Урок для подготовки к ОГЭ по математике. Дробно-рациональные уравнения.
Перед освоением этой темы рекомендуется вспомнить, как выполняются действия с алгебраическими дробями, а также как решаются линейные и квадратные уравнения.
являются дробно-рациональными.
При решении этих уравнений мы будем использовать обычный перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, а также умножение или деление обеих частей уравнения на любое число, не равное нулю.
Нужно ещё не забывать, что дроби, которые даны в исходном уравнении, могут быть не определены при некоторых значениях переменной.
Поэтому, будем сразу находить область допустимых значений (ОДЗ) наших уравнений.
.
,
которое приводит к
.
Это значит, что как бы дальше не протекало решение уравнения, какие бы “кандидаты в корни” мы не нашли, - число
корнем быть не может.
Таким образом, ОДЗ состоит из всех чисел, кроме
.
Умножим обе части нашего уравнения на выражение
,
которое, согласно нашей ОДЗ, нулю не равно. Получаем:
Поскольку
,
то
есть корень уравнения.
Ответ:
.
Домножаем обе части уравнения на
.
Это выражение не обратится в ноль для любых чисел из ОДЗ. То есть, умножать можно.
Получим:
Поскольку
,
то
есть корень уравнения.
Ответ:
.
После умножения обеих частей на x, уравнение сводится к квадратному:
Ответ:
.
Число 2 не входит в ОДЗ (не является допустимым значением), поэтому оно – не корень уравнения.
Ответ:
.
Как обычно, умножаем обе части уравнения на общий знаменатель:
Но число 3 не является допустимым, поэтому уравнение не имеет корней.
Ответ: решений нет.
.
,
и разложим его на множители.
Корни
,
поэтому
.
Тогда уравнение примет вид
.
ОДЗ:
Число
не содержится в ОДЗ.
Ответ:
.
Сделаем замену переменной:
,
тогда уравнение примет вид:
,
и его корнями будут числа
.

Ответ:
.
.
ОДЗ:
Ответ:
.
Сделаем замену переменной:
.
Все числа попадают в ОДЗ.
Ответ:
.
Замена:
,
тогда
,
отсюда
.
Теперь уравнение примет вид:
Ответ:
Понятие дробно-рационального уравнения.
К дробно-рациональным относятся уравнения, в которых используются четыре арифметических действия - сложение, вычитание, умножение, деление - и они применяются к дробям, в числителе и знаменателе которых находятся многочлены. В частности, это могут быть не только дроби, но и целые выражения. Например, уравнения
Поэтому, будем сразу находить область допустимых значений (ОДЗ) наших уравнений.
Примеры решений уравнений.
Пример 1.
Решить уравнение
Решение:
Дробь не определена, если её знаменатель обращается в ноль - на ноль делить нельзя. В нашем случае должно выполняться условие

Это значит, что как бы дальше не протекало решение уравнения, какие бы “кандидаты в корни” мы не нашли, - число

Таким образом, ОДЗ состоит из всех чисел, кроме





Ответ:

Пример 2.
Решить уравнение
Решение:
Чтобы обе дроби были определены, необходимо выполнение условий:

Это выражение не обратится в ноль для любых чисел из ОДЗ. То есть, умножать можно.
Получим:



Ответ:

Пример 3.
Решить уравнение
Решение:
ОДЗ:


Пример 4.
Решить уравнение
Решение:
ОДЗ:


Пример 5.
Решить уравнение
Решение:
ОДЗ:

Пример 6.
Решить уравнение
Решение:
Сначала найдём корни квадратного трёхчлена
Корни


Тогда уравнение примет вид

ОДЗ:




Пример 7.
Решить уравнение
Решение:
ОДЗ:






Пример 8.
Решить уравнение
Решение:
Разложим знаменатели дробей на множители:
ОДЗ:



Пример 9.
Решить уравнение
Решение:
ОДЗ:



Пример 10.
Решить уравнение
Решение:
ОДЗ:




