уроки → преобразования графиков → преобразования графиков функций

Преобразования графиков функций. Видеоуроки.

Содержание

Сдвиг вдоль оси Oх
Сдвиг вдоль оси Oу
Растяжение и сжатие вдоль оси Oх
Растяжение и сжатие вдоль оси Oу
Симметрия относительно оси Oх
Симметрия относительно оси Oу
Применение модуля к аргументу
Применение модуля к функции
Инверсия относительно оси Oх
Инверсия относительно оси Oу
Видеоуроки

В текстовой части я покажу, какую операцию проделывают с функцией, чтобы добиться того или иного преобразования её графика.
Здесь я дам только основные понятия. Каждый вид преобразования будет сопровождаться подходящими функциями и их графиками.
Более полная картина со многими примерами есть в видеоуроках.
В примерах ниже текущее действие с функцией будет выделяться красным цветом.

Сдвиг вдоль оси Oх

содержание Сдвиг - или параллельный перенос - графика функции вдоль оси абсцисс задаётся следующими преобразованиями.
Пусть сдвиг графика вдоль оси x.
(1) сдвиг графика вдоль оси x сдвиг графика вправо на a единиц
(2) сдвиг графика вдоль оси x сдвиг графика влево на a единиц.
Например, после преобразования сдвиг графика вдоль оси x график первой функции сдвинется на сдвиг графика вдоль оси x вправо.
Смотрим на преобразование  (1):
если сдвиг графика вдоль оси x и сдвиг графика вдоль оси x, то сдвиг графика вдоль оси x.
А после перехода сдвиг графика вдоль оси x произойдёт сдвиг графика на сдвиг графика вдоль оси x влево, поскольку
при сдвиг графика вдоль оси x и сдвиг графика вдоль оси x сдвиг графика вдоль оси x.
Сейчас рассмотрим несколько простых примеров функций и их графиков, где происходит сдвиг вдоль оси 0х.

Пример 1.

Допустим, мы хотим сдвинуть график функции сдвиг графика вдоль оси x на  3  единицы вправо.
Тогда мы используем преобразование  (1) при сдвиг графика вдоль оси x, получим функцию сдвиг графика вдоль оси x и такие графики:
сдвиг графика вдоль оси x
Глядя на картинку, кажется, что расстояние между графиками уменьшается при движении вправо. Но это - смотря какое расстояние иметь ввиду.
По горизонтали оно неизмненно и равно 3. Каждый серый вектор имеет длину 3.
И точки зелёного графика действительно сдвигаются вдоль оси 0х направо на 3.

Пример 2.

Сдвинем гиперболу сдвиг графика вдоль оси x на  2  единицы влево.
Выполняем преобразование  (2) при сдвиг графика вдоль оси x. Новая функция будет иметь вид сдвиг графика вдоль оси x.
Так выглядят графики:
сдвиг графика вдоль оси x

Пример 3.

Что мы получим, сдвинув синусоиду на сдвиг графика вдоль оси x влево?
То есть, с функцией сдвиг графика вдоль оси x сделаем преобразование  (2) при сдвиг графика вдоль оси x.
Новая функция сдвиг графика вдоль оси x.
Была синусоида
сдвиг графика вдоль оси x
а стала косинусоида
сдвиг графика вдоль оси x

Сдвиг вдоль оси Oу

содержание При сдвиг графика вдоль оси у следующие преобразования задают
(3) сдвиг графика вдоль оси у сдвиг графика вниз на а единиц
(4) сдвиг графика вдоль оси у сдвиг графика вверх на а единиц

Пример 1.

Выполним сдвиг графика функции сдвиг графика вдоль оси у на  2  вверх.
Для этого воспользуемся преобразованием  (4) при сдвиг графика вдоль оси у.
Получим функцию сдвиг графика вдоль оси у и такие графики:
сдвиг графика вдоль оси у

Пример 2.

Нужно изобразить график функции сдвиг графика вдоль оси у.
Здесь за основу берём сдвиг графика вдоль оси у и выполняем сдвиг вниз на сдвиг графика вдоль оси у.
сдвиг графика вдоль оси у

Пример 3.

Построить график функции сдвиг графика вдоль оси у.
В первую очередь выделим полный квадрат: сдвиг графика вдоль оси у.
Цепочка преобразований теперь ясна.
Начинаем с сдвиг графика вдоль оси у. Делаем сдвиг вправо на  2, получаем функцию сдвиг графика вдоль оси у.
И теперь - сдвиг вверх на  1: сдвиг графика вдоль оси у.
сдвиг графика вдоль оси у
сдвиг графика вдоль оси у
сдвиг графика вдоль оси у

Растяжение и сжатие вдоль оси Oх

содержание Преобразование растяжение и сжатие графика вдоль оси х задаёт
при растяжение и сжатие графика вдоль оси х растяжение вдоль оси  Oх  в растяжение и сжатие графика вдоль оси х раз
при растяжение и сжатие графика вдоль оси х сжатие вдоль оси  Oх  в a раз
Например, при растяжение и сжатие графика вдоль оси х произойдёт растяжение графика вдоль оси абсцисс в растяжение и сжатие графика вдоль оси х раза. То есть, каждая точка на графике удалится от оси 0у в растяжение и сжатие графика вдоль оси х раза.
А, скажем, при растяжение и сжатие графика вдоль оси х произойдёт сжатие графика в растяжение и сжатие графика вдоль оси х раза. Это значит - каждая точка графика приблизится к оси 0у в растяжение и сжатие графика вдоль оси х раза.
Если точка лежит на оси 0у, она останется на месте.

Пример 1.

Допустим, мы хотим сделать растяжение графика функции растяжение и сжатие графика вдоль оси х вдоль оси 0х в  2  раза.
Для этого нужно аргумент умножить на растяжение и сжатие графика вдоль оси х:
растяжение и сжатие графика вдоль оси х. И смотрим графики:
растяжение и сжатие графика вдоль оси х

Пример 2.

А теперь давайте "сожмём" в  2  раза синусоиду растяжение и сжатие графика вдоль оси х, умножим аргумент на  2: растяжение и сжатие графика вдоль оси х.
растяжение и сжатие графика вдоль оси х

Растяжение и сжатие вдоль оси Oу

содержание Преобразование растяжение и сжатие графика вдоль оси y задаёт
при растяжение и сжатие графика вдоль оси y сжатие вдоль оси  Oy  в растяжение и сжатие графика вдоль оси y раз
при растяжение и сжатие графика вдоль оси y растяжение вдоль оси  Oy  в a раз

Пример 1.

Для функции растяжение и сжатие графика вдоль оси y сделаем преобразование растяжения при растяжение и сжатие графика вдоль оси y:
растяжение и сжатие графика вдоль оси y.
Точки графика при этом удалятся от оси 0х в растяжение и сжатие графика вдоль оси y раза. И будут две неподвижные точки (-2, 0) и (2, 0).
растяжение и сжатие графика вдоль оси y

Пример 2.

Построить график функции растяжение и сжатие графика вдоль оси y.
Выделим под корнем полный квадрат: растяжение и сжатие графика вдоль оси y.
Если не учитывать сдвиг вдоль оси 0х  (к аргументу прибавляется  3)  и сжатие вдоль оси 0у  (умножение всей функции на растяжение и сжатие графика вдоль оси y),
то мы имеем дело с функцией растяжение и сжатие графика вдоль оси y.
Это полуокружность с центром растяжение и сжатие графика вдоль оси y и радиусом  2.
За основу берём функцию растяжение и сжатие графика вдоль оси y,
которую нужно сдвинуть влево на  3: растяжение и сжатие графика вдоль оси y
и сжать в два раза вдоль оси ординат: растяжение и сжатие графика вдоль оси y.
растяжение и сжатие графика вдоль оси y
растяжение и сжатие графика вдоль оси y
растяжение и сжатие графика вдоль оси y

Симметрия относительно оси Oх

содержание симметрия графика относительно оси х
Когда мы умножаем функцию на симметрия графика относительно оси х, то её график симметрично отображается относительно оси абсцисс.

Пример 1.

Умножим на симметрия графика относительно оси х функцию симметрия графика относительно оси х: симметрия графика относительно оси х.
симметрия графика относительно оси х

Пример 2.

Покажем, как можно построить график котангенса симметрия графика относительно оси х, зная как выглядит график тангенса.
Итак, начинаем с функции симметрия графика относительно оси х.
симметрия графика относительно оси х
Делаем сдвиг графика влево на симметрия графика относительно оси х: симметрия графика относительно оси х.
симметрия графика относительно оси х
И второе преобразование - симметрия относительно оси 0х: симметрия графика относительно оси х.
симметрия графика относительно оси х

Симметрия относительно оси Oу

содержание При умножении аргумента функции на симметрия графика относительно оси y симметрия графика относительно оси y происходит симметрия её графика относительно оси ординат.

Пример 1.

Построим параболу, симметричную данной симметрия графика относительно оси y,  относительно оси 0у.
В данном уравнении умножим все буквы x на симметрия графика относительно оси y: симметрия графика относительно оси y
симметрия графика относительно оси y

Пример 2.

Построить график функции симметрия графика относительно оси y.
Понятно, какие преобразования нужно сделать с обычным арккосинусом.
Нужно к аргументу прибавить  1 - это сдвиг графика влево, умножить x на симметрия графика относительно оси y - будет симметрия относительно оси 0у, и затем умножить аргумент на симметрия графика относительно оси y - произойдёт растяжение графика вдоль оси абсцисс в  2  раза. Смотрим.
Начинаем с симметрия графика относительно оси y
симметрия графика относительно оси y
Сдвиг влево на  1: симметрия графика относительно оси y
симметрия графика относительно оси y
Симметрия относительно оси 0у: симметрия графика относительно оси y
симметрия графика относительно оси y
И растяжение вдоль 0х: симметрия графика относительно оси y
симметрия графика относительно оси y

Применение модуля к аргументу

содержание применение модуля к аргументу
После этого преобразования пропадает часть графика слева от оси 0у.
График справа от оси 0у остаётся и симметрично отражается относительно этой оси.

Пример 1.

Посмотрим на преобразование применение модуля к аргументу.
Точки на исходной прямой при x < 0   пропадают, а точки при x > 0   симметрично отражаются относительно оси 0у.
применение модуля к аргументу
применение модуля к аргументу

Пример 2.

Построить график функции применение модуля к аргументу.
Начинаем с обычного модуля применение модуля к аргументу.
применение модуля к аргументу
И выполняем с ним следующие преобразования.
применение модуля к аргументу сдвиг вправо на  2.
применение модуля к аргументу
применение модуля к аргументу симметрия графика относительно оси 0х.
применение модуля к аргументу
применение модуля к аргументу сдвиг графика вверх на  3.
применение модуля к аргументу
применение модуля к аргументу применение модуля к аргументу.
применение модуля к аргументу

Пример 3.

Построить график функции применение модуля к аргументу.
За основу берём, конечно, применение модуля к аргументу.
применение модуля к аргументу
Сначала применение модуля к аргументу симметрия графика относительно оси 0у.
применение модуля к аргументу
И затем применение модуля к аргументу применение модуля к аргументу.
применение модуля к аргументу

Применение модуля к функции

содержание применение модуля к функции
Часть графика выше оси 0х сохраняется.
Часть графика под осью 0х пропадает, но симметрично отражается относительно этой оси.

Пример 1.

Сделаем это преобразование с параболой применение модуля к функции.
применение модуля к функции применение модуля к функции

Пример 2.

Возьмём обычную прямую применение модуля к функции
и, в одном случае, применим модуль аргумента применение модуля к функции,
а в другом - модуль всей функции применение модуля к функции.
Посмотрите отличие получающихся графиков.
применение модуля к функции применение модуля к функции применение модуля к функции

Пример 3.

Построить график функции применение модуля к функции
Базовая функция здесь применение модуля к функции.
применение модуля к функции
Сначала на  2  умножаем аргумент: применение модуля к функции - сжатие вдоль оси абсцисс в  2  раза.
применение модуля к функции
Далее - модуль ко всей функции: применение модуля к функции - то, что было ниже оси х, - симметрично наверх.
применение модуля к функции

Инверсия относительно оси Oх

содержание Инверсия - очень интересное преобразование. После него график функции становится совершенно другим.
Используя инверсию, можно строить довольно сложные графики, которые в обычных условиях получают, используя производные и пределы.
инверсия относительно оси x
Вот такое действие и задаёт инверсию графика относитеьно оси абсцисс.
Давайте посмотрим, как же перемещаются точки при этом преобразовании.
Допустим, на графике функции f есть точка инверсия относительно оси x и пусть пока инверсия относительно оси x.
В результате инверсии она перейдёт в точку инверсия относительно оси x.
Одна точка переходит в другую: инверсия относительно оси x.
Абсцисса остаётся такой же, а ордината заменяется на обратную величину. Правда, не совсем привычный переход?
Прежде чем переходить к примерам, обсудим ещё несколько моментов.
Во-первых.
Обратите внимание, что если y - ордината точки на исходном графике - была, условно, маленькой, близкой у нулю, то ордината точки после преобразования инверсия относительно оси x будет по модулю большой. И наоборот.
Посмотрите, как это происходит:
инверсия относительно оси x, инверсия относительно оси x, инверсия относительно оси x
В какую точку перейдёт точка с ординатой 0 ?
Ни в какую. Ведь деление на ноль не определено.
Но мы понимаем, что при приближении чисел к нулю, обратные к ним величины по модулю неограниченно растут: при инверсия относительно оси x.
Это значит, что в точке инверсия относительно оси x график функции инверсия относительно оси x будет иметь вертикальную асимптоту.
Верно и обратное. Если ординаты точек исходного графика неограниченно растут инверсия относительно оси x
(подразумевается рост абсолютных значений величин, то есть, инверсия относительно оси x),
то после инверсии мы получим точки, ординаты которых приближаются к нулю: инверсия относительно оси x.
Во-вторых.
Несложно понять также, какие точки при такой инверсии останутся на месте.
Для каких чисел обратные к ним равны самим числам: инверсия относительно оси x=y?
Правильно, только для чисел  1  и  - 1.
Поэтому, неподвижными будут все точки вида инверсия относительно оси x: инверсия относительно оси x и инверсия относительно оси x.

Пример 1.

Сделаем инверсию простейшей линейной функции: инверсия относительно оси x
Вместо точки  (0, 0)  теперь будет вертикальная асимптота - ось 0у.
инверсия относительно оси x- неподвижные точки.
Стрелками на картинке показано, как точки на синей прямой переходят в точки на красной гиперболе: инверсия относительно оси x
Видно, как "работает" эта обратная пропорциональность - чем точка на прямой ближе к оси 0х, тем точка на гиперболе от неё дальше:
при инверсия относительно оси x.
И наоборот - при удалении точек прямой от оси абсцисс, то есть при инверсия относительно оси x, - точки на гиперболе приближаются к ней: инверсия относительно оси x.
инверсия относительно оси x

Пример 2.

Выполним инверсию относительно оси 0х линейной функции инверсия относительно оси x
Получим функцию инверсия относительно оси x
инверсия относительно оси x
Прежде всего, находим точку пересечения прямой с осью 0х - точку  Е. В ней будет вертикальная асимптота гиперболы.
Далее отмечаем неподвижные точки, они удалены от оси 0х на  1. Это точки  C  и  D.
Для нескольких точек на прямой находим их образ - соответствующую точку на гиперболе: для A - A1, для B - B1, для F - F1, для K - K1.
И можно рисовать требуемый график.

Пример 3.

Сделаем инверсию функции инверсия относительно оси x, то есть построим график инверсия относительно оси x.
Конечно, мы и так знаем, как выглядит график котангенса. Но хочется получить его с помощью инверсии.
В первую очередь, отмечаем корни тангенса точками чёрного цвета, и точки на расстоянии  1  от оси 0х - красным.
инверсия относительно оси x
Поскольку в чёрных точках тангенс обращается в ноль, то в них будут вертикальные асимптоты котангенса.
Красные точки - неподвижные, так как значение функции инверсия относительно оси x в них равно  1  или  - 1.
инверсия относительно оси x
Далее, обратите внимание, что при целых значениях n и инверсия относительно оси x инверсия относительно оси x.
Это означает, что в указанных точках обратные величины приближаются к нулю: инверсия относительно оси x.
Фактически, для котангенса эти точки инверсия относительно оси x будут корнями.
И теперь, когда мы всё знаем , рисуем нашу инверсию.
инверсия относительно оси x

Инверсия относительно оси Oу

содержание инверсия относительно оси у
Здесь каждая точка инверсия относительно оси у при инверсия относительно оси у переходит в точку инверсия относительно оси у.
Вместо точки с абсциссой  0  появится горизонтальная асимптота.
Точки, которые после преобразования останутся на месте, находятся от оси  0у  на расстоянии  1: инверсия относительно оси у.
Но принцип действия этой инверсии такой же, как и выше:
чем точка была ближе к оси  0у,  тем её образ будет дальше, и наоборот. Обратная пропорциональность абсцисс точек при фиксированной ординате.

Пример 1.

Возьмём линейную функцию инверсия относительно оси у из второго примера инверсии относительно оси 0х.
И посмотрим на разницу с инверсией относительно оси 0у.
Уравнение функции после преобразования будет инверсия относительно оси у.
инверсия относительно оси у
Тоже гипербола, но немного другая, чем в том примере.
Через точку N с абсциссой  0  теперь проходит горизонтальная асимптота.
Точки F и K, удалённые от оси  0у  на  1, после инверсии остались на месте.
И все точки данной прямой изменили свои абсциссы на обратные величины. Для некоторых точек эти переходы показаны стрелками.

Пример 2.

Построим график функции инверсия относительно оси у, то есть проделаем инверсию относительно оси ординат функции инверсия относительно оси у.
Нарисуем график арктангенса и отметим точку А с нулевой абсциссой - теперь через неё будет проходить горизонтальная асимптота (то есть, ось 0х) - и точки В и С, удалённые от оси  0у  на  1,  - неподвижные точки.
инверсия относительно оси у
Далее, стрелками покажем, как некоторые чёрные точки на исходном графике в результате инверсии переходят в красные точки. Ордината точки не меняется, а абсциссы чёрной точки и соответствующей красной - взаимно-обратные числа. Если чёрные точки приближаются к оси 0у (то есть, их абсциссы стремятся к нулю), то красные - будут от неё удаляться. И наоборот.
инверсия относительно оси у
Чёрные точки с координатами инверсия относительно оси у при инверсия относительно оси у
после инверсии переходят в красные, которые будут приближаться к точке инверсия относительно оси у.
Самой точки M на новом графике не будет, она выколотая (и точка N, кстати, тоже).
Аналогичная ситуация с началом координат.
Если для чёрных точек инверсия относительно оси у (то есть, инверсия относительно оси у и точка инверсия относительно оси у находится в  I  четверти),
то у новых красных будет инверсия относительно оси у и они приближаются к оси  0х, асимптоте.
инверсия относительно оси у

Пример 3.

Проделаем инверсию квадратичной функции инверсия относительно оси у относительно оси  0у.
То есть, построим график новой функции инверсия относительно оси у.
Нарисуем исходную параболу и отметим на ней точку с абсциссой  0 - чёрным цветом - в ней будет горизонтальная асимптота нового графика.
И отметим красным две точки на расстоянии  1  от оси ординат - неподвижные точки.
инверсия относительно оси у
Мы будем строить инверсионный график, по очереди рассматривая три участка: при х отрицательных, при х от  0  до  1  и больших  1.
В каждом из этих диапазонов стрелочками отмечаем переход от исходных чёрных точек к новым красным.
Мы помним, что при такой инверсии ордината точки сохраняется, а абсцисса меняется на обратную величину.
И если чёрные точки удалялись от оси  0у, то соответствующие красные - будут к ней приближаться. И наоборот.
Итак, первый промежуток - отрицательный аргумент.
инверсия относительно оси у
Плавно проводим через красные точки первый кусок искомого графика.
инверсия относительно оси у
Второй промежуток - аргумент от  0  до  1.
Здесь нужно строить особенно внимательно. Маленький кусочек исходной параболы при х от  0  до  1  переходит в бесконечную ветку, которая приближается к оси абсцисс.
инверсия относительно оси у
Третий промежуток - х больше  1.
Сначала рисуем стрелки.
инверсия относительно оси у
И затем проводим через красные точки плавную кривую.
инверсия относительно оси у

Пример 4.

Построим график функции инверсия относительно оси у
Для этого сначала разобьём дробь на сумму трёх слагаемых: инверсия относительно оси у.
Затем выделим в каждом выражение инверсия относительно оси у: инверсия относительно оси у.
Теперь понятно, что мы сможем получить график этой функции,
если сделаем инверсию относительно оси  0у  графика квадратичной функции инверсия относительно оси у.
Поэтому, строим сначала параболу.
Для нахождения вершины этой параболы выделим полный квадрат: инверсия относительно оси у.
Значит, ветви параболы - вниз, и вершина в точке инверсия относительно оси у.
Отметим сразу на параболе точку инверсия относительно оси у - в ней будет горизонтальная асимптота искомого графика,
а также неподвижные точки инверсия относительно оси у, через которые он будет проходить.
инверсия относительно оси у
График после инверсии строим по-очереди на каждом из трёх участков: при инверсия относительно оси у, инверсия относительно оси у и инверсия относительно оси у.
На промежутке инверсия относительно оси у для нескольких чёрных точек показываем их образы - красные точки.
Мы имеем дело с обратной пропорциональностью абсцисс. Поэтому, если точка приближается к оси  0у, то её образ будет от этой оси удаляться. А раз ордината стабилизируется около  2, - красные точки инверсионного графика будут стремиться к асимптоте инверсия относительно оси у.
инверсия относительно оси у
Проводим через красные точки плавную кривую.
инверсия относительно оси у
Теперь работаем на участке инверсия относительно оси у.
Здесь кусочек параболы переходит в бесконечную ветку, которая тоже приближается к прямой инверсия относительно оси у.
инверсия относительно оси у
Последний этап: инверсия относительно оси у.
инверсия относительно оси у
Ещё раз посмотрим на преобразование, которое мы сделали, и на графики.
инверсия относительно оси у

Просмотр видеоуроков по преобразованию графиков можно начать со странички Элементарные функции.
Там для каждой функции даётся вводная текстовая часть, а в конце - 8 видеоуроков по элементарным функциям.
Видеоуроки ниже относятся уже именно к преобразованию графиков. Они служат продолжением предыдущего обзора.
На данный момент записаны не все видео.

Видеоуроки

содержание
Урок 9.  Сдвиг вдоль оси Oх
Урок 10.Сдвиг вдоль оси Oу
Урок 11.Растяжение и сжатие вдоль оси Oх
Урок 12.Растяжение и сжатие вдоль оси Oу
Урок 13.Симметрия относительно оси Oх
Урок 14.Симметрия относительно оси Oу
Урок 15.Применение модуля к аргументу
Урок 16.Применение модуля к функции
Урок 17.Инверсия относительно оси Oх
Урок 18.Инверсия относительно оси Oу
Что будет в видеоуроках. Вступление.
Область определения и график функции.
Постоянная функция.
Линейная функция.
Степенная функция.
Квадратичная функция.
Полуокружность.
Модуль.
Дробно-рациональная функция.
Показательная и логарифмическая функции.
Тригонометрические и
обратные тригонометрические функции.
вход для учеников
логин:

пароль:

запомнить меня

изменить логин/пароль