1	3 ---- 20 — 5 = 15 столько фей получили хотя бы один подарок 8 + 10 — 15 = 3 столько фей получили ровно два подарка
2	0 ---- Нечётное число может быть в паре только с нечётным числом, чтобы сумма получилась чётной. Ho от 1 до 30 есть нечётное количество нечётных чисел, поэтому их нельзя разбить на пары.
3	4 или 5 ---------- В первом ящике не более 3 дынь (пусть там как минимум 4 дыни, тогда во втором - как минимум 5, в третьем - как минимум 6, в четвёртом - как минимум 9, итого как минимум 24, противоречие). Пусть в первом ящике 3 дыни, тогда в четвёртом - 8. Тогда во втором и третьем вместе 9. Этого можно добиться, только если во втором ящике 4, а в третьем - 5 дынь. Пусть теперь в первом ящике 2 дыни, тогда в четвёртом - 7. Тогда во втором и третьем вместе 11. Этого можно добиться, только если во втором ящике 5, а в третьем - 6 дынь. Пусть, наконец, в первом ящике 1 дыня, тогда в четвёртом - 6. Тогда во втором и третьем вместе 13. Этого нельзя добиться.
4	150 ------ Сумма второго и третьего чисел равна первому числу, поэтому сумма всех трёх чисел равна удвоенному первому числу. Отсюда находим, что первое число равно 150.
5	288 -------- Однозначное число 9 не подходит. Двузначные числа, делящиеся на 9, тоже не подходят, так как сумма их цифр равна 9 (значит, одна из них нечётная) или 18 (такое число одно, 99, оно не подходит). Трёхзначные числа, начинающиеся на цифру 1, не подходят. Попробуем найти число, начинающееся на цифру 2. Если остальные две цифры дают в сумме 7, то одна из них нечётная - не подходит. Если они дают в сумме 16, то это либо 8 и 8, либо 7 и 9.
6	28 ----- Пусть красных марсиан k, а зелёных m. Тогда яблонь 5k + 6m, а яблок выросло 50k + 60m. С другой стороны, количество яблок равно 100m. Получается, что 5k = 4m. По условию k + m = 63, тогда k = 28.
7	180600 --------- В каждом горизонтальной линии 300 спичек, а самих горизонтальных линий 301. Итого, в них 300·301 спичек. Столько же вертикальных спичек. Значит, всего 2·300·301 = 180600 спичек.
8	79 ---- Докажем, что нужно взять больше, чем 78 грибов. Пусть мы взяли 78 грибов в ситуации, когда в корзине 11 боровиков, 11 подосиновиков, 11 подберёзовиков и 67 сыроежек (эта ситуация подходит под условие). Тогда могло оказаться так, что мы взяли все подберёзовики и все сыроежки, то есть менее чем три вида грибов. Докажем теперь, что 79 грибов всегда хватит. Грибов каждого вида не менее 11 (пусть, например, сыроежек не более 10, тогда можно взять таких 90 грибов, что среди них не будет ни одной сыроежки). Значит, грибов любых двух видов не менее 22, а значит, и не более чем 100 — 22 = 78. Следовательно, если мы возьмём наугад 79 грибов, там точно будут как минимум три вида грибов.
9	в 5 раз ---------- Когда они бежали навстречу друг другу, то 20 минут ушло на то, чтобы вернуться на свои исходные позиции. После этого им хватило 5 минут, чтобы добежать друг до друга. Это означает, что когда они убегали друг от друга, они пробежали расстояние в четыре раза большее, чем было между ними в начале. Значит, всего расстояние между ними стало в пять раз больше.
10	1001 ------- Натуральные числа с суммой цифр 2 делятся на два типа. Первый тип - это числа, начинающиеся на 2, а дальше в записи только нули. Но ни одно такое число не делится на 7. Второй тип - это числа, которые начинаются с единицы, а дальше в записи где-то использована ещё одна единица, а остальные цифры нули. Такие числа можно просто перебрать в порядке возрастания, пока не найдём делящееся на 7. 11 не подходит, 101 не подходит, 110 не подходит, 1001 подходит.
11	33 чулка ------------ Оценка. На столе имеется 66 конфет не жёлтого цвета. В каждый подарок входят как минимум две не жёлтые конфеты. Значит, подарков получится не больше чем 66 : 2 = 33. Пример. Теперь опишем, как можно получить 33 подарка. Например, можно взять по 21 зелёной, синей и жёлтой конфете. Затем по 11 красных, синих и жёлтых конфет. И наконец, 1 подарок из красной, зелёной и жёлтой конфет.
12	69 ---- Напротив грани с 6 точками - грань с 1 точкой, то есть, грани с 1, 2 и 3 точками все друг другу смежны. Все кубики, у которых видна одна грань, могут показывать 1 точку. Таких кубиков 9 - 4 в нижнем этаже и 5 в центрах сторон. Все кубики, у которых видны две грани, могут показывать 1 + 2 = 3 точки. Таких кубиков 12 - по 2 на четырёх боковых ребрах и 4 на верхних ребрах. Все кубики, у которых видны три грани, могут показывать 1 + 2 + 3 = 6 точек. Таких кубиков 4 - это верхние угловые кубики. В итоге, наименьшее видное число точек 9·1 + 12·3 + 4·6 = 69.
13	4 ---- Если число n заканчивается не на 8 и не на 9, то сумма цифр при прибавлении числа 2 увеличится на 2, то есть станет равна 22. Надо "обнулить" последние два разряда. Например, для n = 2198 после добавления 2 получим n+2 = 2200.
14	Разделим мысленно квадрат на четыре одинаковых квадрата. В качестве больших квадратов возьмём два противоположных. Теперь два других противоположных квадрата мысленно разделим на 9 маленьких квадратов каждый. Объединим четыре маленьких квадрата в один средний дважды. Получится пример требуемого разрезания.
15	10, 6, 2, 9, 3, 4, 8, 1, 5, 7 ----------------------------------- Есть разные способы. Логика построения приведённого выше примера такова, что большие числа 10, 9, 8, 7 нужно ставить на расстоянии в 2 числа друг от друга.
16	7290 -------- Для каждого такого числа, кроме 555, есть пара - число, составленное из дополнений каждой цифры до 10. Например, для 126 - 984, для 725 - 385, для 111 - 999 и так далее. Этих пар всего (9·9·9 - 1):2 = 364. В каждой такой паре сумма четырёх цифр, вычисленная Аркадием, равна 20. Для числа 555 сумма двух цифр равна 10. Всего получаем 20·364 + 10 = 7290.
17	не могло ------------ Допустим, они все сыграли разное количество игр. Посмотрим, сколько игр мог сыграть участник турнира. Минимум - 1 игра. Максимум - 14 игр, так как этот участник сыграл максимум по одной игре с остальными тринадцатью, плюс ещё одна игра, если это Гоша или Валя. Итого, 14 вариантов. Но и игроков тоже 14. Значит, каждый вариант реализуется ровно один раз. Тогда общее количество сыгранных игр можно вычислить так: (1 + 2 + ... + 14) : 2 = 52,5, но это - не целое число. Получили противоречие.
18	5 ---- Обозначим эти три числа a, b, c. Из условия задачи числа a+b-c, a+c-b и b+c-a заканчиваются на 0. Значит, и их сумма, которая равна a+b+c, будет заканчиваться на 0. Но раз a+b+c заканчивается на 0 и a+b-c заканчивается на 0, то и их разность 2c заканчивается на 0. Поэтому число c заканчивается либо на 0, либо на 5. Понятно, что это же относится и к двум другим числам. Будем дальше рассматривать варианты. Пусть все три числа заканчиваются на 0. Тогда их произведение заканчивается на три нуля, нам этот вариант не годится. Пусть все три числа заканчиваются на 5. Тогда сумма любых двух заканчивается на 0, а не на 5, вариант не подходит. Пусть одно число заканчивается на 5, а два других на 0, тоже видно, что этот вариант не подходит. Значит, два числа заканчиваются на 5, а одно на 0. Временно домножим первые два числа на 2, тогда они тоже будут заканчиваться на 0. Значит, их произведение будет заканчиваться на три нуля. Поделим обратно на 4. Последние три цифры могут получиться только такими: 000, 250, 500 или 750. Зная, что третья цифра с конца равна 7, находим ответ 5.