
Элементарные функции и их графики. Видеоуроки.
Содержание
Область определения функцииГрафик функции
Элементарные функции и их графики
Постоянная функция
Линейная функция
Степенная функция
Квадратичная функция
Полуокружность
Модуль
Дробно-рациональная функция
Показательная функция
Логарифмическая функция
Взаимно-обратные функции
Тригонометрические функции
Обратные тригонометрические функции
Видеоуроки
В этой текстовой части я даю основные понятия и минимум примеров.
Более полная картина с многими подробными примерами есть в видеоуроках. Функции, которые мы рассмотрим ниже, а также те, которые получаются из них применением арифметических операций и композиции, называют элементарными. Я не буду стремиться к тому, чтобы дать точные определения и свойства. Основной упор делается на графики. А если вы помните, как выглядит тот или иной график, - вы видите по нему многие свойства функции. Картинки запоминать проще и интереснее, чем формулы ! Но перед тем, как переходить к элементарным функциям, остановимся на паре важных моментов.
Область определения функции
содержание Область определения функции






График функции
содержание Графиком функции









Их координаты должны быть решениями уравнения


аналогично, равенство

и также верно


Поскольку


Аналогично проверяется точка F.
Элементарные функции и их графики
содержаниеПостоянная функция


Здесь const - какое-то фиксированное число.
Её графиком является прямая, параллельная оси 0х.

Линейная функция


Здесь k и b - заданные числа.
Графиком линейной функции является прямая линия. Может быть любая прямая, кроме вертикальной. Обозначим за

Точнее - это угол поворота против часовой стрелки положительного направления оси 0х до совмещения с прямой,


b - есть ордината точки пересечения прямой с осью 0y. Как быстро построить прямую, зная k и b, я показываю в видеоуроках. Некоторые случаи расположения прямой смотрим на каринках.



Степенная функция
Задаётся уравнением
В зависимости от p её область определения может быть разной.
Для простоты картины мы рассмотрим только рациональные р. При p положительном и чётном, то есть


Типичный представитель этого типа - знакомая всем парабола, которая задаётся уравнением


Графики расположены в 1 и 2 четверти – значит функция принимает только неотрицательные значения.
Все графики проходят через точку

Ещё можно заметить, что чем больше р, тем график как бы теснее расположен к оси 0х в окрестности начала координат. Если p положительно и нечётно, то есть


Представитель этого типа задаётся уравнением


Опять же, графики проходят через точку


В этом случае область определения




Чем меньше показатель степени, тем график теснее подходит к оси 0у в районе нуля. Хочу обратить внимание, что, например, функции


У них разные области определения и разные графики.
Степень определена только при неотрицательных х, а корень – при всех. Конечно, при




область определения - все числа, кроме нуля:

Степенная функция в этом случае - чётная, все её значения - положительны.



Типичный и всем известный представитель этого класса - обратная пропорциональность



В этом случае область определения



И

Функции тоже разные, хотя для положительных х их значения совпадают. Вот их графики.







Кстати, при p = 1 мы получим прямую

И все эти графики проходят через точку

Взаимно-обратных функций мы коснёмся ниже. А сейчас я скажу про них "на пальцах". Две функции являются взаимно-обратными, если результаты их действий компенсируют друг друга.
Например, функции
-
взаимно-обратные, поскольку
.
И мы опять вернулись к х.
На входе был х, на выходе - тоже х. То есть, второе действие компенсировало первое.


Аналогично, пары функций
, а также
будут взаимно-обратными на промежутке
.
Графики взаимно-обратных функций симметричны относительно прямой




Квадратичная функция
Квадратичная функция
Область определения

Ветви параболы направлены вверх при а > 0 и вниз при а < 0. Абсцисса вершины параболы находится так



Подробные примеры построения парабол смотрим в видеоуроках. содержание
Полуокружность
Функция вида
Она задаёт или полуокружность с центром в точке на оси 0х или одну точку или пустое множество. Например, функция




Модуль





Дробно-рациональная функция

Последнее требование означает, что а и b не могут равняться нулю одновременно.
Область определения состоит из чисел, при которых





Показательная функция

Значения показательной функции всегда положительны. Это значит, что её график находится выше оси 0х.
Ось абсцисс является горизонтальной асимптотой графика.
При а > 1 - функция возрастающая, при а < 1 - убывающая.


Логарифмическая функция

Напомню определение логарифма:

Согласно этому определению, аргумент логарифма х обязан быть положительным: х > 0. Ось ординат является вертикальной асимптотой графика логарифма.
При а > 1 - функция возрастающая, при а < 1 - убывающая.


Взаимно-обратные функции
Две функции
если область определения каждой из них совпадает с множеством значений другой, коротко:

и если результат последовательного действия этих функций есть тождественное преобразование:


Например, функции


Их графики, как и положено, симметричны относительно прямой


Тригонометрические функции
Начнём с определений.Пусть х - угол, отсчитываемый против часовой стрелки от положительного направления оси 0х.
И пусть А - точка на единичной окружности, соответствующая этому углу. Синусом угла х называется ордината точки А, косинусом называется её абсцисса.




Поскольку












Поскольку


Обратные тригонометрические функции
Функция синус по углу выдаёт число в диапазоне от - 1 до 1.Значит, обратная функция - арксинус - должна работать в обратную сторону: на входе - число от - 1 до 1, на выходе - угол.
Например, для числа

Мы же знаем, что и




Но, чтобы обратная функция была действительно функцией, то есть, чтобы она имела одно значение, нужно это значение выбрать. Так вот, диапазон значений для арксинуса берут

арксинусом числа
















обратной будет функция
















содержание
Видеоуроки
Урок 1.Что будет в видеоуроках. Вступление.Урок 2.Область определения и график функции.
Урок 3.Постоянная функция. Линейная функция.
Урок 4.Степенная функция.
Урок 5.Квадратичная функция.
Урок 6.Полуокружность. Модуль. Дробно-рациональная функция.
Урок 7.Показательная и логарифмическая функции.
Урок 8.Тригонометрические и обратные тригонометрические функции.