Урок для подготовки к ОГЭ по математике. Работа с формулами.
Принцип работы с формулами.
Речь идёт об умении выражать из некоторого равенства какую-либо букву, которая обычно обозначает переменную величину. Например, выразим из равенства
букву a.
С этой целью домножим обе части нашего равенства на b. Запишем это в виде
Получаем
или
или
.
Напомним, что умножение и деление дроби на букву происходит так:
и
.
Для грамотного решения примеров такого типа нужно знать несколько простых правил.Поскольку равенства, из которых мы хотим что-нибудь выразить, есть, по сути, некоторые уравнения,
то мы и будем пользоваться известными свойствами уравнений.
Некоторые свойства уравнений.
Свойство 1.
Любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком. Например, в равенстве
перенесём
в правую часть:
.
Свойство 2.
Обе части уравнения можно умножить или разделить на любое число, не равное нулю. Например, разделим обе части равенства
на 2.
Тогда
или
.
Свойство 3.
Если равны некоторые ненулевые величины, то равны и обратные к ним величины. Например, если
, то и
.
Свойство 4.
Обе части уравнения можно возвести в нечётную положительную степень (то есть, в куб, или в пятую степень). Например, если
, то
или
.
Свойство 5.
Обе части уравнения, при условии их неотрицательности, можно возвести в чётную положительную степень (то есть, в квадрат, или в четвёртую степень). Например, если
, то
или
.
Свойство 6.
Из обеих частей уравнения можно извлечь корень нечётной степени. Например, если
, то
или
.
Свойство 7.
Из обеих частей уравнения, при условии их неотрицательности, можно извлечь корень чётной степени. Например, если
, то
или
, поскольку
.
Примеры работы с формулами из вариантов ОГЭ.
Пример 1.
Из формулы площади круга
выразить радиус r.
Решение:
Чтобы «добраться» до r, нужно избавиться от
и от квадрата в правой части равенства. Сначала поделим обе части на
.
,
получаем
или
.
Поскольку обе части неотрицательны
(
,
как площадь,
),
то по свойству 7
или
,
поскольку
.
Итак,
.
Пример 2.
Из формулы периметра прямоугольника
выразить одну из его сторон.
Решение:
Выразим, например, сторону a. Поделим обе части равенства на 2:
и перенесём b в левую часть:
или
.
Можно сделать и по-другому: сначала раскрыть скобки справа
,
затем перенести налево
,
получим
и разделить обе части на 2:
или
,
что, конечно, совпадает с предыдущим ответом.
Пример 3.
Выразить из формулы скорости
время t.
Решение:
Перенесём
в левую часть, а
- в правую:
и разделим обе части на
,
тогда
.
Это уже ответ, но ещё можно избавиться от десятичной дроби в знаменателе. Домножим числитель и знаменатель на 2.
Получим:
или
.
Такой ответ лучше.
Пример 4.
Из формулы
выразить переменную
.
Решение:
или
Пример 5.
Из формулы
выразить переменную t.
Решение:
Пример 6.
Из формулы
выразить переменную b.
Решение:
По свойству 3 будут равны и обратные величины
или
.
Пример 7.
Из формулы скорости газовых молекул
выразить давление газа
.
Решение:
Скорость
- положительная величина, поэтому можно применить свойство 5. Возведём обе части равенства в квадрат.
или
.
Пример 8.
Из формулы дальности полёта тела, брошенного с начальной скоростью под углом к горизонту
выразить скорость
.
Решение:
Все величины положительные.
,
так как
положительно.
Тогда получаем
.
Пример 9.
Из формулы объёма шара
выразить радиус r.
Решение:
Теперь по свойству 7
Мы использовали, что
,
т.к. радиус r - положительная величина.
Пример 10.
Из формул полупериметра
и площади треугольника
выразить сторону a через величины
.
Решение:
Буква p в ответе участвовать не должна, поэтому заменим в формуле для площади
букву p выражением
.
Тогда
.
И уже отсюда будем выражать a.
Перенесём слагаемые b и c в левую часть:
или
.