изменить логин/пароль
Элементарные функции и их графики. Видеоуроки.
В этой текстовой части я даю основные понятия, определения и минимум примеров.Более полная картина со многими подробными примерами есть в видеоуроках. Функции, которые мы рассмотрим ниже, а также те, которые получаются из них применением арифметических операций и композиции, называют элементарными. Я не буду стремиться к тому, чтобы дать точные определения и свойства. Основной упор делается на графики. А если вы помните, как выглядит тот или иной график, - вы видите по нему многие свойства функции. Картинки запоминать проще и интереснее, чем формулы ! Но перед тем, как переходить к элементарным функциям, остановимся на паре важных моментов.
Область определения функции
Область определения функции
- есть множество значений х, для которых определены все операции, входящие в состав этой функции.
Обозначается
или
.
От английского «Definition» - «определение».
Например, область определения функции
будет состоять из чисел, для которых определён квадратный корень:
Найдём х, при которых выполняется это требование, то есть решим неравенство выше.
Значит,
.
График функции
Графиком функции
называется множество всех точек плоскости с координатами
,
которые удовлетворяют данному уравнению.
Запишем это так:
точка
лежит на графике
- решение уравнения
.
Таким образом, график функции - это множество решений уравнения
,
изображённое точками на плоскости.
Например, есть линейная функция
,
и её график - прямую - мы видим на картинке.
Посмотрите, точки
лежат на графике.
Их координаты должны быть решениями уравнения
.
Действительно, равенство
-
верное, поэтому точка А лежит на графике;
аналогично, равенство
-
тоже верное, поэтому точка С лежит на графике;
и также верно
-
значит и точка D тоже находится на прямой.
Взглянем теперь на точки
.
Будут ли их координаты решениями нашего уравнения ?
Поскольку
и
,
то это означает, что точки E и H не находятся на графике.Аналогично проверяется точка F.
Элементарные функции и их графики
Постоянная функция
,
Здесь const - какое-то фиксированное число.
Графиком постоянной функции является прямая, параллельная оси 0х.
Линейная функция
,
Здесь k и b - заданные числа.
Графиком линейной функции является прямая линия - любая прямая, кроме вертикальной. Обозначим за
угол наклона прямой к оси 0х.Точнее, это угол поворота против часовой стрелки положительного направления оси 0х до совмещения с прямой,
.
называется угловым коэффициентом прямой,b - есть ордината точки пересечения прямой с осью 0y. Как быстро построить прямую, зная k и b, я показываю в видеоуроках. Некоторые случаи расположения прямой смотрим на каринках.
Степенная функция
Задаётся уравнением
В зависимости от p её область определения может быть разной.
Для простоты картины мы рассмотрим только рациональные р.
При p положительном и чётном, то есть
область определения
.
Типичный представитель этого типа - знакомая всем парабола, которая задаётся уравнением
.
Мы видим, что графики симметричны относительно оси 0y, то есть наша степенная функция - чётная.Графики расположены в 1 и 2 четверти – значит функция принимает только неотрицательные значения.
Все графики проходят через точку
.Ещё можно заметить, что чем больше р, тем график как бы теснее расположен к оси 0х в окрестности начала координат.
Если p положительно и нечётно, то есть
область определения
.
Представитель этого типа задаётся уравнением
.
Графики симметричны относительно начала координат, то есть наша степенная функция - нечётная.Опять же, графики проходят через точку
.
Следующий случай, когда p - положительная рациональная дробь, то есть
.В этом случае область определения
.
Наверное, самой знакомой здесь будет функция
или, что то же самое,
.
Касательной к каждому графику в точке 0 является ось 0у.Чем меньше показатель степени, тем график теснее подходит к оси 0у в районе нуля. Хочу обратить внимание, что, например, функции
и
-
разные функции !
У них разные области определения и разные графики.
Степень определена только при неотрицательных х, а корень – при всех.
Конечно, при
,
и на этом участке, то есть в первой четверти, функции совпадают. Посмотрите на их графики.
Для
,
то есть для отрицательных целых р, модуль которых – чётное число,область определения - все числа, кроме нуля:
.
Степенная функция в этом случае - чётная, все её значения - положительны.
Следующий класс степенных функций - с отрицательным целым показателем степени, модуль которого есть нечётное число.
, у них
.Типичный и всем известный представитель этого класса - обратная пропорциональность
,
графиком которого является гипербола.
И последний случай, когда p - отрицательная рациональная дробь, то есть
.В этом случае область определения
.
Здесь опять есть кажущееся немного непривычным несовпадение функций.
,
и её график находится только в I четверти и
,
график расположен в I и II четвертях.
Функции тоже разные, хотя для положительных х их значения совпадают. Вот их графики.
Прежде, чем двигаться дальше, хочу сделать пару замечаний. Давайте посмотрим на графики степенных функций для
и
при неотрицательных х, то есть в I четверти.
Первое.
При
графики имеют выпуклость вверх, а при
- вниз.Кстати, при p = 1 мы получим прямую
.И все эти графики проходят через точку
.
Второе.
Если у двух функций показатели степени являются обратными друг другу числами, то эти функции взаимно-обратны.Взаимно-обратных функций мы коснёмся ниже. А сейчас я скажу про них "на пальцах". Две функции являются взаимно-обратными, если результаты их действий компенсируют друг друга.
Например, функции
-
взаимно-обратные, поскольку
.
И мы опять вернулись к х.
На входе был х, на выходе - тоже х. То есть, второе действие компенсировало первое.
-
взаимно-обратные, поскольку
.
И мы опять вернулись к х.
Аналогично, пары функций
, а также
будут взаимно-обратными на промежутке
.
Графики взаимно-обратных функций симметричны относительно прямой
, а также
будут взаимно-обратными на промежутке
.
.
Квадратичная функция
Квадратичная функция
получается из степенных с использованием арифметических операций.
Область определения
,
графиком является парабола.
Ветви параболы направлены вверх при а > 0 и вниз при а < 0.
Абсцисса вершины параболы находится так
,
парабола симметрична относительно вертикальной прямой
.
Для построения параболы находим
,
пару точек и используем симметрию.Подробные примеры построения парабол смотрим в видеоуроках.
Полуокружность
Функция вида
довольно интересная и часто встречается в разных заданиях.Она задаёт или полуокружность с центром в точке на оси 0х или одну точку или пустое множество. Например, функция
задаёт полуокружность с центром в точке
радиуса 3.
А уравнение
задаёт пустое множество точек, поскольку не имеет решений.
Модуль
,
Поскольку
, и здесь применяется композиция двух степенных функций – квадрата и корня – то функция
- элементарная.
Примеры построения графиков с модулем смотрим в видеоуроках.
Дробно-рациональная функция
Последнее требование означает, что а и b не могут равняться нулю одновременно.
Область определения состоит из чисел, при которых
,
поэтому
\
.
График – гипербола, асимптоты которой или являются координатными осями или им параллельны.
Дробно-рациональными будут, например, функции
.
.
Показательная функция
Значения показательной функции всегда положительны. Это значит, что её график находится выше оси 0х.Ось абсцисс является горизонтальной асимптотой графика. При а > 1 - функция возрастающая, при а < 1 - убывающая.
Логарифмическая функция
Напомню определение логарифма:
при
Согласно этому определению, аргумент логарифма х обязан быть положительным: х > 0.
Ось ординат является вертикальной асимптотой графика логарифма.
При а > 1 - функция возрастающая, при а < 1 - убывающая.
Взаимно-обратные функции
Две функции
называются взаимно-обратными,
если область определения каждой из них совпадает с множеством значений другой, коротко:
,
и если результат последовательного действия этих функций есть тождественное преобразование:
и
Графики взаимно-обратных функций симметричны относительно прямой
называются взаимно-обратными,если область определения каждой из них совпадает с множеством значений другой, коротко:
,и если результат последовательного действия этих функций есть тождественное преобразование:
и
.
Примеры взаимно-обратных степенных функций приводились выше.
Логарифмическая и показательная функции с одинаковым основанием являются взаимно-обратными.
Например, функции
-
взаимно-обратны, поскольку
и
Их графики, как и положено, симметричны относительно прямой
-
взаимно-обратны, поскольку
и
.
Другие примеры взаимно-обратных функций есть в видеоуроках.
Тригонометрические функции
Начнём с определений.Пусть х - угол, отсчитываемый против часовой стрелки от положительного направления оси 0х.
И пусть А - точка на единичной окружности, соответствующая этому углу. Синусом угла х называется ордината точки А, косинусом называется её абсцисса.
Это определение является расширением понятий синуса и косинуса, используемое в геометрии.
Понятно, что функции синус и косинус определены для всех углов:
для
и для
.
Посмотрите на графики этих функций.
Правда, похожи ? Сейчас я немного забегу вперёд и скажу про пару преобразований графиков. О них будет разговор на следующих уроках.Поскольку
,
то график косинуса получается сдвигом синусоиды на
влево. Это та же самая кривая.
Тангенс и котангенс можно определить так:
и тогда для функции
,
поскольку
,
поскольку
и тогда для функции
,
поскольку
,
поскольку
Поскольку
,
то график тангенса сдвигаем вправо на
,
а затем симметрично отражаем относительно оси 0х.
Обратные тригонометрические функции
Функция синус по углу выдаёт число в диапазоне от - 1 до 1.Значит, обратная функция - арксинус - должна работать в обратную сторону: на входе - число от - 1 до 1, на выходе - угол. Например, для числа
какой из углов выбрать ?
Мы же знаем, что и
, и
, и
и так далее.
Углов, синус которых равен
,
бесконечно много.
Но, чтобы обратная функция была действительно функцией, то есть, чтобы она имела одно значение, нужно это значение выбрать.
Так вот, диапазон значений для арксинуса берут
,
и таким образом,
арксинусом числа
называется такой угол
,
синус которого равен x.
Так появляется функция
с областью определения
и множеством значений
.
Поэтому, например,
, a
.
Выбираются углы из промежутка
.
Как и положено, графики взаимно-обратных функций
с областью определения
и
,
симметричны относительно прямой
.
Для функции
с областью определения
обратной будет функция
,
,
,
которая определяется так:
арккосинусом числа
называется такой угол
,
косинус которого равен x.
арктангенсом числа
называется такой угол
,
тангенс которого равен x.
Таким образом, функция
-
обратная для функции
арккотангенсом числа
называется такой угол
,
котангенс которого равен x.
Таким образом, функция
-
обратная для функции
-
обратная для функции
Видеоуроки
Урок 1.Что будет в видеоуроках. Вступление.
Урок 2.Область определения и график функции.
Урок 3.Постоянная функция. Линейная функция.
Урок 4.Степенная функция.
Урок 5.Квадратичная функция.
Урок 6.Полуокружность. Модуль. Дробно-рациональная функция.
Урок 7.Показательная и логарифмическая функции.
Урок 8.Тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
Урок 2.Область определения и график функции.
Урок 3.Постоянная функция. Линейная функция.
Урок 4.Степенная функция.
Урок 5.Квадратичная функция.
Урок 6.Полуокружность. Модуль. Дробно-рациональная функция.
Урок 7.Показательная и логарифмическая функции.
Урок 8.Тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
