изменить логин/пароль
Элементарные функции и их графики. Видеоуроки.
В этой текстовой части я даю основные понятия, определения и минимум примеров.Более полная картина со многими подробными примерами есть в видеоуроках. Функции, которые мы рассмотрим ниже, а также те, которые получаются из них применением арифметических операций и композиции, называют элементарными. Я не буду стремиться к тому, чтобы дать точные определения и свойства. Основной упор делается на графики. А если вы помните, как выглядит тот или иной график, - вы видите по нему многие свойства функции. Картинки запоминать проще и интереснее, чем формулы ! Но перед тем, как переходить к элементарным функциям, остановимся на паре важных моментов.
Область определения функции
Область определения функции







График функции
Графиком функции









Их координаты должны быть решениями уравнения







Аналогично проверяется точка F.
Элементарные функции и их графики
Постоянная функция


Здесь const - какое-то фиксированное число.
Графиком постоянной функции является прямая, параллельная оси 0х.

Линейная функция


Здесь k и b - заданные числа.
Графиком линейной функции является прямая линия - любая прямая, кроме вертикальной. Обозначим за

Точнее, это угол поворота против часовой стрелки положительного направления оси 0х до совмещения с прямой,


b - есть ордината точки пересечения прямой с осью 0y. Как быстро построить прямую, зная k и b, я показываю в видеоуроках. Некоторые случаи расположения прямой смотрим на каринках.






Степенная функция
Задаётся уравнением
В зависимости от p её область определения может быть разной.
Для простоты картины мы рассмотрим только рациональные р.
При p положительном и чётном, то есть




Графики расположены в 1 и 2 четверти – значит функция принимает только неотрицательные значения.
Все графики проходят через точку

Ещё можно заметить, что чем больше р, тем график как бы теснее расположен к оси 0х в окрестности начала координат.
Если p положительно и нечётно, то есть




Опять же, графики проходят через точку

Следующий случай, когда p - положительная рациональная дробь, то есть

В этом случае область определения




Чем меньше показатель степени, тем график теснее подходит к оси 0у в районе нуля. Хочу обратить внимание, что, например, функции





Для

область определения - все числа, кроме нуля:


Следующий класс степенных функций - с отрицательным целым показателем степени, модуль которого есть нечётное число.


Типичный и всем известный представитель этого класса - обратная пропорциональность


И последний случай, когда p - отрицательная рациональная дробь, то есть

В этом случае область определения






Прежде, чем двигаться дальше, хочу сделать пару замечаний. Давайте посмотрим на графики степенных функций для





Кстати, при p = 1 мы получим прямую

И все эти графики проходят через точку

Взаимно-обратных функций мы коснёмся ниже. А сейчас я скажу про них "на пальцах". Две функции являются взаимно-обратными, если результаты их действий компенсируют друг друга.
Например, функции
-
взаимно-обратные, поскольку
.
И мы опять вернулись к х.
На входе был х, на выходе - тоже х. То есть, второе действие компенсировало первое.


Аналогично, пары функций
, а также
будут взаимно-обратными на промежутке
.
Графики взаимно-обратных функций симметричны относительно прямой




Квадратичная функция
Квадратичная функция




Подробные примеры построения парабол смотрим в видеоуроках.
Полуокружность
Функция вида
Она задаёт или полуокружность с центром в точке на оси 0х или одну точку или пустое множество. Например, функция




Модуль





Дробно-рациональная функция




Дробно-рациональными будут, например, функции
.


Показательная функция


Ось абсцисс является горизонтальной асимптотой графика. При а > 1 - функция возрастающая, при а < 1 - убывающая.


Логарифмическая функция






Взаимно-обратные функции
Две функции
называются взаимно-обратными,
если область определения каждой из них совпадает с множеством значений другой, коротко:
,
и если результат последовательного действия этих функций есть тождественное преобразование:
и
Графики взаимно-обратных функций симметричны относительно прямой

если область определения каждой из них совпадает с множеством значений другой, коротко:

и если результат последовательного действия этих функций есть тождественное преобразование:



Например, функции
-
взаимно-обратны, поскольку
и
Их графики, как и положено, симметричны относительно прямой





Тригонометрические функции
Начнём с определений.Пусть х - угол, отсчитываемый против часовой стрелки от положительного направления оси 0х.
И пусть А - точка на единичной окружности, соответствующая этому углу. Синусом угла х называется ордината точки А, косинусом называется её абсцисса.




Поскольку


Тангенс и котангенс можно определить так:

и тогда для функции
,
поскольку




и тогда для функции
,
поскольку





Поскольку


Обратные тригонометрические функции
Функция синус по углу выдаёт число в диапазоне от - 1 до 1.Значит, обратная функция - арксинус - должна работать в обратную сторону: на входе - число от - 1 до 1, на выходе - угол. Например, для числа




















Для функции


обратной будет функция






арктангенсом числа





арккотангенсом числа


Таким образом, функция
-
обратная для функции



Видеоуроки
Урок 1.Что будет в видеоуроках. Вступление.
Урок 2.Область определения и график функции.
Урок 3.Постоянная функция. Линейная функция.
Урок 4.Степенная функция.
Урок 5.Квадратичная функция.
Урок 6.Полуокружность. Модуль. Дробно-рациональная функция.
Урок 7.Показательная и логарифмическая функции.
Урок 8.Тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
Урок 2.Область определения и график функции.
Урок 3.Постоянная функция. Линейная функция.
Урок 4.Степенная функция.
Урок 5.Квадратичная функция.
Урок 6.Полуокружность. Модуль. Дробно-рациональная функция.
Урок 7.Показательная и логарифмическая функции.
Урок 8.Тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
