изменить логин/пароль

Уу
кнопка элементов навигации

Урок для подготовки к ОГЭ по математике. Работа с формулами.

Принцип работы с формулами

Речь идёт об умении выражать из некоторого равенства какую-либо букву, которая обычно обозначает переменную величину.
Например, выразим из равенства работа с формулами букву a.
С этой целью домножим обе части нашего равенства на b.   Запишем это в виде работа с формулами
Получаем работа с формулами или работа с формулами или работа с формулами.
Напомню, что умножение и деление дроби на букву происходит так:

работа с формулами и работа с формулами.

Для грамотного решения примеров такого типа нужно знать несколько простых правил.
Поскольку равенства, из которых мы хотим что-нибудь выразить, есть, по сути, некоторые уравнения,
то мы и будем пользоваться известными свойствами уравнений.

Некоторые свойства уравнений

Свойство 1.

Любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком.
Например, в равенстве свойство уравнения перенесём свойство уравнения в правую часть: свойство уравнения.

Свойство 2.

Обе части уравнения можно умножить или разделить на любое число, не равное нулю.

Например, разделим обе части равенства свойство уравнения на   2.  Тогда свойство уравнения или свойство уравнения.

Свойство 3.

Если равны некоторые ненулевые величины, то равны и обратные к ним величины.
Например, если свойство уравнения,    то и свойство уравнения.

Свойство 4.

Обе части уравнения можно возвести в нечётную положительную степень (то есть, в куб, или в пятую степень).
Например, если свойство уравнения,    то свойство уравнения или свойство уравнения.

Свойство 5.

Обе части уравнения, при условии их неотрицательности, можно возвести в чётную положительную степень (то есть, в квадрат, или в четвёртую степень).

Например, если свойство уравнения,    то свойство уравнения или свойство уравнения.

Свойство 6.

Из обеих частей уравнения можно извлечь корень нечётной степени.

Например, если свойство уравнения,    то свойство уравнения или свойство уравнения.

Свойство 7.

Из обеих частей уравнения, при условии их неотрицательности, можно извлечь корень чётной степени.

Например, если свойство уравнения,    то свойство уравнения или свойство уравнения,   поскольку свойство уравнения.

Формулы в вариантах ОГЭ

Пример 1.

Из формулы площади круга пример преобразования формулы выразить радиус r.

Решение:

Чтобы «добраться» до r, нужно избавиться от пример преобразования формулы и от квадрата в правой части равенства. Сначала поделим обе части на пример преобразования формулы.

пример преобразования формулы,   получаем пример преобразования формулы или пример преобразования формулы.
Поскольку обе части неотрицательны (пример преобразования формулы, как площадь, пример преобразования формулы),   то по свойству 7
пример преобразования формулы или пример преобразования формулы,   поскольку пример преобразования формулы.   Итак, пример преобразования формулы.

Пример 2.

Из формулы периметра прямоугольника пример преобразования формулы выразить одну из его сторон.

Решение:

Выразим, например, сторону a. Поделим обе части равенства на 2: пример преобразования формулы
и перенесём b в левую часть: пример преобразования формулы или пример преобразования формулы.

Можно сделать и по-другому: сначала раскрыть скобки справа пример преобразования формулы, затем перенести налево пример преобразования формулы, получим пример преобразования формулы
и разделить обе части на 2: пример преобразования формулы или пример преобразования формулы,   что, конечно, совпадает с предыдущим ответом.

Пример 3.

Выразить из формулы скорости пример преобразования формулы время t.

Решение:

Перенесём пример преобразования формулы в левую часть, а пример преобразования формулы- в правую: пример преобразования формулы и разделим обе части на пример преобразования формулы, тогда пример преобразования формулы.
Это уже ответ, но ещё можно избавиться от десятичной дроби в знаменателе. Домножим числитель и знаменатель на 2.

Получим: пример преобразования формулы или пример преобразования формулы.   Такой ответ лучше.

Пример 4.

Из формулы пример преобразования формулы выразить переменную пример преобразования формулы.

Решение:

пример преобразования формулы пример преобразования формулы или пример преобразования формулы

Пример 5.

Из формулы пример преобразования формулы выразить переменную t.

Решение:

пример преобразования формулы пример преобразования формулы

Пример 6.

Из формулы пример преобразования формулы выразить переменную b.

Решение:

пример преобразования формулы пример преобразования формулы

По свойству  3  будут равны и обратные величины пример преобразования формулы,   то есть пример преобразования формулы.

Пример 7.

Из формулы скорости газовых молекул пример преобразования формулы выразить давление газа пример преобразования формулы.

Решение:

Скорость пример преобразования формулы - положительная величина, поэтому можно применить свойство  5. Возведём обе части равенства в квадрат.

пример преобразования формулы пример преобразования формулы или пример преобразования формулы.

Пример 8.

Из формулы дальности полёта тела, брошенного с начальной скоростью под углом к горизонту пример преобразования формулы выразить скорость пример преобразования формулы.

Решение:

Все величины положительные.
пример преобразования формулы пример преобразования формулы пример преобразования формулы

пример преобразования формулы, так как пример преобразования формулы положительно. Тогда получаем пример преобразования формулы.

Пример 9.

Из формулы объёма шара пример преобразования формулы выразить радиус r.

Решение:

пример преобразования формулы пример преобразования формулы

Теперь по свойству  7 пример преобразования формулы
Мы использовали, что пример преобразования формулы,   т.к. радиус r - положительная величина.

Пример 10.

Из формул полупериметра пример преобразования формулы и площади треугольника пример преобразования формулы выразить сторону a через величины пример преобразования формулы.

Решение:

Буква p в ответе участвовать не должна, поэтому заменим в формуле для площади пример преобразования формулы букву p выражением пример преобразования формулы.

Тогда пример преобразования формулы.   И уже отсюда будем выражать a.

пример преобразования формулы пример преобразования формулы пример преобразования формулы пример преобразования формулы

Перенесём слагаемые b и c в левую часть: пример преобразования формулы или пример преобразования формулы.