-------
Из чисел 3, 4, 5, 6 число 850 делится только на 5, и 850 : 5 = 170
-------------
так как (3 - 2)·17 + 3 = 20
--------
с 1 на 10 этаж 9 пролётов, с 1 на 2 – 1 пролёт
-----------
62 = 7·9 - 1
-------
для подбора первого ключа требуется не более 4 попыток, для подбора второго – не более 3, для третьего – не более 2, для четвёртого – не более одной
----------
Все колёса с нечётными номерами вращаются в одну сторону, а соседние - в разные. Номера колёс 1 и 7 - и нечётные и соседние.
---------
сумма всех чисел таблицы будет 30·5, а с другой стороны, 20·6, но они не равны
--------------------------------
если он белый, то в нём два белых, в ЧЧ - белый с чёрным, в ББ - два чёрных
если он чёрный, то в нём два чёрных, в ББ - белый с чёрным, в ЧЧ - два белых
--------------
тогда на 20 день станет 1/2 + 1/2 = 1
---
слева и справа кабинок по 24–10–1 = 13 штук, всего 13·2 + 2 = 28 шт
3 л из банки переливаем в бидон
из заново полной банки выливаем в бидон 2 л, в банке остался 1 л
выливаем всё из бидона и наливаем туда этот 1 л
набираем полную банку и добавляем эти 3 л в бидон
----------------------------------------------------------
есть и другое решение
-----------------
7к > 8т, тогда 56к > 64т > 63т, тогда 8к > 9т
-------
30:15 = 2 ч – время велосипедиста и время птицы
2) 12, т.к. например 11 = 0 б + 5 ч + 6 кр, 10 = 0 б + 5 ч + 5 кр и т.д.
----
Мартышка съела не менее 24 бананов (45 = 22 + 23 = 21 + 24 = 20 + 25 = ...), а вместе с Удавом – 25, значит, она съела 24, а Удав – 1.
------------
число всех переданных открыток 5·35,
тогда число обменов (5·35):2 - но это не целое число
---------
1 минута – жарим первого и второго карася с одной стороны
2 минута – жарим первого с другой стороны и третьего
3 минута – жарим второго с другой стороны и третьего - с другой
Если предположить, что каждый тип ошибок сделали по два ученика, будет 28 учеников. С Ленивцевым будет 29. И последний – тридцатый – ученик должен совершить ошибку какого-то типа от 0 до 13. Значит, этот тип ошибки будет сделан уже тремя.
----------
Девочки из другой половины сидят по две девочки за партой, значит половина девочек – число чётное, значит число всех девочек делится на 4.
Если бы можно было рассадить учеников, как спрашивается, то и число мальчиков делилось бы на 4, но 30 не делится на 4.
------------
Первое число 200 < a < 400, второе 300 < b < 500, тогда 60000 < ab < 200000, но в этом диапазоне нет ни одного числа, состоящего только из цифр 2 и 4.
2) первую верёвку поджечь с двух сторон и, одновременнно, вторую - с одной стороны;
в момент, когда первая верёвка сгорит, поджечь у второй другой конец.
------------
При любом раскладе число бананов всегда остаётся нечётным. Поэтому, наступит момент, когда останется один банан и один апельсин.
-------------
Показан вид арбуза сверху. У его средней части две корки – сверху и снизу.
----------
При каждом ходе коня меняется цвет клетки. Чтобы попасть в клетку h8 и побывать на всех полях по одному разу, коню нужно сделать 63 хода. Но тогда цвет конечной клетки должен быть белым.
---------------
Число
увеличивается на 1 при каждой операции, значит было 18 операций. Квадрат 
выбирался 4 раза, поскольку 
; квадрат 
был выбран 5 раз, так как 
. Аналогично, для 
. Но тогда должно быть 
операции ?!? --------
первая и последняя страницы должны иметь разную чётность
------------
после любого хода Серёжи всего взято нечётное число камешков
--------------------
(1) 5* + 6* = 12*
(2) 6* + 7* = 147
(3) 5* + 7* = 12*
В (2) может быть 147 = 68 + 79 или 147 = 69 + 78.
Если в (2) числа 68 и 79, то из (3) следует, что первое число 50, но тогда в (1) 50 + 68 < 12* ?!?
Значит, в (2) числа 69 и 78, тогда первое число 51
Время на весь путь равен 15m + 15m +15m +15m = 60m минут = m часов
---------------
Первая фишка при любых перестановках будет находиться на “нечётных” местах – на третьем, пятом, 37-м, …, и не сможет оказаться на месте с номером 1000.
------
Всего можно сделать 5·7 = 35 разломов, и пока все они не сделаны, шоколадку можно разламывать. Вася выполняет все нечётные по счёту разломы. Значит, последний разлом сделает он.
--------------
Пусть х – объём чашки, а – объём ложки
--------------
Сумма данных чисел – нечётна, а прибавляя к двум из них одинаковое число, мы увеличиваем данную сумму на чётное число. Поэтому, всегда будем получать число нечётное. Но сумма восьми одинаковых чисел, если бы мы смогли их получить, была бы чётной.
-------
Через 1 мин будет написано 18, через две – 20, через три – 12, через 4 – снова 20, через 5 -снова 12, и так далее, 20 и 12 будут чередоваться. На “чётных” минутах пишут 20, значит на 60-той минуте будет тоже 20.
----------------------
В каждой паре у одного а грибов, у другого – 2а грибов. Вместе у них 3а грибов. Значит, число грибов у всех детей должно делиться на 3.
----------------
Нужно соединить палочки одного цвета в отрезок 40 см и сделать разломы, как на картинке.
------------
Важно понимать, что линейные размеры с каждой стиркой уменьшаются не равномерно. Равномерно уменьшается объём. Если первоначальный объём мыла равен
, то после 7 стирок он стал 
, то есть расход составил 
, значит на одну стирку тратится 
. Ровно столько мыла и осталось. --------
При вычитании из числа суммы его цифр всегда получаем число, кратное 9.
Например, если
- данное число, то 
.Тогда понятно, что последнее перед нулём число было 9, а перед ним 18, а до этого 27, и так далее, пока не дойдём до числа 81, которое должно получиться после 2-го вычитания. Результатом 1-го вычитания могло быть 90 или 99. Мы можем получить только число 99 так: 99 = 100 – 1.
-----------
Если сумма нечётных номеров на вырванных листах
, то сумма чётных номеров будет 
или 
. Тогда сумма всех номеров равна 
или же 
, но полученное число в обоих случаях нечётно и не может равняться 3500. ------
Нужно решить уравнение
.Подходит только х = 17, т.к.
и 
. -----------------
Поскольку эти числа не делятся на три, то они могут отличаться только в два раза.
Каким может быть меньшее число? Его первая цифра – 1 или 2. Последняя цифра не может быть 3, т.к. 3·2 = 6, и не может быть 4, т.к. 4·2 = 8.
Остаются 4 возможности – 1342, 1432, 2341, 2431. Но все они тоже не подходят.
-----------------
Чтобы узнать общее число верёвок, нужно 999 умножить на 3. Но в этом случае мы каждую верёвку сосчитали два раза, поскольку она соединяет два узла. Поэтому правильное число верёвок получим, разделив 999·3 на 2. Но мы не получим целое число!
-------------
Оба мальчика плывут на другой берег. Назад возвращается один.
Один турист плывёт на тот берег. Назад плывёт мальчик.
И так далее, эти манёвры повторяются, пока все туристы не переправятся.
----------------
Обозначим перевёрнутый стакан за 0, а стоящий нормально – за 1. И при переворачивании будем следить за числом нормально стоящих стаканов, то есть, за числом “единичек”.
Если на любом шаге мы перевернём 0111, то станет 1000, и наша сумма уменьшится на 2.
Если перевернём 0011, то станет 1100, и сумма не изменится.
Если перевернём 0001, то станет 1110, и сумма увеличится на 2.
0000 --> 1111, и сумма увеличится на 4.
1111 --> 0000, сумма уменьшится на 4.
В любом случае изменение происходит на чётное число, и из первоначального 0 получить 7 мы не сможем.
-------------------
или 45м = 4м·5 + 5м·5, в этом случае число распилов равно 3·5 + 4·5 = 35
или же 45м = 4м·10 + 5м, и тогда число распилов равно 3·10 + 4 = 34
-----------------
например, можно каждое число в написанном квадрате поделить на их НОК, то есть, на 5·7·8·9
---------------
Задача имеет положительное решение из-за того, что числа 1, 2, 3, 6 и 12 обладают интересным свойством. С помощью суммы некоторых из них или всех можно получить любое число от 1 до 24.
Обозначим за
(м) длину большего куска из двух данных, а за 
(м) – меньшего, 
.Если
, то из большего куска и нарезаем все требуемые куски.Если
, то 
, и из большего нарезаем 2, 3, 6, 12 м, а из меньшего – 1 м.Если
, то 
, из большего нарезаем 1, 3, 6, 12 м, из меньшего – 2 м.Если
, то 
, тогда режем 1, 2, 6, 12 м из первого и 3 м – из второго куска.При
и 
режем 2, 6, 12 м – из первого и 1, 3 м – из второго.И так далее.
Например, при
и 
отрезаем 1, 2, 3, 6 м из первого куска и 12 м – из второго. ---------
Обозначим за
количества баллов за 1, 2, 3, 4 места, соответственно, и за 
– число видов спорта.Сложим баллы мальчиков за все игры:
, тогда 
.Поскольку
не может равняться 5, значит, 
. ---------------------------------------------------------------------
Если
– самое маленькое из восьми чисел, а 
– соседние с ним, то 
, и тогда 
------------
Любая косточка домино закрывает две клетки разных цветов. И можно было бы попытаться замостить поле с равным числом белых и чёрных клеток. Но обе вырезанные клетки – одного цвета. Это значит, что после вырезания на доске останется разное число белых и чёрных клеток.
------------------
например, числа
, их сумма и произведение равны 2010 
. Докажем, что можно доехать, например, из 
в 
. Город 
соединён минимум с тремя городами, допустим, 
и 
. Но город 
тоже соединён минимум с тремя городами, и тогда среди них обязательно окажется один из городов 
. --------------------
Число чистых клеток и число залитых краской или оба чётные или оба нечётные, так как их сумма равна 64. Поэтому, их разность - чётна.
---------------------------
Если будет ответ «да», то это - город В, поскольку и человек, приехавший из А, и местный житель скажут «да». Если скажут «нет», то - это город А.
------------------------------
Первый должен взять один камешек из 172. При каждом следующем ходе он должен брать столько же камешков, сколько и взял второй, но только из другой кучки.
– точек вначале. Тогда отрезков 
. На каждом отрезке поставили по точке, значит, число отрезков удвоится, их станет 
. А точек – на одну больше, то есть, их 
. ---------------
Из 6 чисел, каждое из которых равно -1, 0 или 1, можно получить минимум -6, а максимум 6. Всего 13 разных вариантов. А число строк, столбцов и двух диагоналей равно 14.