изменить логин/пароль
Преобразования графиков функций. Видеоуроки.
В текстовой части я покажу, какую операцию проделывают с функцией, чтобы добиться того или иного преобразования её графика. Здесь я дам только основные понятия. Каждый вид преобразования будет сопровождаться подходящими функциями и их графиками. Более полная картина со многими примерами есть в видеоуроках. В примерах ниже текущее действие с функцией будет выделяться красным цветом.Сдвиг вдоль оси Oх
Сдвиг - или параллельный перенос - графика функции вдоль оси абсцисс задаётся следующими преобразованиями.Пусть
.
(1) 
сдвиг графика вправо на a единиц(2)
сдвиг графика влево на a единиц.
Например, после преобразования
график первой функции сдвинется на
вправо.
Помотрим на преобразование (1):если
и
,
то
.
А после перехода
произойдёт сдвиг графика на
влево, поскольку
при
и
.
Сейчас рассмотрим несколько простых примеров функций и их графиков, где происходит сдвиг вдоль оси 0х.
произойдёт сдвиг графика на
влево, поскольку при
и
.
Пример 1.
Допустим, мы хотим сдвинуть график функции
на 3 единицы вправо.
,
получим функцию
и такие графики:
Глядя на картинку, кажется, что расстояние между графиками уменьшается при движении вправо. Но это - смотря какое расстояние иметь ввиду.
По горизонтали оно неизмненно и равно 3. Каждый серый вектор имеет длину 3.
И точки зелёного графика действительно сдвигаются вдоль оси 0х направо на 3.
Пример 2.
Сдвинем гиперболу
на 2 единицы влево.
Выполняем преобразование (2) при
.
Новая функция будет иметь вид
.
Так выглядят графики:
Пример 3.
Что мы получим, сдвинув синусоиду на
влево?
То есть, с функцией
сделаем преобразование (2) при
.
Новая функция
.
Была синусоида
.
а стала косинусоида
Сдвиг вдоль оси Oу
При
следующие преобразования задают
(3) 
сдвиг графика вниз на а единиц
(4) 
сдвиг графика вверх на а единиц
Пример 1.
Выполним сдвиг графика функции
на 2 вверх.
Для этого воспользуемся преобразованием (4) при
.
Получим функцию
и такие графики:
Пример 2.
Нужно изобразить график функции
.
Здесь за основу берём
и выполняем сдвиг вниз на
.
Пример 3.
Построить график функции
.
В первую очередь выделим полный квадрат:
.
Цепочка преобразований теперь ясна.
Начинаем с
.
Делаем сдвиг вправо на 2, получаем функцию
.
И теперь - сдвиг вверх на 1:
.
Растяжение и сжатие вдоль оси Oх
Преобразование
задаёт
при 
растяжение вдоль оси Oх в
раз
при 
сжатие вдоль оси Oх в a раз
Например, при
произойдёт растяжение графика вдоль оси абсцисс в
раза.
То есть, каждая точка на графике удалится от оси 0у в
раза.
А, скажем, при
произойдёт сжатие графика в
раза.
Это значит - каждая точка графика приблизится к оси 0у в
раза.
Если точка лежит на оси 0у, она останется на месте.
Пример 1.
Допустим, мы хотим сделать растяжение графика функции
вдоль оси 0х в 2 раза.
Для этого нужно аргумент умножить на
:
И смотрим графики:
Пример 2.
А теперь давайте "сожмём" в 2 раза синусоиду
, умножим аргумент на 2:
.
Растяжение и сжатие вдоль оси Oу
Преобразование
задаёт при
сжатие вдоль оси Oy в
раз при
растяжение вдоль оси Oy в a раз
Пример 1.
Для функции
сделаем преобразование растяжения при
:
.
Точки графика при этом удалятся от оси 0х в
раза.
И будут две неподвижные точки (-2, 0) и (2, 0).
Пример 2.
Построить график функции
.
Выделим под корнем полный квадрат:
Если не учитывать сдвиг вдоль оси 0х (к аргументу прибавляется 3) и сжатие вдоль оси 0у (умножение всей функции на
),то мы имеем дело с функцией
Это полуокружность с центром
и радиусом 2.
За основу берём функцию
,
которую нужно сдвинуть влево на 3:
и сжать в два раза вдоль оси ординат:
.
Симметрия относительно оси Oу
При умножении аргумента функции на
происходит симметрия её графика относительно оси ординат.
Пример 1.
Построим параболу, симметричную данной
,
относительно оси 0у.
В данном уравнении умножим все буквы x на
:
:
Пример 2.
Построить график функции
.
Понятно, какие преобразования нужно сделать с обычным арккосинусом.
Нужно к аргументу прибавить 1 - это сдвиг графика влево,
умножить x на
-
будет симметрия относительно оси 0у, и затем умножить аргумент на
-
произойдёт растяжение графика вдоль оси абсцисс в 2 раза. Смотрим.
Начинаем с
-
будет симметрия относительно оси 0у, и затем умножить аргумент на
-
произойдёт растяжение графика вдоль оси абсцисс в 2 раза. Смотрим.
Сдвиг влево на 1:
Симметрия относительно оси 0у:
И растяжение вдоль 0х:
Симметрия относительно оси Oх
Когда мы умножаем функцию на
,
то её график симметрично отражается относительно оси абсцисс.
Пример 1.
Умножим на
функцию
:
.
Пример 2.
Покажем, как можно построить график котангенса
,
зная как выглядит график тангенса.
Итак, начинаем с функции
.
Делаем сдвиг графика влево на
:
.
И второе преобразование - симметрия относительно оси 0х:
.
Применение модуля к аргументу
После этого преобразования пропадает часть графика слева от оси 0у.В это время кусок графика справа от оси 0у сохраняется и симметрично отражается относительно этой оси.
Пример 1.
Посмотрим на преобразование
.Точки на исходной прямой при x < 0 пропадают, а точки при x > 0 симметрично отражаются относительно оси 0у.
Пример 2.
Построить график функции
.
Начинаем с обычного модуля
.
И выполняем с ним следующие преобразования.
сдвиг вправо на 2.
симметрия графика относительно оси 0х.
сдвиг графика вверх на 3.
применение модуля к аргументу.
Пример 3.
Построить график функции
.
За основу берём, конечно,
.
Сначала
симметрия графика относительно оси 0у.
И затем
применение модуля к аргументу.
Применение модуля к функции
Часть графика выше оси 0х сохраняется.Часть графика под осью 0х пропадает, но симметрично отражается относительно этой оси.
Пример 1.
Сделаем это преобразование с параболой
.
Пример 2.
Возьмём обычную прямую
и, в одном случае, применим модуль аргумента
,
а в другом - модуль всей функции
.
Посмотрите на отличие получающихся графиков.
Пример 3.
Построить график функции
Базовая функция здесь
.
Сначала на 2 умножаем аргумент:
-
сжатие вдоль оси абсцисс в 2 раза.
Далее - модуль ко всей функции:
-
то, что было ниже оси х, - симметрично наверх.
Инверсия относительно оси Oх
Инверсия - очень интересное преобразование. После него график функции становится совершенно другим. Используя инверсию, можно строить довольно сложные графики, которые в обычных условиях получают, используя производные и пределы.
Вот такое действие и задаёт инверсию графика относитеьно оси абсцисс.
Давайте посмотрим, как же перемещаются точки при этом преобразовании.
Допустим, на графике функции f есть точка
и пусть пока
.
В результате инверсии она перейдёт в точку
.
Одна точка переходит в другую:
.
Абсцисса остаётся такой же, а ордината заменяется на обратную величину. Правда, не совсем привычный переход?
И прежде чем переходить к примерам, обсудим ещё несколько моментов.
Во-первых.
Обратите внимание, что если y - ордината точки на исходном графике -
была, условно, маленькой, близкой у нулю, то ордината точки после преобразования
будет по модулю большой. И наоборот.
Посмотрите, как это происходит:
,
,
В какую точку перейдёт точка с ординатой 0 ?Ни в какую. Ведь деление на ноль не определено. Но мы понимаем, что при приближении чисел к нулю, обратные к ним величины по модулю неограниченно растут: при
.
Это значит, что в точке
график функции
будет иметь вертикальную асимптоту.
Верно и обратное. Если ординаты точек исходного графика неограниченно растут
(подразумевается рост абсолютных значений величин, то есть,
или
),
то после инверсии мы получим точки, ординаты которых приближаются к нулю:
.
Во-вторых.
Несложно понять также, какие точки при такой инверсии останутся на месте.
Для каких чисел обратные к ним равны самим числам:
(подразумевается рост абсолютных значений величин, то есть,
или
),то после инверсии мы получим точки, ординаты которых приближаются к нулю:
.
=y?Правильно, только для чисел 1 и - 1.
Поэтому, неподвижными будут все точки вида
:
и
.
Пример 1.
Сделаем инверсию простейшей линейной функции:
Вместо точки (0, 0) теперь будет вертикальная асимптота - ось 0у.
-
неподвижные точки.
Стрелками на картинке показано, как точки на синей прямой переходят в точки на красной гиперболе:
Видно, как "работает" эта обратная пропорциональность - чем точка на прямой ближе
к оси 0х, тем точка на гиперболе от неё дальше:при
.
И наоборот - при удалении точек прямой от оси абсцисс, то есть при
, -
точки на гиперболе приближаются к ней:
.
Пример 2.
Выполним инверсию относительно оси 0х линейной функции
Получим функцию
Прежде всего, находим точку пересечения прямой с осью 0х - точку Е. В ней будет вертикальная асимптота гиперболы.
Далее отмечаем неподвижные точки, они удалены от оси 0х на 1. Это точки C и D.
Для нескольких точек на прямой находим их образ - соответствующую точку на гиперболе: для A - A1, для B - B1, для F - F1, для K - K1.
И можно рисовать требуемый график.
Пример 3.
Сделаем инверсию функции
,
то есть построим график
.
Конечно, мы и так знаем, как выглядит график котангенса. Но хочется получить его с помощью инверсии.
В первую очередь, отмечаем корни тангенса точками чёрного цвета, и точки на расстоянии 1 от оси 0х - красным.
Поскольку в чёрных точках тангенс обращается в ноль, то в них будут вертикальные асимптоты котангенса.Красные точки - неподвижные, так как значение функции
в них равно 1 или - 1.
Далее, обратите внимание, что при целых значениях n и
.
Это означает, что в указанных точках обратные величины приближаются к нулю:
.
Фактически, для котангенса эти точки
будут корнями.
И теперь, когда мы всё знаем ☺, рисуем нашу инверсию.
Инверсия относительно оси Oу
Здесь каждая точка
при
переходит в точку
.
Вместо точки с абсциссой 0 появится горизонтальная асимптота.
Точки, которые после преобразования останутся на месте, находятся от оси 0у на расстоянии 1:
.
Но принцип действия этой инверсии такой же, как и выше:
чем точка была ближе к оси 0у, тем её образ будет дальше, и наоборот. Обратная пропорциональность абсцисс точек при фиксированной ординате.
Пример 1.
Возьмём линейную функцию
из второго примера инверсии относительно оси 0х.
И посмотрим на разницу с инверсией относительно оси 0у.
Уравнение функции после преобразования будет
.
Тоже гипербола, но немного другая, чем в том примере.
Через точку N с абсциссой 0 теперь проходит горизонтальная асимптота.
Точки F и K,
удалённые от оси 0у на 1, после инверсии остались на месте.
И все точки данной прямой изменили свои абсциссы на обратные величины. Для некоторых точек эти переходы показаны стрелками.
Пример 2.
Построим график функции
,
то есть проделаем инверсию относительно оси ординат функции
.
Нарисуем график арктангенса и отметим точку
А с нулевой абсциссой - теперь через неё будет проходить горизонтальная асимптота (то есть, ось 0х) - и точки
В и С, удалённые от оси 0у на 1, - неподвижные точки.
Далее, стрелками покажем, как некоторые чёрные точки на исходном графике в результате
инверсии
переходят в красные точки. Ордината точки не меняется, а абсциссы чёрной точки и соответствующей красной - взаимно-обратные числа. Если чёрные точки приближаются к оси 0у (то есть, их абсциссы стремятся к нулю), то красные - будут от неё удаляться. И наоборот.
Чёрные точки с координатами
при
после инверсии переходят в красные, которые будут приближаться к точке
.
Самой точки M на новом графике не будет, она выколотая (и точка N, кстати, тоже).
Аналогичная ситуация с началом координат.
Если для чёрных точек
(то есть,
и точка
находится в I четверти),
то у новых красных будет
и они приближаются к оси 0х, асимптоте.
(то есть,
и точка
находится в I четверти),то у новых красных будет
и они приближаются к оси 0х, асимптоте.
Пример 3.
Проделаем инверсию квадратичной функции
относительно оси 0у.
То есть, построим график новой функции
.
Нарисуем исходную параболу и отметим на ней точку с абсциссой 0 - чёрным цветом - в ней будет горизонтальная асимптота нового графика.И отметим красным две точки на расстоянии 1 от оси ординат - неподвижные точки.
Мы будем строить инверсионный график, по очереди рассматривая три участка:
при х отрицательных, при х от 0 до 1 и больших 1.
В каждом из этих диапазонов стрелочками отмечаем переход от исходных чёрных точек к новым красным.
Мы помним, что при такой инверсии ордината точки сохраняется, а абсцисса меняется на обратную величину.
И если чёрные точки удалялись от оси 0у, то соответствующие красные - будут к ней приближаться. И наоборот.
Итак, первый промежуток - отрицательный аргумент.
Плавно проводим через красные точки первый кусок искомого графика.
Второй промежуток - аргумент от 0 до 1.
Здесь нужно строить особенно внимательно.
Маленький кусочек исходной параболы при х от 0 до 1 переходит в бесконечную ветку, которая приближается к оси абсцисс.
Третий промежуток - х больше 1.Сначала рисуем стрелки.
И затем проводим через красные точки плавную кривую.
Пример 4.
Построим график функции
Для этого сначала разобьём дробь на сумму трёх слагаемых:
Затем в каждом слагаемом выделим выражение
:
.
Теперь понятно, что мы сможем получить график этой функции,если сделаем инверсию относительно оси 0у графика квадратичной функции
.
Поэтому, строим сначала параболу.
Для нахождения вершины этой параболы выделим полный квадрат:
.
Значит, ветви параболы - вниз, и вершина в точке
.
Отметим сразу на параболе точку
-
в ней будет горизонтальная асимптота искомого графика,а также неподвижные точки
,
через которые он будет проходить.
График после инверсии строим по-очереди на каждом из трёх участков: при
,
и
.
На промежутке
для нескольких чёрных точек показываем их образы - красные точки.
Мы имеем дело с обратной пропорциональностью абсцисс. Поэтому, если точка приближается к оси 0у, то её образ будет от этой оси удаляться.А раз ордината стабилизируется около 2, - красные точки инверсионного графика будут стремиться к асимптоте
.
Проводим через красные точки плавную кривую.
Теперь работаем на участке
.Здесь кусочек параболы переходит в бесконечную ветку, которая тоже приближается к прямой
.
Последний этап:
.
Ещё раз посмотрим на преобразование, которое мы сделали, и на графики.
Видеоуроки
Начать просмотр видеоуроков можно со странички Элементарные функции. Там для каждой функции даётся вводная текстовая часть, а в конце - 8 видеоуроков по элементарным функциям. Видеоуроки на этой страничке относятся уже именно к преобразованию графиков. И они служат продолжением предыдущего обзора.На данный момент записаны не все видео.
Урок 9. Сдвиг вдоль оси Oх
Урок 10.Сдвиг вдоль оси Oу
Урок 11.Растяжение и сжатие вдоль оси Oх
Урок 12.Растяжение и сжатие вдоль оси Oу
Урок 13.Симметрия относительно оси Oy
Урок 14.Симметрия относительно оси Ox
Урок 15.Применение модуля к аргументу
Урок 16.Применение модуля к функции
Урок 17.Инверсия относительно оси Oх
Урок 18.Инверсия относительно оси Oу
Урок 10.Сдвиг вдоль оси Oу
Урок 11.Растяжение и сжатие вдоль оси Oх
Урок 12.Растяжение и сжатие вдоль оси Oу
Урок 13.Симметрия относительно оси Oy
Урок 14.Симметрия относительно оси Ox
Урок 15.Применение модуля к аргументу
Урок 16.Применение модуля к функции
Урок 17.Инверсия относительно оси Oх
Урок 18.Инверсия относительно оси Oу
