Ответ:

Пример 10.

Решить уравнение решение дробно-рационального уравнения

Решение:

ОДЗ:

Замена:

, тогда решение дробно-рационального уравнения

, отсюда решение дробно-рационального уравнения

Теперь уравнение примет вид:

Ответ: