Преобразования графиков функций. Видеоуроки.
Содержание
Сдвиг вдоль оси OхСдвиг вдоль оси Oу
Растяжение и сжатие вдоль оси Oх
Растяжение и сжатие вдоль оси Oу
Симметрия относительно оси Oх
Симметрия относительно оси Oу
Применение модуля к аргументу
Применение модуля к функции
Инверсия относительно оси Oх
Инверсия относительно оси Oу
Видеоуроки
В текстовой части я покажу, какую операцию проделывают с функцией, чтобы добиться того или иного преобразования её графика.
Здесь я дам только основные понятия. Каждый вид преобразования будет сопровождаться подходящими функциями и их графиками.
Более полная картина со многими примерами есть в видеоуроках. В примерах ниже текущее действие с функцией будет выделяться красным цветом.
Сдвиг вдоль оси Oх
содержание Сдвиг - или параллельный перенос - графика функции вдоль оси абсцисс задаётся следующими преобразованиями.Пусть . (1) сдвиг графика вправо на a единиц
(2) сдвиг графика влево на a единиц. Например, после преобразования график первой функции сдвинется на вправо.
Смотрим на преобразование (1):
если и , то . А после перехода произойдёт сдвиг графика на влево, поскольку
при и . Сейчас рассмотрим несколько простых примеров функций и их графиков, где происходит сдвиг вдоль оси 0х.
Пример 1.
Допустим, мы хотим сдвинуть график функции на 3 единицы вправо.Тогда мы используем преобразование (1) при , получим функцию и такие графики: Глядя на картинку, кажется, что расстояние между графиками уменьшается при движении вправо. Но это - смотря какое расстояние иметь ввиду.
По горизонтали оно неизмненно и равно 3. Каждый серый вектор имеет длину 3.
И точки зелёного графика действительно сдвигаются вдоль оси 0х направо на 3.
Пример 2.
Сдвинем гиперболу на 2 единицы влево.Выполняем преобразование (2) при . Новая функция будет иметь вид .
Так выглядят графики:
Пример 3.
Что мы получим, сдвинув синусоиду на влево?То есть, с функцией сделаем преобразование (2) при .
Новая функция .
Была синусоида а стала косинусоида
Сдвиг вдоль оси Oу
содержание При следующие преобразования задают (3) сдвиг графика вниз на а единиц(4) сдвиг графика вверх на а единиц
Пример 1.
Выполним сдвиг графика функции на 2 вверх. Для этого воспользуемся преобразованием (4) при . Получим функцию и такие графики:Пример 2.
Нужно изобразить график функции . Здесь за основу берём и выполняем сдвиг вниз на .Пример 3.
Построить график функции . В первую очередь выделим полный квадрат: . Цепочка преобразований теперь ясна. Начинаем с . Делаем сдвиг вправо на 2, получаем функцию . И теперь - сдвиг вверх на 1: .Растяжение и сжатие вдоль оси Oх
содержание Преобразование задаётпри растяжение вдоль оси Oх в раз
при сжатие вдоль оси Oх в a раз Например, при произойдёт растяжение графика вдоль оси абсцисс в раза. То есть, каждая точка на графике удалится от оси 0у в раза. А, скажем, при произойдёт сжатие графика в раза. Это значит - каждая точка графика приблизится к оси 0у в раза. Если точка лежит на оси 0у, она останется на месте.
Пример 1.
Допустим, мы хотим сделать растяжение графика функции вдоль оси 0х в 2 раза.Для этого нужно аргумент умножить на : . И смотрим графики:
Пример 2.
А теперь давайте "сожмём" в 2 раза синусоиду , умножим аргумент на 2: .Растяжение и сжатие вдоль оси Oу
содержание Преобразование задаётпри сжатие вдоль оси Oy в раз
при растяжение вдоль оси Oy в a раз
Пример 1.
Для функции сделаем преобразование растяжения при : . Точки графика при этом удалятся от оси 0х в раза. И будут две неподвижные точки (-2, 0) и (2, 0).Пример 2.
Построить график функции . Выделим под корнем полный квадрат: . Если не учитывать сдвиг вдоль оси 0х (к аргументу прибавляется 3) и сжатие вдоль оси 0у (умножение всей функции на ),то мы имеем дело с функцией .
Это полуокружность с центром и радиусом 2. За основу берём функцию , которую нужно сдвинуть влево на 3: и сжать в два раза вдоль оси ординат: .
Симметрия относительно оси Oх
содержание Когда мы умножаем функцию на , то её график симметрично отображается относительно оси абсцисс.Пример 1.
Умножим на функцию : .Пример 2.
Покажем, как можно построить график котангенса , зная как выглядит график тангенса. Итак, начинаем с функции . Делаем сдвиг графика влево на : . И второе преобразование - симметрия относительно оси 0х: .Симметрия относительно оси Oу
содержание При умножении аргумента функции на происходит симметрия её графика относительно оси ординат.Пример 1.
Построим параболу, симметричную данной , относительно оси 0у. В данном уравнении умножим все буквы x на :Пример 2.
Построить график функции . Понятно, какие преобразования нужно сделать с обычным арккосинусом.Нужно к аргументу прибавить 1 - это сдвиг графика влево, умножить x на - будет симметрия относительно оси 0у, и затем умножить аргумент на - произойдёт растяжение графика вдоль оси абсцисс в 2 раза. Смотрим. Начинаем с Сдвиг влево на 1: Симметрия относительно оси 0у: И растяжение вдоль 0х:
Применение модуля к аргументу
содержание После этого преобразования пропадает часть графика слева от оси 0у.График справа от оси 0у остаётся и симметрично отражается относительно этой оси.
Пример 1.
Посмотрим на преобразование .Точки на исходной прямой при x < 0 пропадают, а точки при x > 0 симметрично отражаются относительно оси 0у.
Пример 2.
Построить график функции . Начинаем с обычного модуля . И выполняем с ним следующие преобразования.сдвиг вправо на 2. симметрия графика относительно оси 0х. сдвиг графика вверх на 3. применение модуля к аргументу.
Пример 3.
Построить график функции . За основу берём, конечно, . Сначала симметрия графика относительно оси 0у. И затем применение модуля к аргументу.Применение модуля к функции
содержание Часть графика выше оси 0х сохраняется.Часть графика под осью 0х пропадает, но симметрично отражается относительно этой оси.
Пример 1.
Сделаем это преобразование с параболой .Пример 2.
Возьмём обычную прямую и, в одном случае, применим модуль аргумента , а в другом - модуль всей функции . Посмотрите отличие получающихся графиков.Пример 3.
Построить график функции Базовая функция здесь . Сначала на 2 умножаем аргумент: - сжатие вдоль оси абсцисс в 2 раза. Далее - модуль ко всей функции: - то, что было ниже оси х, - симметрично наверх.Инверсия относительно оси Oх
содержание Инверсия - очень интересное преобразование. После него график функции становится совершенно другим.Используя инверсию, можно строить довольно сложные графики, которые в обычных условиях получают, используя производные и пределы. Вот такое действие и задаёт инверсию графика относитеьно оси абсцисс.
Давайте посмотрим, как же перемещаются точки при этом преобразовании. Допустим, на графике функции f есть точка и пусть пока . В результате инверсии она перейдёт в точку . Одна точка переходит в другую: . Абсцисса остаётся такой же, а ордината заменяется на обратную величину. Правда, не совсем привычный переход?
Прежде чем переходить к примерам, обсудим ещё несколько моментов. Во-первых. Обратите внимание, что если y - ордината точки на исходном графике - была, условно, маленькой, близкой у нулю, то ордината точки после преобразования будет по модулю большой. И наоборот. Посмотрите, как это происходит: , , В какую точку перейдёт точка с ординатой 0 ?
Ни в какую. Ведь деление на ноль не определено.
Но мы понимаем, что при приближении чисел к нулю, обратные к ним величины по модулю неограниченно растут: при .
Это значит, что в точке график функции будет иметь вертикальную асимптоту. Верно и обратное. Если ординаты точек исходного графика неограниченно растут
(подразумевается рост абсолютных значений величин, то есть, ),
то после инверсии мы получим точки, ординаты которых приближаются к нулю: . Во-вторых. Несложно понять также, какие точки при такой инверсии останутся на месте.
Для каких чисел обратные к ним равны самим числам: =y?
Правильно, только для чисел 1 и - 1.
Поэтому, неподвижными будут все точки вида : и .
Пример 1.
Сделаем инверсию простейшей линейной функции: Вместо точки (0, 0) теперь будет вертикальная асимптота - ось 0у.- неподвижные точки.
Стрелками на картинке показано, как точки на синей прямой переходят в точки на красной гиперболе:
Видно, как "работает" эта обратная пропорциональность - чем точка на прямой ближе к оси 0х, тем точка на гиперболе от неё дальше:
при .
И наоборот - при удалении точек прямой от оси абсцисс, то есть при , - точки на гиперболе приближаются к ней: .
Пример 2.
Выполним инверсию относительно оси 0х линейной функции Получим функцию Прежде всего, находим точку пересечения прямой с осью 0х - точку Е. В ней будет вертикальная асимптота гиперболы.Далее отмечаем неподвижные точки, они удалены от оси 0х на 1. Это точки C и D.
Для нескольких точек на прямой находим их образ - соответствующую точку на гиперболе: для A - A1, для B - B1, для F - F1, для K - K1.
И можно рисовать требуемый график.
Пример 3.
Сделаем инверсию функции , то есть построим график .Конечно, мы и так знаем, как выглядит график котангенса. Но хочется получить его с помощью инверсии. В первую очередь, отмечаем корни тангенса точками чёрного цвета, и точки на расстоянии 1 от оси 0х - красным. Поскольку в чёрных точках тангенс обращается в ноль, то в них будут вертикальные асимптоты котангенса.
Красные точки - неподвижные, так как значение функции в них равно 1 или - 1. Далее, обратите внимание, что при целых значениях n и .
Это означает, что в указанных точках обратные величины приближаются к нулю: .
Фактически, для котангенса эти точки будут корнями.
И теперь, когда мы всё знаем ☺, рисуем нашу инверсию.
Инверсия относительно оси Oу
содержание Здесь каждая точка при переходит в точку . Вместо точки с абсциссой 0 появится горизонтальная асимптота. Точки, которые после преобразования останутся на месте, находятся от оси 0у на расстоянии 1: . Но принцип действия этой инверсии такой же, как и выше:чем точка была ближе к оси 0у, тем её образ будет дальше, и наоборот. Обратная пропорциональность абсцисс точек при фиксированной ординате.
Пример 1.
Возьмём линейную функцию из второго примера инверсии относительно оси 0х.И посмотрим на разницу с инверсией относительно оси 0у. Уравнение функции после преобразования будет . Тоже гипербола, но немного другая, чем в том примере.
Через точку N с абсциссой 0 теперь проходит горизонтальная асимптота.
Точки F и K, удалённые от оси 0у на 1, после инверсии остались на месте.
И все точки данной прямой изменили свои абсциссы на обратные величины. Для некоторых точек эти переходы показаны стрелками.
Пример 2.
Построим график функции , то есть проделаем инверсию относительно оси ординат функции . Нарисуем график арктангенса и отметим точку А с нулевой абсциссой - теперь через неё будет проходить горизонтальная асимптота (то есть, ось 0х) - и точки В и С, удалённые от оси 0у на 1, - неподвижные точки. Далее, стрелками покажем, как некоторые чёрные точки на исходном графике в результате инверсии переходят в красные точки. Ордината точки не меняется, а абсциссы чёрной точки и соответствующей красной - взаимно-обратные числа. Если чёрные точки приближаются к оси 0у (то есть, их абсциссы стремятся к нулю), то красные - будут от неё удаляться. И наоборот. Чёрные точки с координатами припосле инверсии переходят в красные, которые будут приближаться к точке .
Самой точки M на новом графике не будет, она выколотая (и точка N, кстати, тоже). Аналогичная ситуация с началом координат.
Если для чёрных точек (то есть, и точка находится в I четверти),
то у новых красных будет и они приближаются к оси 0х, асимптоте.
Пример 3.
Проделаем инверсию квадратичной функции относительно оси 0у. То есть, построим график новой функции . Нарисуем исходную параболу и отметим на ней точку с абсциссой 0 - чёрным цветом - в ней будет горизонтальная асимптота нового графика.И отметим красным две точки на расстоянии 1 от оси ординат - неподвижные точки. Мы будем строить инверсионный график, по очереди рассматривая три участка: при х отрицательных, при х от 0 до 1 и больших 1.
В каждом из этих диапазонов стрелочками отмечаем переход от исходных чёрных точек к новым красным.
Мы помним, что при такой инверсии ордината точки сохраняется, а абсцисса меняется на обратную величину.
И если чёрные точки удалялись от оси 0у, то соответствующие красные - будут к ней приближаться. И наоборот. Итак, первый промежуток - отрицательный аргумент. Плавно проводим через красные точки первый кусок искомого графика. Второй промежуток - аргумент от 0 до 1.
Здесь нужно строить особенно внимательно. Маленький кусочек исходной параболы при х от 0 до 1 переходит в бесконечную ветку, которая приближается к оси абсцисс. Третий промежуток - х больше 1.
Сначала рисуем стрелки. И затем проводим через красные точки плавную кривую.
Пример 4.
Построим график функции Для этого сначала разобьём дробь на сумму трёх слагаемых: . Затем выделим в каждом выражение : . Теперь понятно, что мы сможем получить график этой функции,если сделаем инверсию относительно оси 0у графика квадратичной функции . Поэтому, строим сначала параболу.
Для нахождения вершины этой параболы выделим полный квадрат: .
Значит, ветви параболы - вниз, и вершина в точке . Отметим сразу на параболе точку - в ней будет горизонтальная асимптота искомого графика,
а также неподвижные точки , через которые он будет проходить. График после инверсии строим по-очереди на каждом из трёх участков: при , и . На промежутке для нескольких чёрных точек показываем их образы - красные точки.
Мы имеем дело с обратной пропорциональностью абсцисс. Поэтому, если точка приближается к оси 0у, то её образ будет от этой оси удаляться. А раз ордината стабилизируется около 2, - красные точки инверсионного графика будут стремиться к асимптоте . Проводим через красные точки плавную кривую. Теперь работаем на участке .
Здесь кусочек параболы переходит в бесконечную ветку, которая тоже приближается к прямой . Последний этап: . Ещё раз посмотрим на преобразование, которое мы сделали, и на графики.
Просмотр видеоуроков по преобразованию графиков можно начать со странички Элементарные функции.
Там для каждой функции даётся вводная текстовая часть, а в конце - 8 видеоуроков по элементарным функциям.
Видеоуроки ниже относятся уже именно к преобразованию графиков. Они служат продолжением предыдущего обзора.
На данный момент записаны не все видео.
Видеоуроки
содержание
Урок 9. Сдвиг вдоль оси Oх
Урок 10.Сдвиг вдоль оси Oу
Урок 11.Растяжение и сжатие вдоль оси Oх
Урок 12.Растяжение и сжатие вдоль оси Oу
Урок 13.Симметрия относительно оси Oх
Урок 14.Симметрия относительно оси Oу
Урок 15.Применение модуля к аргументу
Урок 16.Применение модуля к функции
Урок 17.Инверсия относительно оси Oх
Урок 18.Инверсия относительно оси Oу
Урок 10.Сдвиг вдоль оси Oу
Урок 11.Растяжение и сжатие вдоль оси Oх
Урок 12.Растяжение и сжатие вдоль оси Oу
Урок 13.Симметрия относительно оси Oх
Урок 14.Симметрия относительно оси Oу
Урок 15.Применение модуля к аргументу
Урок 16.Применение модуля к функции
Урок 17.Инверсия относительно оси Oх
Урок 18.Инверсия относительно оси Oу