Талант — это способность верить в успех.
Полный бред, когда говорят,
что я вдруг открыл в себе дарование.
Я просто работал.

Джон Леннон

логин: пароль:

запомнить меня

изменить логин/пароль

логин: пароль:

запомнить меня

изменить login/pass

главная видеоуроки решаем ! тесты библиотека репетитор контакты ученикам

уроки → преобразования графиков → элементарные функции и их графики

Содержание

Область определения функции
График функции
Элементарные функции и их графики
Постоянная функция
Линейная функция
Степенная функция
Квадратичная функция
Полуокружность
Модуль
Дробно-рациональная функция
Показательная функция
Логарифмическая функция
Взаимно-обратные функции
Тригонометрические функции
Обратные тригонометрические функции
Видеоуроки

---

В этой текстовой части я даю основные понятия и минимум примеров.
Более полная картина с многими подробными примерами есть в видеоуроках. Функции, которые мы рассмотрим ниже, а также те, которые получаются из них применением арифметических операций и композиции, называют элементарными. Я не буду стремиться к тому, чтобы дать точные определения и свойства. Основной упор делается на графики. А если вы помните, как выглядит тот или иной график, - вы видите по нему многие свойства функции. Картинки запоминать проще и интереснее, чем формулы ! Но перед тем, как переходить к элементарным функциям, остановимся на паре важных моментов.

Область определения функции

содержание Область определения функции - есть множество значений х, для которых определены все операции, входящие в состав этой функции. Обозначается или . От английского «Definition» - «определение». Например, область определения функции будет состоять из чисел, для которых определён квадратный корень: Найдём х, при которых выполняется это требование, то есть решим неравенство выше. Значит, .

График функции

содержание Графиком функции называется множество всех точек плоскости с координатами , которые удовлетворяют данному уравнению. Запишем это так: точка лежит на графике - решение уравнения . Таким образом, график функции - это множество решений уравнения , изображённое точками на плоскости. Например, есть линейная функция , и её график - прямую - мы видим на картинке. Посмотрите, точки лежат на графике.
Их координаты должны быть решениями уравнения . Действительно, равенство - верное, поэтому точка А лежит на графике;
аналогично, равенство - тоже верное, поэтому точка С лежит на графике;
и также верно - значит и точка D тоже находится на прямой. Взглянем теперь на точки . Будут ли их координаты решениями нашего уравнения ?
Поскольку и , то это означает, что точки E и H не находятся на графике.
Аналогично проверяется точка F.

Элементарные функции и их графики

содержание

Постоянная функция

,
Здесь const - какое-то фиксированное число.
Её графиком является прямая, параллельная оси 0х. содержание

Линейная функция

,
Здесь k и b - заданные числа.
Графиком линейной функции является прямая линия. Может быть любая прямая, кроме вертикальной. Обозначим за угол наклона прямой к оси 0х.
Точнее - это угол поворота против часовой стрелки положительного направления оси 0х до совмещения с прямой, .
называется угловым коэффициентом прямой,
b - есть ордината точки пересечения прямой с осью 0y. Как быстро построить прямую, зная k и b, я показываю в видеоуроках. Некоторые случаи расположения прямой смотрим на каринках. содержание

Степенная функция

Задаётся уравнением
В зависимости от p её область определения может быть разной.
Для простоты картины мы рассмотрим только рациональные р. При p положительном и чётном, то есть область определения .
Типичный представитель этого типа - знакомая всем парабола, которая задаётся уравнением . Мы видим, что графики симметричны относительно оси 0y, то есть наша степенная функция - чётная.
Графики расположены в 1 и 2 четверти – значит функция принимает только неотрицательные значения.
Все графики проходят через точку .
Ещё можно заметить, что чем больше р, тем график как бы теснее расположен к оси 0х в окрестности начала координат. Если p положительно и нечётно, то есть область определения .
Представитель этого типа задаётся уравнением . Графики симметричны относительно начала координат, то есть наша степенная функция - нечётная.
Опять же, графики проходят через точку . Следующий случай, когда p - положительная рациональная дробь, то есть .
В этом случае область определения . Наверное, самой знакомой здесь будет функция или, что то же самое, . Касательной к каждому графику в точке 0 является ось 0у.
Чем меньше показатель степени, тем график теснее подходит к оси 0у в районе нуля. Хочу обратить внимание, что, например, функции и - разные функции !
У них разные области определения и разные графики.
Степень определена только при неотрицательных х, а корень – при всех. Конечно, при , и на этом участке, то есть в первой четверти, функции совпадают. Посмотрите на их графики. Для , то есть для отрицательных целых р, модуль которых – чётное число,
область определения - все числа, кроме нуля: .
Степенная функция в этом случае - чётная, все её значения - положительны. Следующий класс степенных функций - с отрицательным целым показателем степени, модуль которого есть нечётное число.
, у них .
Типичный и всем известный представитель этого класса - обратная пропорциональность , графиком которого является гипербола. И последний случай, когда p - отрицательная рациональная дробь, то есть .
В этом случае область определения . Здесь опять есть кажущееся немного непривычным несовпадение функций.
, и её график находится только в I четверти
И , график расположен в I и II четвертях.
Функции тоже разные, хотя для положительных х их значения совпадают. Вот их графики. Прежде, чем двигаться дальше, хочу сделать пару замечаний. Давайте посмотрим на графики степенных функций для и при неотрицательных х, то есть в I четверти. Первое. При графики имеют выпуклость вверх, а при - вниз.
Кстати, при p = 1    мы получим прямую .
И все эти графики проходят через точку . Второе. Если у двух функций показатели степени являются обратными друг другу числами, то эти функции взаимно-обратны.
Взаимно-обратных функций мы коснёмся ниже. А сейчас я скажу про них "на пальцах". Две функции являются взаимно-обратными, если результаты их действий компенсируют друг друга.
На входе был х, на выходе - тоже х. То есть, второе действие компенсировало первое. Графики взаимно-обратных функций симметричны относительно прямой . содержание

Квадратичная функция

Квадратичная функция получается из степенных с использованием арифметических операций.
Область определения , графиком является парабола.
Ветви параболы направлены вверх при а > 0   и вниз при а < 0. Абсцисса вершины параболы находится так , парабола симметрична относительно вертикальной прямой . Для построения параболы находим , пару точек и используем симметрию.
Подробные примеры построения парабол смотрим в видеоуроках. содержание

Полуокружность

Функция вида довольно интересная и часто встречается в разных заданиях.
Она задаёт или полуокружность с центром в точке на оси 0х или одну точку или пустое множество. Например, функция задаёт полуокружность с центром в точке радиуса 3. А уравнение задаёт пустое множество точек, поскольку не имеет решений. содержание

Модуль

, Поскольку , и здесь применяется композиция двух степенных функций – квадрата и корня – то функция - элементарная. Другие примеры построения графиков с модулем смотрим в видеоуроках. содержание

Дробно-рациональная функция

Последнее требование означает, что а и b не могут равняться нулю одновременно.
Область определения состоит из чисел, при которых , поэтому \ . График – гипербола, асимптоты которой или являются координатными осями или им параллельны. Дробно-рациональными будут, например, функции . содержание

Показательная функция

Значения показательной функции всегда положительны. Это значит, что её график находится выше оси 0х.
Ось абсцисс является горизонтальной асимптотой графика.
При а > 1   - функция возрастающая, при а < 1   - убывающая. Такие кривые обычно называют экспонентами. содержание

Логарифмическая функция

Напомню определение логарифма:
Согласно этому определению, аргумент логарифма х обязан быть положительным: х > 0. Ось ординат является вертикальной асимптотой графика логарифма.
При а > 1   - функция возрастающая, при а < 1   - убывающая. содержание

Взаимно-обратные функции

Две функции называются взаимно-обратными,
если область определения каждой из них совпадает с множеством значений другой, коротко: ,
и если результат последовательного действия этих функций есть тождественное преобразование: . Графики взаимно-обратных функций симметричны относительно прямой . Примеры взаимно-обратных степенных функций приводились выше. Логарифмическая и показательная функции с одинаковым основанием являются взаимно-обратными.
Например, функции - взаимно-обратны, поскольку .
Их графики, как и положено, симметричны относительно прямой . Другие примеры взаимно-обратных функций есть в видеоуроках. содержание

Тригонометрические функции

Начнём с определений.
Пусть х - угол, отсчитываемый против часовой стрелки от положительного направления оси 0х.
И пусть А - точка на единичной окружности, соответствующая этому углу. Синусом угла х называется ордината точки А, косинусом называется её абсцисса. Это определение является расширением понятий синуса и косинуса, используемое в геометрии. Понятно, что функции синус и косинус определены для всех углов:   для и для . Посмотрите на графики этих функций. Правда, похожи ? Сейчас я немного забегу вперёд и скажу про пару преобразований графиков. О них будет разговор на следующих уроках.
Поскольку , то график косинуса получается сдвигом синусоиды на влево. Это та же самая кривая. Тангенс и котангенс можно определить так:
и тогда для функции \ , поскольку . и тогда для функции \ , поскольку . Здесь опять - одна и та же линия. Но чтобы из одной получить другую, требуется два преобразования.
Поскольку , то график тангенса сдвигаем вправо на , а затем симметрично отражаем относительно оси 0х. содержание

Обратные тригонометрические функции

Функция синус по углу выдаёт число в диапазоне от   - 1   до   1.
Значит, обратная функция - арксинус - должна работать в обратную сторону: на входе - число от   - 1   до   1, на выходе - угол.
Например, для числа какой из углов выбрать ?
Мы же знаем, что и , и , и и так далее. Углов, синус которых равен , бесконечно много.
Но, чтобы обратная функция была действительно функцией, то есть, чтобы она имела одно значение, нужно это значение выбрать. Так вот, диапазон значений для арксинуса берут , и таким образом,
арксинусом числа называется такой угол , синус которого равен x. Так появляется функция с областью определения и множеством значений . Поэтому, например, , a . Выбираются углы из промежутка . Как и положено, графики взаимно-обратных функций с областью определения и
, симметричны относительно прямой . Для функции с областью определения
обратной будет функция , , , которая определяется так: арккосинусом числа называется такой угол , косинус которого равен x. арктангенсом числа называется такой угол , тангенс которого равен x. Таким образом, функция - обратная для функции . арккотангенсом числа называется такой угол , котангенс которого равен x. Таким образом, функция - обратная для функции .

---

содержание

Видеоуроки

Урок 1.Что будет в видеоуроках. Вступление.
Урок 2.Область определения и график функции.
Урок 3.Постоянная функция. Линейная функция.
Урок 4.Степенная функция.
Урок 5.Квадратичная функция.
Урок 6.Полуокружность. Модуль. Дробно-рациональная функция.
Урок 7.Показательная и логарифмическая функции.
Урок 8.Тригонометрические и обратные тригонометрические функции.