уроки → преобразования графиков → элементарные функции и их графики

Элементарные функции и их графики. Видеоуроки.

Содержание

Область определения функции
График функции
Элементарные функции и их графики
Постоянная функция
Линейная функция
Степенная функция
Квадратичная функция
Полуокружность
Модуль
Дробно-рациональная функция
Показательная функция
Логарифмическая функция
Взаимно-обратные функции
Тригонометрические функции
Обратные тригонометрические функции
Видеоуроки

В этой текстовой части я даю основные понятия, определения и минимум примеров.
Более полная картина со многими подробными примерами есть в видеоуроках.
Функции, которые мы рассмотрим ниже, а также те, которые получаются из них применением арифметических операций и композиции, называют элементарными.
Я не буду стремиться к тому, чтобы дать точные определения и свойства. Основной упор делается на графики.
А если вы помните, как выглядит тот или иной график, - вы видите по нему многие свойства функции.
Картинки запоминать проще и интереснее, чем формулы !
Но перед тем, как переходить к элементарным функциям, остановимся на паре важных моментов.

Область определения функции

содержание содержание содержание Область определения функции область определения функции - есть множество значений х, для которых определены все операции, входящие в состав этой функции.
Обозначается область определения функции или область определения функции. От английского «Definition» - «определение».
Например, область определения функции область определения функции будет состоять из чисел, для которых определён квадратный корень: область определения функции
Найдём х, при которых выполняется это требование, то есть решим неравенство выше.
область определения функции
Значит, область определения функции.

График функции

содержание содержание содержание Графиком функции график функции называется множество всех точек плоскости с координатами график функции, которые удовлетворяют данному уравнению.
Запишем это так:
точка график функции лежит на графике график функции график функции - решение уравнения график функции.
Таким образом, график функции - это множество решений уравнения график функции, изображённое точками на плоскости.
Например, есть линейная функция график функции, и её график - прямую - мы видим на картинке.
график функции
Посмотрите, точки график функции лежат на графике.
Их координаты должны быть решениями уравнения график функции.
Действительно, равенство график функции - верное, поэтому точка А лежит на графике;
аналогично, равенство график функции - тоже верное, поэтому точка С лежит на графике;
и также верно график функции - значит и точка D тоже находится на прямой.
Взглянем теперь на точки график функции. Будут ли их координаты решениями нашего уравнения ?
Поскольку график функции и график функции, то это означает, что точки E и H не находятся на графике.
Аналогично проверяется точка F.

Элементарные функции и их графики

Постоянная функция

содержание постоянная функция, постоянная функция
Здесь const - какое-то фиксированное число.
Её графиком является прямая, параллельная оси 0х.
постоянная функция

Линейная функция

содержание линейная функция, линейная функция
Здесь k и b - заданные числа.
Графиком линейной функции является прямая линия. Может быть любая прямая, кроме вертикальной.
Обозначим за линейная функция угол наклона прямой к оси 0х.
Точнее - это угол поворота против часовой стрелки положительного направления оси 0х до совмещения с прямой, линейная функция.
линейная функция называется угловым коэффициентом прямой,
b - есть ордината точки пересечения прямой с осью 0y.
Как быстро построить прямую, зная k и b, я показываю в видеоуроках.
Некоторые случаи расположения прямой смотрим на каринках.
линейная функция
линейная функция
линейная функция

Степенная функция

содержание Задаётся уравнением степенная функция
В зависимости от p её область определения может быть разной.
Для простоты картины мы рассмотрим только рациональные р.
При p положительном и чётном, то есть степенная функция область определения степенная функция.
Типичный представитель этого типа - знакомая всем парабола, которая задаётся уравнением степенная функция.
степенная функция степенная функция степенная функция
Мы видим, что графики симметричны относительно оси 0y, то есть наша степенная функция - чётная.
Графики расположены в 1 и 2 четверти – значит функция принимает только неотрицательные значения.
Все графики проходят через точку степенная функция.
Ещё можно заметить, что чем больше р, тем график как бы теснее расположен к оси 0х в окрестности начала координат.
Если p положительно и нечётно, то есть степенная функция область определения степенная функция.
Представитель этого типа задаётся уравнением степенная функция.
степенная функция
Графики симметричны относительно начала координат, то есть наша степенная функция - нечётная.
Опять же, графики проходят через точку степенная функция.
Следующий случай, когда p - положительная рациональная дробь, то есть степенная функция.
В этом случае область определения степенная функция.
Наверное, самой знакомой здесь будет функция степенная функция или, что то же самое, степенная функция.
степенная функция степенная функция степенная функция
Касательной к каждому графику в точке 0 является ось 0у.
Чем меньше показатель степени, тем график теснее подходит к оси 0у в районе нуля.
Хочу обратить внимание, что, например, функции степенная функция и степенная функция - разные функции !
У них разные области определения и разные графики.
Степень определена только при неотрицательных х, а корень – при всех.
Конечно, при степенная функция, и на этом участке, то есть в первой четверти, функции совпадают. Посмотрите на их графики.
степенная функция
степенная функция
степенная функция
степенная функция
степенная функция
степенная функция
Для степенная функция, то есть для отрицательных целых р, модуль которых – чётное число,
область определения - все числа, кроме нуля: степенная функция.
Степенная функция в этом случае - чётная, все её значения - положительны.
степенная функция степенная функция степенная функция
Следующий класс степенных функций - с отрицательным целым показателем степени, модуль которого есть нечётное число.
степенная функция, у них степенная функция.
Типичный и всем известный представитель этого класса - обратная пропорциональность степенная функция, графиком которого является гипербола.
степенная функция степенная функция степенная функция
И последний случай, когда p - отрицательная рациональная дробь, то есть степенная функция.
В этом случае область определения степенная функция.
степенная функция степенная функция степенная функция
Здесь опять есть кажущееся немного непривычным несовпадение функций.
степенная функция, и её график находится только в I четверти
И степенная функция, график расположен в I и II четвертях.
Функции тоже разные, хотя для положительных х их значения совпадают. Вот их графики.
степенная функция
степенная функция
степенная функция
степенная функция
степенная функция
степенная функция
Прежде, чем двигаться дальше, хочу сделать пару замечаний.
Давайте посмотрим на графики степенных функций для степенная функция и степенная функция при неотрицательных х, то есть в I четверти.
степенная функция степенная функция степенная функция
Первое. При степенная функция графики имеют выпуклость вверх, а при степенная функция - вниз.
Кстати, при p = 1    мы получим прямую степенная функция.
И все эти графики проходят через точку степенная функция.
Второе. Если у двух функций показатели степени являются обратными друг другу числами, то эти функции взаимно-обратны.
Взаимно-обратных функций мы коснёмся ниже. А сейчас я скажу про них "на пальцах".
Две функции являются взаимно-обратными, если результаты их действий компенсируют друг друга.
Например, функции степенная функция- взаимно-обратные, поскольку степенная функция.   И мы опять вернулись к х.
Например, функции степенная функция - взаимно-обратные, поскольку
степенная функция.
И мы опять вернулись к х.
На входе был х, на выходе - тоже х. То есть, второе действие компенсировало первое.
Аналогично, пары функций степенная функция, а также степенная функция будут взаимно-обратными на промежутке степенная функция.
Аналогично, пары функций
степенная функция , а также
степенная функция будут взаимно-обратными на промежутке степенная функция.
Графики взаимно-обратных функций симметричны относительно прямой степенная функция.

Квадратичная функция

содержание Квадратичная функция квадратичная функция получается из степенных с использованием арифметических операций.
Область определения квадратичная функция, графиком является парабола.
Ветви параболы направлены вверх при а > 0   и вниз при а < 0.
Абсцисса вершины параболы находится так квадратичная функция, парабола симметрична относительно вертикальной прямой квадратичная функция.
Для построения параболы находим квадратичная функция, пару точек и используем симметрию.
Подробные примеры построения парабол смотрим в видеоуроках.

Полуокружность

содержание Функция вида
полуокружность довольно интересная и часто встречается в разных заданиях.
Она задаёт или полуокружность с центром в точке на оси 0х или одну точку или пустое множество.
Например, функция полуокружность задаёт полуокружность с центром в точке полуокружность радиуса 3.
полуокружность
А уравнение полуокружность задаёт пустое множество точек, поскольку не имеет решений.

Модуль

содержание модуль, квадратичная функция
Поскольку модуль, и здесь применяется композиция двух степенных функций – квадрата и корня – то функция модуль - элементарная.
полуокружность
Другие примеры построения графиков с модулем смотрим в видеоуроках.

Дробно-рациональная функция

содержание дробно-рациональная функция
Последнее требование означает, что а и b не могут равняться нулю одновременно.
Область определения состоит из чисел, при которых дробно-рациональная функция, поэтому дробно-рациональная функция\ дробно-рациональная функция.
График – гипербола, асимптоты которой или являются координатными осями или им параллельны.
Дробно-рациональными будут, например, функции дробно-рациональная функция.
дробно-рациональная функция дробно-рациональная функция дробно-рациональная функция

Показательная функция

содержание показательная функция
Значения показательной функции всегда положительны. Это значит, что её график находится выше оси 0х.
Ось абсцисс является горизонтальной асимптотой графика.
При а > 1   - функция возрастающая, при а < 1   - убывающая.
показательная функция
показательная функция
показательная функция
показательная функция
показательная функция
показательная функция
Такие кривые обычно называют экспонентами.

Логарифмическая функция

содержание логарифмическая функция
Напомню определение логарифма: логарифмическая функция
Согласно этому определению, аргумент логарифма х обязан быть положительным: х > 0.
Ось ординат является вертикальной асимптотой графика логарифма.
При а > 1   - функция возрастающая, при а < 1   - убывающая.
логарифмическая функция
логарифмическая функция
логарифмическая функция
логарифмическая функция
логарифмическая функция
логарифмическая функция

Взаимно-обратные функции

содержание Две функции взаимно-обратные функции называются взаимно-обратными,
если область определения каждой из них совпадает с множеством значений другой, коротко: взаимно-обратные функции,
и если результат последовательного действия этих функций есть тождественное преобразование:
взаимно-обратные функции
Графики взаимно-обратных функций симметричны относительно прямой степенная функция.
Примеры взаимно-обратных степенных функций приводились выше.
Логарифмическая и показательная функции с одинаковым основанием являются взаимно-обратными.
Например, функции взаимно-обратные функции - взаимно-обратны, поскольку взаимно-обратные функции
Их графики, как и положено, симметричны относительно прямой степенная функция.
взаимно-обратные функции взаимно-обратные функции взаимно-обратные функции
Другие примеры взаимно-обратных функций есть в видеоуроках.

Тригонометрические функции

содержание Начнём с определений.
Пусть х - угол, отсчитываемый против часовой стрелки от положительного направления оси 0х.
И пусть А - точка на единичной окружности, соответствующая этому углу.
Синусом угла х называется ордината точки А, косинусом называется её абсцисса.
тригонометрические функции тригонометрические функции тригонометрические функции
Это определение является расширением понятий синуса и косинуса, используемое в геометрии.
Понятно, что функции синус и косинус определены для всех углов:   для тригонометрические функции и для тригонометрические функции.
Посмотрите на графики этих функций.
тригонометрические функции тригонометрические функции тригонометрические функции
Правда, похожи ? Сейчас я немного забегу вперёд и скажу про пару преобразований графиков. О них будет разговор на следующих уроках.
Поскольку тригонометрические функции, то график косинуса получается сдвигом синусоиды на тригонометрические функции влево. Это та же самая кривая.
Тангенс и котангенс можно определить так:
тригонометрические функции и тогда для функции тригонометрические функции \ тригонометрические функции, поскольку тригонометрические функции.
тригонометрические функции и тогда для функции тригонометрические функции \ тригонометрические функции, поскольку тригонометрические функции.
тригонометрические функции
тригонометрические функции
тригонометрические функции
тригонометрические функции
тригонометрические функции
тригонометрические функции
Здесь опять - одна и та же линия. Но чтобы из одной получить другую, требуется два преобразования.
Поскольку тригонометрические функции, то график тангенса сдвигаем вправо на тригонометрические функции, а затем симметрично отражаем относительно оси 0х.

Обратные тригонометрические функции

содержание содержание содержание Функция синус по углу выдаёт число в диапазоне от   - 1   до   1.
Значит, обратная функция - арксинус - должна работать в обратную сторону: на входе - число от   - 1   до   1, на выходе - угол.
Например, для числа обратные тригонометрические функциикакой из углов выбрать ?
Мы же знаем, что и обратные тригонометрические функции, и обратные тригонометрические функции, и обратные тригонометрические функции и так далее. Углов, синус которых равен обратные тригонометрические функции, бесконечно много.
Но, чтобы обратная функция была действительно функцией, то есть, чтобы она имела одно значение, нужно это значение выбрать.
Так вот, диапазон значений для арксинуса берут обратные тригонометрические функции, и таким образом,
арксинусом числа обратные тригонометрические функции называется такой угол обратные тригонометрические функции, синус которого равен x.
Так появляется функция обратные тригонометрические функции с областью определения обратные тригонометрические функции и множеством значений обратные тригонометрические функции.
Поэтому, например, обратные тригонометрические функции, a обратные тригонометрические функции. Выбираются углы из промежутка обратные тригонометрические функции.
Как и положено, графики взаимно-обратных функций обратные тригонометрические функции с областью определения обратные тригонометрические функции и
обратные тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции симметричны относительно прямой степенная функция.
синус и арксинус синус и арксинус синус и арксинус
Для функции обратные тригонометрические функции с областью определения обратные тригонометрические функции
обратной будет функция обратные тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции, которая определяется так:
арккосинусом числа обратные тригонометрические функции называется такой угол обратные тригонометрические функции, косинус которого равен x.
косинус и арккосинус косинус и арккосинус косинус и арккосинус
арктангенсом числа обратные тригонометрические функции называется такой угол обратные тригонометрические функции, тангенс которого равен x.
Таким образом, функция обратные тригонометрические функции - обратная для функции обратные тригонометрические функции
тангенс и арктангенс тангенс и арктангенс тангенс и арктангенс
арккотангенсом числа обратные тригонометрические функции называется такой угол обратные тригонометрические функции, котангенс которого равен x.
Таким образом, функция обратные тригонометрические функции - обратная для функции обратные тригонометрические функции
котангенс и арккотангенс котангенс и арккотангенс котангенс и арккотангенс

Видеоуроки

содержание содержание содержание
Урок 1.Что будет в видеоуроках. Вступление.
Урок 2.Область определения и график функции.
Урок 3.Постоянная функция. Линейная функция.
Урок 4.Степенная функция.
Урок 5.Квадратичная функция.
Урок 6.Полуокружность. Модуль. Дробно-рациональная функция.
Урок 7.Показательная и логарифмическая функции.
Урок 8.Тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
Что будет в видеоуроках. Вступление.
Область определения и график функции.
Постоянная функция.
Линейная функция.
Степенная функция.
Квадратичная функция.
Полуокружность.
Модуль.
Дробно-рациональная функция.
Показательная и логарифмическая функции.
Тригонометрические и
обратные тригонометрические функции.
вход для учеников
логин:

пароль:

запомнить меня

изменить логин/пароль